книги / 949

11

В случае косого изгиба намечаем несколько вероятно опасных сечений бруса, анализируя эпюры M x и M y . Опасным является сечение, в ко-

тором действует максимальный приведенный момент

где M x , M y − значения изгибающих моментов в опасном сечении. Условие прочности для опасных точек примет следующий вид:

По этому значению подбираем размеры поперечного сечения и проверяем его на прочность, не допуская ни перенапряжения, ни большого запаса прочности. В противном случае размеры сечения уточняем. Величина перенапряжения или недонапряжения δ≤ 5 % .

Для сечений, симметричных относительно двух и более осей инерции, косого изгиба не существует, так как все оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения, являются главными центральными осями.

Линейные перемещения (прогибы) при косом изгибе (рис. 2.2, б) определяем как геометрическую сумму:

где f − полный прогиб заданного сечения; fx , fy − прогибы соответст-

венно в направлении оси Ох и оси Оу от составляющих нагрузки в плоско-

стях zOx и zOy.

Направление прогиба f не лежит в плоскости действия изгибающего момента, но всегда перпендикулярно положению н. л. в рассматриваемом сечении.

Примеры расчета

Пример 2.1

Для балки, изображенной на рис. 2.3, требуется:

1)определить расчетные значения нагрузок;

2)разложить нагрузки по главным плоскостям и построить эпюры внутреннихсиловыхфактороввдвухвзаимноперпендикулярныхплоскостях;

3)определить опасное сечение балки;

4)из условия прочности подобрать необходимые размеры поперечного сечения.

Рис. 2.3

Исходные данные: нормативные значения нагрузок и соответствующие коэффициенты перегрузки Fп = 20 кН ( γf F =1,1); qп = 10 кН/м

( γ f q =1,4); mп =15 кНм ( γf m =1,1); β =30º; A=4 м; R =210 МПа; коэф-

фициент условий работы γc =0,9. Тип сечения – прямоугольное с соотношением сторон hb =2.

13

Решение

1. Определяем расчетные нагрузки:

F = Fп γf F = 20 1,1 = 22 кН;

m = mп γf m =15 1,1 =16,5 кНм;

q= qп γf q =10 1,2 =12 кН/м.

2.Рассматриваем работу балки в вертикальной плоскости Oyz

(рис. 2.4, а).

Разложим силу F по главным осям: F1 = F sinβ = 22 sin 30D =11 кН;

F2 = F cosβ = 22 cos30D =19 кН.

Определим опорные реакции:

Построим эпюры внутренних силовых факторов. Рассчитаем изгибающие моменты в предполагаемых опасных сечениях С и Д:

M x (C )=VA A2 = 7,56 42 =15,12 кНм;

M x (D)=VВ A=3,44 4 =13,76 кНм.

Рассмотрим работу балки в горизонтальной плоскости Oxz (рис. 2.4, б).

15

Определим опорные реакции:

Построим эпюры внутренних силовых факторов. Рассчитаем изгибающие моменты в предполагаемых опасных сечениях:

M y (C )= −VA A2 = −2,5 42 = −5 кНм;

M y (D)= −VA A= −2,5 4 = −10 кНм.

Исследуем на экстремум функцию мометна M y на участке ДВ:

Q =VВ −q z0 = 0;

3. Определяем опасное сечение балки.

Для этого сначала в наиболее опасных сечениях – С, Д и K – по формуле (2.6) расчитываем приведенные моменты:

Сопоставив полученные результаты по сечениям, выявим наиболее опасное сечение K с Mприв (K )= 66,1 кНм.

4. Из условия прочности (2.7) подбираем необходимое сечение балки (его размеры):

tg α = −4 tg ϕ= −4 tg 75,49°= −4 3,865 = −15,46 ;

α = −86,3°.

Графическое изображение нейтральной линии представленонарис. 2.5.

Рис. 2.5

Пример 2.2

Дощатые обрешётины кровли, шарнирно опертые на стропила, подвергаются действию вертикально направленной равномерно распределенной нагрузки q (рис. 2.6). Определить наибольшую допускаемую величину этой на-

грузки при расчетном сопротивлении R =10 МПа и вычислить полный прогиб обрешётины посередине ее пролета.

Рис. 2.6

18

Решение

1. Определяем основные геометрические характеристики сечения обрешётины:

Первый способрешения

2. Рассчитываемвнутренниесиловыефакторывсеченияхобрешётиныи строимихэпюрыотдельновплоскости zOy ивплоскости zOx (рис. 2.7).

Предполагаем шарнирное опирание на концах обрешётины. Плоскость zOy (рис. 2.7, а)

ное нагружение).

Внутренние поперечные силы:

Qy = By −qy A,

Qy (z = 0)= A y= q cos30DA = 0,433 qA; 2

Qy (z = A)= A y−qy A= 0,433 qA−qy A=

= 0,433 qA−q cos30DA= −0,433 qA.

19

а

б

Рис. 2.7