книги / 872
.pdf
Пусть теперь = — симметричный тензор. Этот тензор определяет чистую деформацию окрестности точки . Тогда из (6) следует, что вектор 1 e1 при деформировании переходит в вектор
[(1 + 11)e1 + 21e2 + 31e3]Δ 1 ,
длина которого с точностью до величин второго порядка малости равна (1 + 11)| 1 |. Следовательно, компонента 11 тензора определяет относительное удлинение тела вдоль направления e1. Компоненты же21 и 31 будут определять поворот этого направления по отношению к векторам e2 и e3.
Точно так же величины определяют относительное удлинение тела вдоль направлений e , а компоненты при ̸= — изменение угла между направлениями e и e . Кроме того, так как = , то поворот вектора e в направлении вектора e совпадает с поворотом вектора e в направлении вектора e . Компоненты при ̸= называют сдвиговыми компонентами тензора деформации.
Определим, как изменится объём при деформации тела, определяемой тензором . Поскольку коэффициент искажения объёмов при линейном преобразовании равен определителю матрицы этого линейного преобразования, то если обозначить через объём элемента тела до деформации, а через * — объём того же элемента после деформации, то получим
* = ( + ) ≈ 1 + 11 + 22 + 33,
где в правой части отброшены слагаемые, содержащие произведения компонент тензора деформации, являющиеся величинами не ниже второго порядка малости. Из этого соотношения видно, что коэффициент относительного объёмного расширения тела при деформации, определяемой тензором { }, равен следу этого тензора:
* − = ( ) = .
Приведем симметричный тензор к главным осям. Тогда его матрица примет диагональный вид:
( ) = |
01 |
2 |
0 . |
||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
3 |
||
Собственные значения тензора называются главными коэффициентами деформации тела, а его главные оси — главными направлениями
111
деформации. Главные направления деформации тела характеризуются тем, что они остаются взаимно ортогональными при деформации. Главные коэффициенты деформации определяют удлинение тела вдоль главных направлений деформации.
Заметим, что рассмотренные тензоры напряжений и деформации не связаны со свойствами материала.Первый из них описывает внешнее воздействие на среду, а второй — реакцию сплошной среды на это или какоелибо другое воздействие. Такие тензоры часто называют полевыми тензорами. Тензоры же, описывающие свойства материала среды, называют материальными тензорами. К ним относится, например, тензоры податливости, жёсткости, теплопроводности и целый ряд других тензоров, изучение которых выходит за рамки данного курса.
112
Контрольное задание №1.
Найти координаты вектора a в базисе e1, e2, e3, если все векторы заданы своими координатами в базисе i, j, k.
1.1. |
a |
= |
(1, |
-14, |
-3), |
1.2. |
a |
= |
(1, |
-14, |
9), |
|
e1 |
= |
(-1, |
4, |
1), |
|
e1 |
= |
(-3, |
-4, |
2), |
|
e2 |
= |
(-5, |
-4, |
-1), |
|
e2 |
= |
(2, |
-4, |
3), |
|
e3 |
= (-3, |
-5, -1). |
|
e3 |
= (-4, |
-3, |
1). |
|||
1.3. |
a |
= |
(6, |
16, |
9), |
1.4. |
a |
= |
(16, |
-15, |
8), |
|
e1 |
= |
(-1, |
5, |
4), |
|
e1 |
= |
(-4, |
-2, |
4), |
|
e2 |
= |
(-2, |
-2, |
-1), |
|
e2 |
= |
(-1, |
5, |
-5), |
|
e3 |
= |
(5, |
4, |
1). |
|
e3 |
= |
(-2, |
3, |
-2). |
1.5. |
a |
= |
(18, |
4, |
3), |
1.6. |
a |
= |
(-8, |
-16, |
14), |
|
e1 |
= |
(3, |
-2, |
1), |
|
e1 |
= |
(4, |
1, |
-3), |
|
e2 |
= |
(-2, |
-2, |
0), |
|
e2 |
= |
(-4, |
-4, |
5), |
|
e3 |
= |
(3, |
4, |
0). |
|
e3 |
= |
(4, |
-3, |
-1). |
1.7. |
a |
= |
(-10, |
-2, |
-10), |
1.8. |
a |
= |
(11, |
7, |
-6), |
|
e1 |
= |
(-4, |
5, |
-2), |
|
e1 |
= |
(-5, |
1, |
4), |
|
e2 |
= |
(2, |
-2, |
1), |
|
e2 |
= |
(-1, |
1, |
1), |
|
e3 |
= |
(3, |
4, |
4). |
|
e3 |
= |
(-2, |
-5, |
0). |
1.9. |
a |
= |
(19, |
10, |
-11), |
1.10. |
a |
= |
(-7, |
15, |
7), |
|
e1 |
= |
(-5, |
1, |
1), |
|
e1 |
= |
(1, |
-3, |
-5), |
|
e2 |
= |
(-1, |
3, |
-1), |
|
e2 |
= |
(-3, |
5, |
-5), |
|
e3 |
= |
(4, |
1, |
-2). |
|
e3 |
= |
(-1, |
1, |
-3). |
1.11. |
a |
= |
(-1, |
-3, |
6), |
1.12. |
a |
= |
(4, |
-1, |
-3), |
|
e1 |
= |
(1, |
-4, |
1), |
|
e1 |
= |
(1, |
-2, |
2), |
|
e2 |
= |
(-2, |
2, |
3), |
|
e2 |
= |
(1, |
1, |
-1), |
|
e3 |
= |
(-1, |
-1, |
2). |
|
e3 |
= |
(5, |
-2, |
0). |
1.13. |
a |
= |
(-2, |
5, |
9), |
1.14. |
a |
= |
(8, |
-10, |
6), |
|
e1 |
= |
(5, |
1, |
-3), |
|
e1 |
= |
(-3, |
-1, |
2), |
|
e2 |
= |
(2, |
-1, |
-3), |
|
e2 |
= |
(4, |
-3, |
1), |
|
e3 |
= |
(3, |
1, |
-1). |
|
e3 |
= |
(5, |
2, |
-3). |
113
1.15. |
a |
= |
(4, |
5, |
3), |
|
e1 |
= |
(4, |
3, |
3), |
|
e2 |
= |
(-5, |
1, |
-5), |
|
e3 |
= |
(-1, |
5, |
-2). |
1.17. |
a |
= |
(-10, |
13, |
-3), |
|
e1 |
= |
(-5, |
4, |
2), |
|
e2 |
= |
(-2, |
1, |
1), |
|
e3 |
= |
(-1, |
3, |
-3). |
1.19. |
a |
= |
(-7, |
-10, |
-13), |
|
e1 |
= |
(2, |
-2, |
-4), |
|
e2 |
= |
(-4, |
-3, |
-3), |
|
e3 |
= |
(1, |
2, |
3). |
1.16. |
a |
= |
(5, |
-3, |
-7), |
|
e1 |
= |
(3, |
-2, |
3), |
|
e2 |
= |
(-1, |
1, |
-5), |
|
e3 |
= |
(-1, |
1, |
3). |
1.18. |
a |
= |
(5, |
-9, |
15), |
|
e1 |
= |
(-5, |
4, |
-2), |
|
e2 |
= |
(-1, |
-1, |
4), |
|
e3 |
= |
(3, |
-1, |
-3). |
1.20. |
a |
= |
(-5, |
5, |
-11), |
|
e1 |
= |
(3, |
2, |
5), |
|
e2 |
= |
(-1, |
3, |
-2), |
|
e3 = (-2, -1, -4). |
||||
114
Контрольное задание №2.
Найти все значения параметра , при которых:
1)векторы a и b коллинеарны;
2)векторы a и c перпендикулярны;
3)векторы a, b и c компланарны;
4)векторы a, b и c образуют правый базис.
2.1. |
a = ( , 3, 2), |
b = (8, − 10, −8), |
c = (−8, −1, 1). |
2.2. |
a = ( , −8, 6), |
b = (6, − 16, 9), |
c = (−10, 5, 1). |
2.3. |
a = ( , −4, 9), |
b = (−3, + 1, −9), |
c = (−4, −5, 1). |
2.4. |
a = ( , 8, −10), |
b = (−4, − 12, 5), |
c = (5, 8, 1). |
2.5. |
a = ( , −3, −5), |
b = (−8, − 2, −10), |
c = (2, −1, 1). |
2.6. |
a = ( , 7, 8), |
b = (6, + 1, 8), |
c = (3, −1, 1). |
2.7. |
a = ( , 9, −2), |
b = (−6, + 29, −6), |
c = (2, −6, 1). |
2.8. |
a = ( , −4, −8), |
b = (−6, − 23, 2), |
c = (−2, −4, 1). |
2.9. |
a = ( , 1, −9), |
b = (−9, − 10, 9), |
c = (−3, −2, 1). |
2.10. |
a = ( , 6, −4), |
b = (−3, + 11, −6), |
c = (−5, 3, 1). |
2.11. |
a = ( , 8, −4), |
b = (6, − 8, 6), |
c = (5, 1, 1). |
2.12. |
a = ( , 9, 4), |
b = (−8, + 22, 8), |
c = (9, −3, 1). |
2.13. |
a = ( , −3, −9), |
b = (5, + 8, 9), |
c = (−7, −7, 1). |
2.14. |
a = ( , −3, −6), |
b = (−10, + 7, −6), |
c = (−8, 8, 1). |
2.15. |
a = ( , −9, −5), |
b = (6, − 21, −10), |
c = (9, −2, 1). |
2.16. |
a = ( , −7, 3), |
b = (2, + 9, −3), |
c = (4, −1, 1). |
2.17. |
a = ( , 2, 8), |
b = (−1, + 3, 4), |
c = (6, −10, 1). |
2.18. |
a = ( , 8, 1), |
b = (10, + 79, 10), |
c = (−2, 9, 1). |
2.19. |
a = ( , −8, −10), |
b = (−6, + 8, −5), |
c = (−2, 6, 1). |
2.20. |
a = ( , 1, −2), |
b = (3, − 2, 6), |
c = (9, 2, 1). |
115
Контрольное задание №3.
Вычислить (a, b + c, b), если a = [b, c], |b| = 0, |c| = 0, \(b, c) = .
√
3.1.= −7, = −4, 0 = 3, 0 = √7, = /6.
3.2. |
= −6, |
= 5, |
0 = 4, |
0 = |
√ |
7 |
, |
= /4. |
||
3.3. |
= −4, |
= 5, |
0 |
= 3, |
0 |
= |
√ |
2 |
, |
= /3. |
3.4. |
= 4, |
= 2, |
0 |
= 4, |
0 |
= |
√ |
7 |
, |
= 2 /3. |
3.5. |
= −10, |
= −5, |
0 |
= 2, |
0 |
= |
√ |
8 |
, |
= 3 /4. |
3.6. |
= 2, |
= 3, |
0 |
= 1, |
0 |
= |
√ |
2 |
, |
= 5 /6. |
3.7.= 1, = −5, 0 = 1, 0 = √3, = /6.
3.8. = 3, |
= 2, |
0 = 5, |
0 = √ |
6 |
, |
= /4. |
3.9.= 8, = −3, 0 = 2, 0 = √7, = /3.
3.10.= −2, = −4, 0 = 3, 0 = √7, = 2 /3.
3.11.= −7, = −2, 0 = 4, 0 = √7, = 3 /4.
3.12.= −7, = −4, 0 = 1, 0 = √7, = 5 /6.
3.13. |
= −2, |
= 2, |
0 |
= 2, |
0 |
= |
√ |
8 |
, |
= /6. |
3.14. |
= 8, |
= −3, |
0 |
= 3, |
0 |
= |
√ |
5 |
, |
= /4. |
3.15. |
= −1, |
= 4, |
0 |
= 1, |
0 |
= |
√ |
8 |
, |
= /3. |
3.16. |
= 5, |
= 5, |
0 |
= 4, |
0 |
= |
√ |
5 |
, |
= 2 /3. |
3.17.= −10, = 2, 0 = 2, 0 = √8, = 3 /4.
3.18.= 2, = −3, 0 = 5, 0 = √2, = 5 /6.
3.19. |
= −1, |
= 1, |
0 |
= 4, |
0 |
= |
√ |
2 |
, |
= /6. |
3.20. |
= −7, |
= 2, |
0 |
= 1, |
0 |
= |
2, |
= /4. |
||
116
Контрольное задание №4.
Координаты трёх вершин параллелограмма заданы в общей декартовой системе координат с базисными векторами e1, e2. Найти координаты четвертой вершины, длины диагоналей и площадь параллело-
грамма. |
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
\(e1, e2) = 45 , |
|
4.1. |
| e1| = 1, |
| e2| = 2 |
2, |
||
|
(−4, 4), |
(−13, 0), |
(−5, −1). |
||
4.2. |
| e1| = 5, |
| e2| = 3, |
|
|
\(e1, e2) = 60 , |
|
(−2, 5), |
(−7, −14), |
(−4, −5). |
||
4.3. |
| e1| = 2, |
| e2| = 4, |
|
|
\(e1, e2) = 120 , |
|
(−1, −4), |
(3, −2), |
|
|
(3, 5). |
4.4. |
| e1| = 6, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 135 , |
| e2| = 3 |
2, |
||||
|
(−3, −4), |
(−2, 3), |
|
|
(2, 7). |
4.5. |
| e1| = 1, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 150 , |
| e2| = 6 |
3, |
||||
|
(2, 1), |
(−2, 4), |
|
|
(−2, 2). |
4.6. |
| e1| = 6, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 45 , |
| e2| = 5 |
2, |
||||
|
(−1, 5), |
(−3, −2), |
(4, 2). |
||
4.7. |
| e1| = 6, |
| e2| = 2, |
|
|
\(e1, e2) = 60 , |
|
(2, −5), |
(3, 2), |
|
|
(2, 4). |
4.8. |
| e1| = 6, |
| e2| = 5, |
|
|
\(e1, e2) = 120 , |
|
(−2, 2), |
(−2, −1), |
(−4, 0). |
||
|
|
√ |
|
|
\(e1, e2) = 135 , |
4.9. |
| e1| = 5, |
| e2| = 4 |
2, |
||
|
(3, −4), |
(−11, 1), |
(−3, 2). |
||
4.10. |
| e1| = 2, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 150 , |
| e2| = 6 |
3, |
||||
|
(−5, −1), |
(1, 4), |
|
|
(2, 0). |
4.11. |
| e1| = 3, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 30 , |
| e2| = 2 |
3, |
||||
|
(5, 1), |
(−4, −2), |
(−7, 2). |
||
4.12. |
| e1| = 3, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 45 , |
| e2| = 5 |
2, |
||||
|
(3, 1), |
(−3, 1), |
|
|
(−1, −1). |
4.13. |
| e1| = 6, |
| e2| = 5, |
|
|
\(e1, e2) = 60 , |
|
(0, −5), |
(6, 3), |
|
|
(2, 2). |
4.14. |
| e1| = 1, |
| e2| = 6, |
|
|
\(e1, e2) = 120 , |
|
(−1, 4), |
(4, 4), |
|
|
(−4, −3). |
117
|
|
√ |
|
|
\(e1, e2) = 135 , |
4.15. |
| e1| = 5, |
| e2| = 3 |
2, |
||
|
(5, 2), |
(−4, −4), |
(−6, −8). |
||
4.16. |
| e1| = 1, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 150 , |
| e2| = 6 |
3, |
||||
|
(0, −1), |
(−5, −2), |
(0, 4). |
||
4.17. |
| e1| = 2, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 30 , |
| e2| = 4 |
3, |
||||
|
(−2, 2), |
(2, −3), |
|
|
(−2, −2). |
4.18. |
| e1| = 6, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 45 , |
| e2| = 2 |
2, |
||||
|
(4, −3), |
(1, 2), |
|
|
(2, 4). |
4.19. |
| e1| = 5, |
√ |
|
|
\(e1, e2) = 135 , |
| e2| = 4 |
2, |
||||
|
(3, −4), |
(−11, 1), |
(−3, 2). |
||
4.20. |
| e1| = 3, |
| e2| = 5, |
|
|
\(e1, e2) = 60 , |
|
(−4, −4), |
(−2, 4), |
|
|
(5, 3). |
118
Контрольное задание №5.
Даны координаты точек , , в декартовой прямоугольной систе-
ме координат. Найти: 1) cos \ ; |
2) площадь ; |
3) высоту |
|||||||
треугольника ; |
4) объём пирамиды , где – начало |
||||||||
координат; 5) высоту пирамиды . |
|
|
|
|
|||||
5.1. |
A(3, |
5, |
4), |
B(-1, |
-3, |
5), |
C(-5, |
-3, |
0). |
5.2. |
A(3, |
4, |
-3), |
B(-5, |
8, |
5), |
C(-3, |
1, |
3). |
5.3. |
A(5, |
2, |
3), |
B(-3, |
-2, |
-5), |
C(-1, |
9, |
9). |
5.4. |
A(4, |
-3, |
5), |
B(1, |
-5, |
11), |
C(-1, |
7, |
-5). |
5.5. |
A(8, -3, -3), |
B(10, |
-2, |
-1), |
C(10, |
-6, |
3). |
||
5.6. |
A(5, |
3, |
-4), |
B(15, |
-2, |
6), |
C(14, |
-3, |
-6). |
5.7. |
A(2, |
-3, |
3), |
B(0, |
-7, |
-1), |
C(1, |
-3, |
3). |
5.8. |
A(9, |
-5, |
5), |
B(2, |
-11, |
-1), |
C(10, |
-1, |
13). |
5.9. |
A(4, -3, -4), |
B(-6, |
7, |
1), |
C(12, |
-7, |
-3). |
||
5.10. |
A(9, |
-2, |
1), |
B(13, |
0, |
5), |
C(9, |
-12, |
1). |
5.11. |
A(8, |
-3, |
4), |
B(-2, |
2, |
14), |
C(12, |
4, |
8). |
5.12. |
A(5, |
3, |
-2), |
B(4, |
-5, |
2), |
C(2, |
5, |
4). |
5.13. |
A(10, |
1, |
5), |
B(0, |
-9, |
0), |
C(11, |
-1, |
3). |
5.14. |
A(9, |
4, |
-1), |
B(3, |
7, |
1), |
C(17, |
8, |
0). |
5.15. |
A(5, |
5, |
3), |
B(11, |
7, |
6), |
C(-2, |
1, |
-1). |
5.16. |
A(2, |
-5, |
3), |
B(6, |
2, |
-1), |
C(-4, |
-5, |
-5). |
5.17. |
A(4, -4, -5), |
B(6, |
-1, |
1), |
C(12, |
-8, |
3). |
||
5.18. |
A(3, |
-2, |
3), |
B(1, |
-3, |
5), |
C(6, |
-8, |
5). |
5.19. |
A(1, -2, -4), |
B(1, |
-5, |
-4), |
C(7, |
7, |
-2). |
||
5.20. |
A(2, |
4, |
1), |
B(2, |
8, |
1), |
C(9, |
-2, |
-5). |
119
Контрольное задание №6.
6. 1 1 1 1 – прямоугольный параллелепипед, — точка на ребре , – точка в грани 1 1 . Найти объём пирамиды 1 .
6.1. |
= 10, |
= 6, |
1 = 8, |
: = 5 : 1, − середина ребра 1. |
6.2. |
= 8, |
= 6, |
1 = 7, |
: = 1 : 5, − центр грани 1 1 . |
6.3. |
= 1, |
= 7, |
1 = 4, |
: = 6 : 1, − середина ребра . |
6.4. |
= 8, |
= 5, |
1 = 4, |
: = 1 : 4, − середина ребра 1. |
6.5. |
= 1, |
= 6, |
1 = 10, |
: = 5 : 1, − центр грани 1 1 . |
6.6. |
= 6, |
= 4, |
1 = 7, |
: = 1 : 3, − середина ребра . |
6.7. |
= 8, |
= 5, |
1 = 3, |
: = 4 : 1, − середина ребра 1. |
6.8. |
= 9, |
= 3, |
1 = 3, |
: = 1 : 2, − центр грани 1 1 . |
6.9. |
= 9, |
= 7, |
1 = 5, |
: = 6 : 1, − середина ребра . |
6.10. |
= 6, |
= 5, |
1 = 3, |
: = 1 : 4, − середина ребра 1. |
6.11. |
= 1, |
= 6, |
1 = 7, |
: = 5 : 1, − центр грани 1 1 . |
6.12. |
= 10, |
= 3, |
1 = 3, |
: = 1 : 2, − середина ребра . |
6.13. |
= 10, |
= 6, |
1 = 1, |
: = 5 : 1, − середина ребра 1. |
6.14. |
= 9, |
= 3, |
1 = 10, |
: = 1 : 2, − центр грани 1 1 . |
6.15. |
= 1, |
= 3, |
1 = 9, |
: = 2 : 1, − середина ребра . |
6.16. |
= 5, |
= 4, |
1 = 9, |
: = 1 : 3, − середина ребра 1. |
6.17. |
= 3, |
= 5, |
1 = 9, |
: = 4 : 1, − центр грани 1 1 . |
6.18. |
= 5, |
= 4, |
1 = 2, |
: = 1 : 3, − середина ребра . |
6.19. |
= 8, |
= 7, |
1 = 9, |
: = 6 : 1, − середина ребра 1. |
6.20. |
= 7, |
= 3, |
1 = 2, |
: = 1 : 2, − центр грани 1 1 . |
120