книги / 949

31

Решение

1. Определяем положение центра тяжести (ц. т.) сечения C , главные центральные моменты инерции, значения квадратов главных радиусов инерции.

Так как сечение имеет ось симметрии − yC , то точка C будет лежать на этой оси и ось yC будет главной центральной осью.

Рис. 3.2

Положение ц. т. сечения определяется одной координатой − yc (относительно вспомогательной оси Ох).

здесь y1, y2 − расстояния от центра тяжести прямоугольников 1 и 2 соот-

ветственно до вспомогательной оси x.

Центр тяжести сечения и главная центральная ось xC показаны на

рис. 3.2.

Рассчитываем главные центральные моменты инерции сечения по формулам параллельного переноса:

=5,58b4 =5,58 204 =89,28 104 см4.

Здесь a1 , a2 − расстояния между центральными осями x1 , x2 прямоугольников и главной центральной осью xC .

Вычисляем значения квадратов радиусов инерции:

33

2. Определяем положение нейтральной линии сечения.

Находим отрезки, отсекаемые нейтральной линией по осям xC и yC :

где xF , yF − координаты полюса силы относительно главных центральных осей сечения;

xF = b ; y F = 3,5b − 2,64b = 0,86b ; ax = −0,8bb2 = −0,8b = −16 см;

ay = −1,35b2 = −1,57b = −31,4 см. 0,86b

Строим на чертеже н. л.; она делит сечение на сжатую (справа от себя) и растянутую зоны (см. рис. 3.2).

3. Определяем координаты опасных точек сечения.

Опасными будут точки, наиболее удаленные от н. л. (по обе стороны от нее): точка N − в зоне сжатия, точка М − в зоне растяжения. Их координаты следующие (см. рис. 3.2):

34

4. Вычисляем наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.

Они будут в опасных точках − N и М (координаты указанных точек

см. в п. 3).

Условие прочности при внецентренном сжатии:

=10,28 МН =10,28 103кН.

Условие прочности при внецентренном растяжении:

= − FA (1 −0,625 −1,682)=1,307 FA .

Тогда условие прочности примет вид σtM =1,307 FA ≤ R t γc , откуда

Можно определить σ и во всех остальных точках, подставив в формулу (3.1) координаты соответствующих точек.

36

Рис. 3.3

Таким образом, σt(max) = σ8 = 48 МПа;

σc(max) = σ2 = −160,3 МПа.

На рис. 3.3 изображена эпюра рассчитанных напряжений.

7. Определяем форму и размеры ядра сечения (рис. 3.4).

Для того чтобы построить ядро сечения, нейтральную линию «обкатываем» по контуру сечения, не пересекая его. Координаты полюсных точек для каждой позиции нейтральной линии устанавливаются по формулам:

где ax , ay − отрезки, которые отсекает нейтральная линия от главных цен-

37

тральных осей, касаясь поперечного сечения; xF , yF − координаты вершины ядрасечения, соответствующейзаданномуположениюнейтральнойлинии.

Для н. л. в положении I−I ( ax = ∞; ay =1,3b )

гдеx1 , y1 − координаты точки 1, вершины ядра сечения. Для н. л. в положении II−II ( ax = 2b; ay = ∞)

Для н. л. в положении III−III ( ax =1,83b; ay = −3,64b )

x = −0,8b2 = −0,437b = −8,64 см; 3 1,83b

Для н. л. в положении IV−IV ( ax = ∞; ay = −2,64b )

Точки5 и6 ядрасечениясимметричныточкам3 и2 относительнооси yC :

Когда нейтральная линия «обкатывается» вокруг какой-либо вершины контура сечения, на контуре ядра сечения образуется прямая линия, поэтому полученные точки соединяют прямыми. Схема построения ядра сечения и его контур изображены на рис. 3.4.

38

Рис. 3.4

Если в полученной области приложить силу F , то напряжения по

всему сечению будут одного знака (для рассмотренной задачи − сжимающими). Нейтральная линия будет либо касаться поперечного сечения, либо

находиться за его пределами.

Пример 3.2

Короткая колонна сжимается продольной силой F = 200 кН, прило-

женной в точке A (рис. 3.5). Определить положение нейтральной линии и построить эпюру нормальных напряжений σ в поперечном сечении ко-

лонны.

Решение

От внецентренного действия силы F в поперечном сечении колонны возникают внутренние усилия:

• продольная сила Nz = −200 кН;

39

M y = 200 402 −6 10−2 = 28 кНм.

Геометрические характеристики поперечного сечения колонны:

Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на главных центральных осях Ox и Oy :

Строимнейтральнуюлиниюнапоперечномсеченииколонны(рис. 3.6). Для построения эпюры нормальных напряжений находим напряжения

в точках B и C , наиболее удаленных от нейтральной линии, по формуле

где x , y – координаты точки, в которой определяем напряжения относительно главных осей Ox и Oy .

Строим эпюру нормальных напряжений по опасным точкам сечения

(см. рис. 3.6).

Ответ: из построенной эпюры напряжений видно, что на нейтральной линии напряжение равно нулю, а в точках, наиболее удаленных от н. л., дос-

тигает наибольших значений: σB = −4,9 МПа, σC = 2,9 МПа.

Пример 3.3

Найти координаты точки приложения сжимающей силы F для короткой двутавровой колонны (двутавр № 50) из условия, что нейтральная линия занимает положение, показанное на рис. 3.7.