книги / 872

Из этих равенств видно, что с помощью тензоров и можно преобразовать тип вектора, поднимая и опуская индексы. Этот прием успешно используется и применительно к тензорам более высокой валентности. Возникает

Определение 3 (Определение операции поднятия и опускания индексов). Метрический тензор порождает следующие преобразования тензоров:

Так, например, перемножая тензоры и и свертывая их, получаем смешанные тензоры · = , · = . Полученные тензоры могут отличаться друг от друга, если несимметричен, поэтому в последних соотношениях используются точки, показывающие порядок индексов. В случае симметричности порядок индексов становится несущественным, и точки опускают, записывая и . Далее, таким же путём ковариантный тензор переводится в контравариантный = .

Отметим, что согласно определению метрического тензора в ортогональной системе координат: = = 0 при ̸= . Если же ортогональная система является и нормированной, то (см. опр. 1) = = 1. Поэтому в ортонормированном базисе матрицы и становится единичными и операции поднятия и опускания индексов не меняют числовых значений составляющих тензора: = · = = . Поэтому в ортонормированном базисе не различают ковариантные и контравариантные составляющие тензора.

Описанный прием может быть применен к тензорам произвольного типа и валентности. При этом имеет место свойство, называемое инерцией свертывания

Теорема 2. Результат свертывания тензора или пары тензоров по двум индексам не меняется при обращении мест индексов свертывания (опускании одного из них при одновременном поднятии другого).

Доказательство. Докажем это утверждение на примере свертывания двух тензоров второй валентности . Имеем = · , = · . Отсюда, согласно определению 3, следует

Заменяя здесь значок суммирования на , приходим к выражению, что и доказывает теорему.

61

В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим скалярное произведение двух векторов u и v :

(u, v) = ( r , r ) = (r , r ) = .

Из этого равенства, также усматривается тензорный характер экстенсива, поскольку его свертывание с произвольным контравариантный тензором приводит к инвариантному скаляру. Используя теперь последнюю теорему, можем записать скалярное произведение в любой из следующих форм:

В частности, квадрат длины вектора v определяется следующими выражениями:

Поскольку (u, v) = |u||v| cos(û, v), то косинус угла между двумя векторами u и v подсчитываем по формуле

Всюду выше компонентами тензоров являлись скалярные величины. Все сказанное, однако, остаётся справедливым и в случаях, когда компонентами тензоров служат векторные величины. Так, равенства (12) показывают, что векторные величины r и r могут рассматриваться как составляющие соответственно ковариантного и контравариантного тензоров первой валентности с векторными компонентами, причём

Действительно, в силу сказанного выше, для любого вектора v

C другой стороны

= = (v, r ) = (v, r ).

Вычитая из этого равенства предыдущее, получаем

0 = (v, r ) − (v, r ) = (v, r − r ).

Поскольку последнее соотношение должно выполняться при любых векторах v, из него следует, что r − r = 0, т.е. r = r . Совершенно

62

аналогично можно получить второе из соотношений (3). А тогда на разложения (2) и (6) можно смотреть как на свертки двух тензоров первой валентности со скалярными и векторными компонентами. Свертка приводит в данном случае к инвариантному вектору. Сказанного достаточно для того, чтобы уловить разницу между инвариантным вектором и тензорами с векторными компонентами.

Введем, далее, дискриминантный тензор, определяя его ковариантные и контравариантные компоненты равенствами:

С помощью равенств (3) нетрудно убедиться, что величины и действительно являются компонентами тензора третьей валентности. В силу хорошо известного свойства скалярно-векторного произведения построенный тензор является кососимметричным по всем индексам. Отсюда следует, что отличными от нуля являются лишь компоненты, у которых все три индекса различны, при этом все они либо совпадают с ( ), либо отличаются от него знаком, в зависимости от того, является четной или нечетной перестановки, переводящая индексы , , в 1, 2, 3. Теорема 1 позволяет вычислить 123 и 123:

С помощью соотношений (4) легко проверяется справедливость следующих часто используемых равенств:

63

11-я лекция. Ковариантное дифференцирование Основы тензорного анализа

При построении тензорного анализа приходится считаться с тем обстоятельством, что координатные векторы при недекартовой координации являются переменными величинами. Установим правило дифференцирования вектора. Пусть в обозначениях (2) задан вектор v = r = r . Тогда

Разложим вектор r по основным векторам; его составляющие по этим направлениям равны скалярным произведениям вектора на соответствующие взаимные. Поэтому,

Величины Γ называют символами Кристоффеля второго рода (Christoffel

— немецкий математик). Подставляя полученное выражение в (1) и меняя значки суммирования, находим

Нетрудно получить аналогичные формулы и для ковариантного век-

необходимо подсчитать его скалярные произведения на основные {r }.

64

Поэтому

Подставляя это выражение в (5) и меняя значки суммирования, получаем

Таким образом, для того чтобы продифференцировать вектор, заданный в координации общего вида, необходимо подсчитать величины Γ . Более удобными, однако, для вычисления являются символы Кристоффеля первого рода:

Символ Кристоффеля первого рода довольно просто вычисляются через компоненты основного метрического тензора. В самом деле, дифференцируя равенство = (r , r ) по , получаем

∂= (r , r ) + (r , r ) ,

т.е.

∂ Γ , +Γ , = ∂ .

Так же получаются два аналогичных соотношения:

∂ Γ , +Γ , = ∂ ;

∂ Γ , +Γ , = ∂ .

65

Вычитая первое выражение из суммы второго и третьего, получаем с учётом симметричности величин r , r и r следующее выражение для

Γ , :

Вернемся к равенству (7). Оно определяет так называемую ковариантную производную ковариантного вектора. С переменностью основных векторов связано то обстоятельство, что в координатах общего вида компоненты производной вектора перестают быть равными производными компонент вектора. Сравнение равенств v = r и (8), однако, показывает, что ковариантная производная обладает этим свойством. Более того, ковариантная производная имеет явно тензорный характер. В этом нетрудно убедиться, заметив, что согласно равенству (8) её свертывание со взаимным вектором приводит к ковариантному вектору, т.е. ковариантная производная ковариантного вектора представляет собой дважды ковариантный тензор. Аналогично равенство (3) показывает, что ковариантная производная контравариантного вектора приводит к смешанному тензору второй валентности. Сказанное выше и объясняет то большое внимание, которое уделяется в тензорном анализе ковариантному дифференцированию.

Очевидным является следующие свойства ковариантной производной:

Теорема 1 (Свойства ковариантного дифференцирования).

( + ) = + для любых констант и ; если понимать под ковариантной производной инварианта (скалярного либо векторного) его частную производную по соответствующей координате = ∂ /∂ , то ( ) = · + · , т.е. ковариантная производная произведения вектора ни инвариант составляется по тому же закону, что и обыкновенная производная произведения двух функций.

В предыдущих рассуждениях было безразлично, являются ли компоненты тензора скалярными или векторными величинами. Важен был лишь закон, по которому они преобразуются при переходе к новой системе координат. Поэтому основные и взаимные координатные векторы в силу (11) и (12) следует рассматривать как тензоры первой валентности, соответственно, ковариантный и контравариантный. Такие тензоры, как уже говорилось выше, носят название тензоров с векторными компонентами. Существуют тензоры с векторными компонентами и более сложной структуры. К ним полностью применимы сформулированные

66

выше теоремы и полученные соотношения.

В частности, величины r определяют дважды ковариантный тензор с векторными компонентами и, согласно (5), (1) и (2),

т.е. при ковариантном дифференцировании координатные векторы должны рассматриваться как постоянные величины.

Введем понятие ковариантной производной тензора, рассматривая тензор частного вида = · , образованный перемножением двух ковариантных векторов и . При этом естественно требовать, чтобы правило дифференцирования произведения оставалось в силе, т. е. =· + · . Используя правило ковариантного дифференцирования вектора (4.13), находим

Формулы (12) - (14) примем в качестве определения ковариантной производной произвольного тензора второй валентности.

Из приведённых соотношений легко усматривается правило составления ковариантной производной произвольного тензора. Усвоив его, уже

не представляет труда написать, к примеру,

= ∂∂ + Γ + Γ − Γ .

Интересным свойством обладают компоненты метрического и дискриминантного тензоров. Для них:

= = = 0; = . . . = = 0. (15)

67

Справедливость их усматривается из того обстоятельства, что, являясь компонентами тензоров, величина, стоящие в левых частях равенств, обращаются в нуль в декартовой системе координат. Таким образом, при ковариантном дифференцировании компоненты метрического и дискриминантного тензоров могут рассматриваться как постоянные. Используя это, можно легко получать целый ряд полезных соотношений. Например,

= ( ) = .

Производя ковариантное дифференцирование вектора, мы приходим к тензору второй валентности. Последний можно ещё раз подвергнуть ковариантному дифференцированию. Таким образом, мы приходим к понятию второй ковариантной производной. Встаёт вопрос, зависит ли величина второй ковариантной производной от порядка дифференцирования? Ответ на этот вопрос даёт тождество Риччи (Ricci), которое мы

в силу произвольности вектора экстенсив ··,· является смешанным тензором четвертой валентности. Опуская в нём верхний значок, приходим к четырежды ковариантному тензору

Его называют обычно тензором Римана-Христофеля (Riemann-Christoffel). Можно показать [7], что он связан с компонентами основного метрического тензора соотношениями

(18) Из этих соотношений усматриваются следующие свойства введённого тензора:

показывающие, что существенно различными являются лишь шесть его компонент:

Из соотношений (18) видно, что в декартовой системе координат все компоненты тензора Римана – Кристофеля равны нулю, а тогда в силу определения тензора, они равны нулю и в любой координации. При этом из (17) следует, что при ковариантном дифференцировании

68

тензоров произвольного вида можно менять порядок дифференцирования.

В заключение параграфа рассмотрим кососимметричный тензор

= , − , ,

в котором — компоненты некоторого вектора v. Заменяя ковариантные производные их выражениями (7), находим

∂ ∂

= ∂ − ∂ ,

Свертывание его с контравариантным дискриминантным тензором приводит к вектору, называемому ротором вектора v:

69

12-я лекция. Плоские кривые

Всюду ниже, если не оговорено противное, мы рассматриваем плоскость R2 со стандартными декартовыми прямоугольными (коротко евклидовыми) координатами , . Через r( , ) обозначаем радиус-вектор точки плоскости с евклидовыми координатами ( , ), так что если

i и j – базис, а – начало евклидовой системы координат { , i, j}, то

−−→

= r = i + j.

Способы задания кривых.

Из курса анализа известен простейший способ задания гладкой кривой на плоскости — в виде графика. Именно, пусть ( ) — гладкая функция, заданная на отрезке или интервале оси .

Определение 1 (График, кривая). Множество точек плоскости, координаты ( , ) которых связаны равенством = ( ) называется кривой или графиком. Совершенно аналогично определяются кривые =( ), являющиеся графиками функций переменной .

Ясно, что не любая кривая на плоскости может быть задана в виде графика. Действительно, если кривая – график, то любая прямая, параллельная оси , пересекает её не более, чем в одной точке (координаты точки пересечения с прямой = 0 имеют вид ( 0, ( 0)), где 0 принадлежит области определения функции ). С другой стороны, далеко не любая кривая на плоскости обладает этим свойством; простейший пример — окружность 2 + 2 = 1 (любая вертикальная

ром. Именно, пусть ( , ) — гладкая функция двух переменных, причём во всех точках плоскости, в которых ( , ) = 0, хотя бы одна частная производная ∂ /∂ или ∂ /∂ отлична то нуля.

Определение 2 (Неявно заданная кривая). Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению ( , ) = 0, называется неявно заданной кривой.

Рассмотрим, наконец, третий (и самый удобный) способ задания кривой – параметрический: будем представлять себе кривую на плоскости как траекторию движения точки в течение некоторого промежутка времени . Закон движения точки определяется парой гладких функций

70