книги / 872

c = [a, b]

b

ab̂

a

Рисунок. 2. Векторное произведение векторов a и b

Лемма 1. Если a ̸= 0 и b′ ортогональная проекция вектора b на плоскость перпендикулярную вектору a, то [a, b] = [a, b′].

c = [a, b]

b′

b

a

Рисунок. 3. К доказательству леммы

Векторное произведение векторов a и b будем обозначать через [a, b].

Доказательство. Пусть c = [a, b], c′ = [a, b′], = â, b. Тройки a, b, c и a, b′, c′ имеют одинаковую ориентацию, причем c a, b и

c′ a, b′. Кроме того, |c| = |a||b| sin , |b′| = |b| sin . Следовательно,

|c| = |a||b| sin = |a||b′| = |c′|.

Лемма доказана.

Теорема 1. Для любых векторов a и b справедливы соотношения:

1)[a, b] = −[b, a];

2)[ a, b] = [a, b];

3)[a, b + c] = [a, b] + [a, c];

4)[a, b] = 0 a||b;

5)|[a, b]| = a,b, где a,b — площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b.

Доказательство. Если векторы a, b коллинеарны, то оба произведения [a, b] и [b, a] равны 0, и равенство 1) справедливо.

21

Если же векторы a, b не коллинеарны, то в силу п. 1) и п. 3) определения векторного произведения векторы [a, b] и [b, a] коллинеарны и имеют одинаковую длину. Поскольку поворот на наименьший угол от вектора b к вектору a будет противоположен повороту от вектора a к вектору b, то векторы [a, b] и [b, a] имеют противоположное направление. Таким образом, равенство 1) установлено.

Для доказательства равенства 2) рассмотрим следующие три возможных случая:

а) = 0,

б) ̸= 0 и векторы a, b коллинеарны, в) ̸= 0 и векторы a, b не коллинеарны.

Вслучае а) в левой и правой частях равенства 2) будут нулевые векторы.

Вслучае б) векторы a, b коллинеарны и в силу определения векторного произведения в обеих частях равенства нулевые векторы.

Случай в). Если > 0, то векторы a и a сонаправлены, следовательно, тройки a, b, [a, b] и a, b, [a, b] имеют одинаковую ориентацию.

Всилу п. 3 определения векторного произведения [ a, b] = [a, b]. Если< 0, то повороты на минимальный угол от вектора a до вектора b и от вектора a до вектора b будут происходить в противоположных направлениях, поэтому тройки a, b, [a, b] и a, b, [a, b] имеют противоположную ориентацию. С учётом п. 3 определения векторного произведения имеем [ a, b] = [a, b].

Докажем свойство 3). В силу леммы 1 и свойств проекции [a, b + c] = [a, b′ + c′]. Вектора b′, c′, b′ + c′ являются, соответственно, сторонами и

диагональю параллелограмма, лежащего в плоскости перпендикулярной вектору a. Произведения [a, b′], [a, c′] и [a, b′ +c′] также лежат в плоскости перпендикулярной вектору a и получены из векторов b′, c′, b′ + c′ в результате поворота на 90 и умножения на число |a|. То есть [a, b′ + c′] диагональ параллелограмма, построенного на векторах [a, b′] и [a, c′]. Следовательно [a, b′ + c′] = [a, b′] + [a, c′]. Осталось применить лемму 1.

Свойства 4), 5) следуют из определения векторного произведения и формулы вычисления площади параллелограмма. Теорема доказана.

Лемма 2. Для любых векторов a, b, c справедливо равенство

[[a, b], c] = (a, c)b − (b, c)a,

где (x, y) — скалярное произведение векторов x, y.

Доказательство. Если вектора a, b коллинеарны, то a = b и равенство очевидно.

22

Пусть a, b не коллинеарны и c′ ортогональная проекция вектора c на плоскость, перпендикулярную вектору [a, b], т.е. на плоскость векторов a, b. В силу леммы 1 [[a, b], c] = [[a, b], c′]. Выберем правый ортонормированный базис пространства следующим образом. Пусть вектор i сонаправлен с вектором a, вектор k сонаправлен с вектором [a, b], а вектор j выберем так, чтобы тройка i, j, k была правой. Тогда a = i, b = 1i+ 1j, c = 2i + 2j. В силу свойств векторного произведения имеем

[a, b] = [ i, 1i + 1j] = 1[i, i] + 1[i, j] = 1k.

Следовательно,

[[a, b], c] = [ 1k, 2i + 2j] = 1 2[k, i] + 1 2[k, j] =

=1 2j − 1 2i = (a, c) 1j + 1 2 i − 1 2 i − 1 2i =

=(a, c) 1j + 1(a, c)i − ( 1 2 + 1 2) i = (a, c)b − (b, c)a,

что и требовалось доказать.

Лемма 3. (Тождество Якоби.)

[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0.

Доказательство. В силу леммы 2 свойства симметричности для скалярного произведения получаем

[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] =

= (a, c)b − (b, c)a + (b, a)c − (c, a)b + (c, b)a − (a, b)c = 0.

Лемма доказана.

Смешанным произведением векторов a, b, c будем называть число, равное ([a, b], c), обозначая его abc или a, b, c .

[a, b]

[ c c[ab]

b

ab̂

a

Рисунок. 4. Смешанное произведение векторов a, b и c

23

Теорема 2. Смешанное произведение a, b, c обладает следующими свойствами.

1)a, b, c = 0 векторы a, b, c компланарны.

2)Если тройка a, b, c правая, то a, b, c = + a,b,c, если же тройка a, b, c левая, то a, b, c = − a,b,c. Здесь a,b,c — объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c.

3)При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение принимает противоположное значение.

4)Если a = a1 + a2, то a, b, c = a1, b, c + a2, b, c .

Доказательство. Если [a, b] = 0 или c = 0, то утверждение 1) справедливо. Рассмотрим случай [a, b] ̸= 0 и c ̸= 0. Предположим, чтоa, b, c = 0, т. е. [a, b] c и, следовательно, векторы a, b, c лежат в одной плоскости. Обратно, пусть векторы a, b, c лежат в одной плоскости. Тогда [a, b] . Следовательно, ([a, b], c) = 0.

Докажем свойство 2). Пусть = , где - площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b, а — высота параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c. Очевидно, что

a, b, c = [a, b]| · |c| = |c| cos = ± ·

и|c| cos > 0 (т. е. острый) a, b, c правая тройка. Теорема доказана.

Вычисление векторного и смешанного произведений в прямоугольных системах координат

Прямоугольную таблицу чисел, состоящую из строк и столбцов

будем называть матрицей размера × , а матрицу размера × будем называть квадратной порядка .

Определителем 2-го порядка квадратной матрицы

( )

11 1221 22

назовем число 11 22 − 12 21. Обозначать это число будем через

11 12 .

21 22

24

Определитель 3-го порядка определим следующим образом:

Теорема 3. Если ( 1, 2, 3), ( 1, 2, 3) и ( 1, 2, 3) — координатные строчки соответственно векторов x, y, z в базисе a1, a2, a3, то

Если базис a1, a2, a3 ортонормированный и правый, то

1 2 3

4) x, y, z = 1 2 3 .

1 2 3

Доказательство. 1) По условию теоремы

x = 1a1 + 2a2 + 3a3,

y = 1a1 + 2a2 + 3a3.

z = 1a1 + 2a2 + 3a3

Раскрывая скобки в векторном произведения, получаем

[x, y] = [ 1a1 + 2a2 + 3a3, 1a1 + 2a2 + 3a3] =

= 1 1[a1, a1] + 1 2[a1, a2] + 1 3[a1, a3] + 2 1[a2, a1]+

+ 2 2[a2, a2] + 2 3[a2, a3] + 3 1[a3, a1] + 3 2[a3, a2] + 3 3[a3, a3] =

=( 1 2 − 2 1)[a1, a2] + ( 1 3 − 3 1)[a1, a3] + ( 2 3 − 3 2)[a2, a3] =

2)В соответствии с п. 1) и свойствами скалярного произведения имеем

25

Так как смешанное произведение тройки компланарных векторов равно нулю, то в верхней сумме из девяти слагаемых останутся только три и, следовательно,

1 2 3

1 2 3 a1a2a3 .

1 2 3

В правом ортонормированном базисе [a1, a2] = a3, [a1, a3] = −a2,

[a2, a3] = a1, a1a2a3 = 1. Из этих равенств и п.1) и 2) доказываемой теоремы следуют п. 3), 4).

Теорема доказана.

26

Элементы линейной алгебры

Ниже, следуя [1], приводятся определение линейного пространства; понятия линейной независимости, базиса, скалярного произведения и др. для геометрических векторов аксиоматическим образом переносятся на произвольные линейные пространства. Рассматриваются также линейные преобразования; более основательно познакомиться с теорией линейных преобразование можно в [2].

5-я лекция. Линейные пространства

Множество L называется линейным пространством, если на нём заданы операция сложения x + y и операция умножения на число x, причём для любых чисел x, y, z L и любых , R (C) выполняются следующие свойства:

1)x + y = y + x (коммутативность операции сложения);

2)(x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность операции сложения);

3)существует нулевой элемент 0 L такой, что x + 0 = x;

4)существует противоположный к x элемент (−x) L такой, что x + (−x) = 0;

5)1 · x = x;

6)( x) = ( x);

7)(x + y) = x + y;

8)( + )x = x + x.

Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство L называется действительным, если в L операция умножения на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.

Система векторов {e1, . . . , e } пространства L называется линейно независимой, если найдутся числа 1, . . . , , не равные нулю одновременно такие, что

1e1 + · · · + e = 0,

в противном случае эта система называется линейно зависимой. Линейно независимая система = {e1, . . . , e } называется базисом пространства L, если любой вектор L представляется в виде

= 1e1 + · · · + e .

27

Последнее равенство называется разложением вектора x по базису e, а числа 1, . . . , — координатами этого вектора в базисе e. Натуральное число называется размерностью пространства L. Таким образом, всякому вектору x L однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе:

При этом линейные операторы над векторами выглядят следующим образом:

z = x + y = + , y = x = .

Пусть = {e1, . . . , e } и e′ = {e′1, . . . , e′ } — два различных базиса пространства L. Каждый из векторов базиса e′ разложим по базису e:

Матрица перехода от базиса к базису ′ называется матрица

Если и ′ — столбцы координат вектора x L в базисах e и e′ соответственно, то имеет место формула преобразования координат при переходе от одного базиса к другому

′ = ( → ′)−1 .

Пример 1. Пусть e = {e1, e2, e3} — базис пространства L3. Тогда

система векторов e′1 = e1 + e2, e′2 = e2 + e3, e′3 = e1 + e2 + e3 также является базисом. Выпишем столбцы координат векторов e′1, e′2, e′3 в

базисе e:

По определению матрица перехода = → ′ имеет вид

28

Найдем координаты ′ вектора x = e1 + 2e2 + 3e3 в базисе e′. Исполь-

Пусть любой паре векторов x и y из действительного линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), называемое скалярным произведением векторов x и y, причем функция (x, y) удовлетворяет следующим условиям (аксиомам):

1)(x, y) = (x, y);

2)(x + y, z) = (x, z) + (y, z);

3)( x, y) = (x, y), R;

4)(x, x) ≥ 0, причем (x, x) = 0 x = 0.

Линейное пространство на котором определено скалярное произведение называется евклидовым.

По определению длиной вектора x называется число

√

|x| = (x, x).

Вектор x, длина которого равна единице, называется нормированным. Очевидно, вектор (1/|x|)x является нормированным для любого ненулевого вектора x.

Для любых векторов x, y справедливо неравенство Коши – Буняков-

ского

(x, y)2 ≤ (x, x)(y, y),

которое позволяет следующим образом формально определить угол между любыми ненулевыми векторами x и y:

(x, y) cos = |x| · |y|.

Ненулевые векторы x, y называются ортогональными, если (x, y) = 0.

Замечание 1. В пространстве геометрических векторов скалярное произведение определялось равенством

(x, y) = |x| · |y| · cos ,

29

причём в этом случае аксиомы 1)–4) скалярного произведения являются следствиями последнего равенства. Таким образом, понятие скалярного произведения перенесено с пространства геометрических векторов на любое действительное линейное пространство.

Пример 2. Доказать, что в пространстве арифметических векторов R формула

(x, y) = 1 1 + · · · + ,

где x = ( 1, . . . , ) и y = ( 1, . . . , ), задаёт скалярное произведение. Написать в этом случае неравенство Коши – Буняковского и убедиться в его справедливости для = 2.

Базис e = {e1, . . . , e } евклидова пространства E размерности на-

Если в E задан произвольный базис f{f1, . . . , f }, то векторы e1 = f1,

−1

e = f − ∑ (f , e )e , = 2, 3, . . . , ,

=1 (e , e )

образуют ортогональный базис пространства E . Последние равенства называются процессом ортогонализации Шмидта.

Пример 3. Применить процесс ортогонализации к следующей системе векторов: f1 = (1, 1, 1), f2 = (1, 2, 0), f3 = (0, 3, 0).

Решение. Полагаем e1 = f1 = (1, 1, 1). Вектор e2 запишем в виде

e2 = f2 − (f2, e1) e1.

(e1, e1)

Так как (f2, e1) = 3, (e1, e1) = 3, то e2 = (0, 1, −1). Вектор e3 находим в виде

Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если каждой паре его векторов x и y поставлено в соответствие комплекс-

30