книги / 872

ное число (x, y), называемое скалярным произведением векторов x и y, причём функция (x, y) удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):

1)(x, y) = (y, x);

2)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3)( x, y) = (x, y), C;

4)(x, x) ≥ 0, причём (x, x) = 0 x = 0.

Вунитарном пространстве не определяется угол между векторами, так как скалярное произведение (x, y) не обязано быть действительным числом. Однако все остальные определения и результаты, сформулированные выше для евклидова пространства, остаются справедливыми и для унитарного пространства.

Пример 4. Доказать, что в пространстве арифметических векторов C формула

(x, y) = 1 1 + · · · + ,

где x = ( 1, . . . , ) и y = ( 1, . . . , ), задаёт скалярное произведение. Написать в этом случае неравенство Коши – Буняковского и убедиться в его справедливости для = 2.

Пример 5. Доказать, что в любом пространстве со скалярным произведением (евклидовом или унитарном) любая система попарно ортогональных векторов линейно независима.

31

6-я лекция. Линейные преобразования; собственные значения и собственные векторы

Отображение : L → L линейного L пространства в себя называется

линейными преобразованием (оператором), если выполняются следующие свойства:

1)( x) = x;

2)(x + y) = x + y.

Пусть — линейный оператор конечномерного линейного пространства L с базисом e = {e1, . . . , e }. Разложим векторы e , = 1, . . . , , по базису e. Пусть

называется матрицей линейного оператора в базисе e, причём если, — столбцы координат векторов x, y в базисе e, то

x = y = .

Пусть и ′ — матрицы оператора в базисах e и e′, а = → ′ — матрица перехода от базиса e к базису e′. Тогда

′ = −1 .

Пример 1. Пусть e = {e1, e2, e3} — базис пространства L3. Тогда

система векторов e′1 = e1 + e2, e′2 = e2 + e3, e′3 = e1 + e2 + e3 также является базисом. Выпишем столбцы координат векторов e′1, e′2, e′3 в

базисе e:

По определению матрица перехода = → ′ имеет вид

32

Найдем координаты ′ вектора x = e1 + 2e2 + 3e3 в базисе e′. Используя матрицу перехода, получаем

Пусть линейный оператор действует на любом векторе x = 1e1 +2e2 + 3e3 следующим образом

= ( 1 − 2)e1 + ( 1 + 2)e2 + ( 1 + 2 + 3)e3.

11 1

—матрица линейного оператора в базисе e. Применяя формулу пре-

образования матрицы оператора при преобразовании базиса, получаем матрицу линейного оператора в базисе e′

Ядро и образ линейного оператора. Ядром линейного оператора

пространства L называется множество

= {x | x = 0}.

Теорема 1. (О ядре линейного оператора) Ядро линейного оператора с матрицей является подпространством конечномерного пространства L, причём = {0} тогда и только тогда, когда

| | ≠ 0.

Доказательство. Пусть x, y , тогда

( x) = x = 0 = 0

и

(x + y) = x + y = 0 + 0 = 0.

33

Таким образом, множество замкнуто относительно умножения вектора на число и относительно сложения векторов, а это и означает, что оно является линейным подпространством. Второе утверждение теоремы следует из того, что однородная система линейных уравненийx = 0 имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда | | = 0. Теорема доказана.

Образом линейного оператора пространства L называется множество

= { x | x L}.

Теорема 2. (Об образе линейного оператора) Образ линейного оператора с матрицей является подпространством конечномерного пространства L, причём = L тогда и только тогда, когда

| | ≠ 0.

Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из линейности оператора , а второе вытекает из теоремы Кронекера – Капелли. Теорема доказана.

Теорема 3. (О сумме размерностей ядра и образа линейного оператора) Пусть — линейный оператор конечномерного пространства L. Тогда

( ) + ( ) = .

Доказательство. Пусть = ( ) — матрица линейного оператора. По определению y в том и только том случае, когда найдется такой вектор x L, что y = x или в координатной форме

Отсюда образ совпадает с линейной оболочкой системы столбцов матрицы и, следовательно, ( ) = .

С другой стороны, ядро совпадает с подпространством решений однородной системы = 0, поэтому ( ) = L − . Следовательно, ( ) + ( ) = . Теорема доказана.

34

Пример 2. Найти ядро и образ линейного оператора с матрицей

Решение. Образ оператора совпадает с линейной оболочкой системы столбцов матрицы и его размерность как линейного пространства равна 2, а в качестве базиса можно взять любую пару столбцов матрицы

.

Ядро оператора совпадает с множеством решений однородной системы = 0 и его размерность как линейного пространства равна 1, а в качестве базиса можно взять вектор

1

1 .

−2

Операции над линейными преобразованиями

Над линейными преобразованиями и фиксированного линейного пространства L, матрицы которых и соответственно, вводятся следующие операции.

1)Сложение преобразований: ( + ) = + , при этом +

—матрица оператора + .

2)Умножение преобразования на число: ( )x = ( x), при этом

—матрица оператора .

3)Умножение преобразований: ( )x = ( x), при этом — матрица оператора .

4)Обратное преобразование: −1, которое определяется равенствами−1 = −1 = , где — единичный оператор (реализующий тождественное преобразование с единичной матрицей). Оператор имеет обратный в том и только том случае, когда | | ≠ 0, при этом −1 — матрица оператора −1.

Пример 3. В пространстве R2 заданы два линейных оператора и. Найти матрицу линейного оператора = − и его явный вид в каноническом базисе R2, если

= ( 2, 0),

35

= (0, 1).

Решение. Пусть , — матрицы линейных операторов и соот-

Следовательно, x = ( 1, − 2).

Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Ненулевой вектор x линейного пространства L называется собственным вектором линейного оператора , если существует число такое, что

x = x,

при это число называется собственным значением (числом) оператора . В конечномерном линейном пространстве L последнее равенство эквивалентно матричному равенству

( − ) = 0,

где — матрица оператора в некотором (любом) базисе, — столбец координат вектора , — единичная матрица. Отсюда следует, что число есть собственное значение оператора в том и только том случае, когда

( − ) = 0.

Таким образом, есть корень многочлена ( − ), который называется характеристическим многочленом, столбец координат любого собственного вектора, соответствующего собственному значению , есть некоторое нетривиальное решение однородной системы ( − ) = 0.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора = проектирования на плоскость в пространстве геометрических векторов с ортонормированном базисом e = {i, j, k}.

Геометрическое решение. Равенство x = x при x ̸= 0 означает, что ортогональная проекция вектора x на плоскость коллинеарна самому вектору x. Но это возможно лишь в следующих двух случаях.

1) Вектор x ̸= 0 компланарен плоскости . Для всех таких векторов x = x, т.е. все они являются собственными векторами, соответствующими собственному значению 1 = 1, и имеют вид i + j ̸= 0.

36

2) Вектор x ̸= 0 ортогонален плоскости . Для всех таких векторов x = 0 = 0 · x, т.е. все они являются собственными векторами, соответствующими собственному значению 1 = 0, и имеют вид k ̸= 0.

Аналитическое решение. Матрица оператора в ортонормированном базисе имеет вид

Собственные значения 1 = 1 и 2 = 0 являются корнями характеристического многочлена

Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению 1 = 1. При = 1 система ( − ) = 0 принимает вид

Ее фундаментальная система решений есть

и, следовательно, ее общее решение есть

1 + 2 = .

0

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие собственному значению 1 = 1, имеют вид i + j, где и — произвольные числа, не равную одновременно нулю.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению 2 = 0. При = 0 система ( − ) = 0 принимает вид

37

Ее фундаментальная система решений есть

01 = 0

1

и, следовательно, ее общее решение есть

0

1 = 0 .

Таким образом, все собственные векторы, соответствующие собственному значению 2 = 0, имеют вид k, где — произвольные ненулевое число.

Пример 2. Найти самостоятельно собственные значения и собственные векторы линейного оператора с матрицей

38

7-я лекция. Тензорный формализм

Ниже приводится минимум сведений по основам тензорного анализа, необходимый для чтения специальной литературы по механике сплошных сред. Более основательно познакомиться с теорией поверхностей и тензорным анализом можно в [4] – [7].

Контравариантные и ковариантные составляющие вектора

Отнесем рассматриваемую часть пространства к криволинейным ко-

ординатам общего вида 1, 2, 3. Положение произвольной точки можно

−−→

определять (рис. 1) радиус-вектором = r( 1, 2, 3).

3

r3

Рисунок. 1. Координатные векторы r1, r2, r3.

Будем считать, что все точки в принятой координации обыкновенные, т. е., что основные координатные векторы

касательные к координатным линиям 1, 2, 3 не лежат в одной плоскости, так что их смешанное скалярно-векторное произведение не равно нулю: будем считать, что r1, r2, r3 > 0. Тогда векторы r1, r2, r3 образуют базис в векторном пространстве и произвольный вектор v может быть представлен в виде разложения

здесь и ниже дважды повторенный значок греческого алфавита означает суммирование по этому значку — правило Эйнштейна (Albert Einstein)

39

Величины 1, 2, 3 называют контравариантными компонентами вектора v в принятой координации 1, 2, 3.

r1 r2

r3

r3

r2

r1

Рисунок. 2. Векторы взаимного базиса r1, r2, r3.

Как вычислить контравариантные компоненты вектора? Для этого удобно наряду с основными (по условию не лежащими в одной плоскости) векторами r1, r2, r3 ввести взаимные векторы r1, r2, r3 (см. рис. 2), определив их равенствами:

Здесь - символ Кронекера - 1866, (Leopold Kronecker). Легко прове-

рить, что соотношения (3) определяют векторы r1, r2, r3 единственным образом. Из определений и свойств векторного и смешанного произведений векторов заключаем, что формулы, связывающие взаимные и основные векторы, имеют следующий вид:

т.е. контравариантная составляющая вектора равна его скалярному произведению на соответствующий взаимный.

Используя взаимные векторы, можно представить произвольный вектор v и в следующем виде:

40