книги / 872

Пусть теперь ( ) < 0. Тогда главные кривизны разного знака; нормальные сечения, проведённые в главных направлениях, загнуты в разные стороны. Поэтому сколь угодно малые кусочки этих нормальных сечений вблизи точки лежат по разные стороны от касательной плоскости к Ω в этой точке. Таким образом, любая малая окрестность точкина поверхности Ω разбивается на две части, лежащие по разные стороны от касательной плоскости; касательная плоскость пересекает любую такую окрестность, вообще говоря, по некоторой кривой.

Определение 6 (Гиперболическая точка). Точки, в которых

< 0, называются гиперболическими точками поверхности .

Наконец, в некоторых точках поверхности гауссова кривизна может обращаться в нуль. В этом случае первая и вторая квадратичная формы не дают полной информации о том, как расположена малая окрестность точки на поверхности относительно касательной плоскости; для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассматривать производные третьего порядка вектора r( 1, 2) в точке .

Определение 7 (Параболическая точка). Точки, в которых = 0, называются параболическими точками поверхности .

Геометрический смысл первой и второй квадратичных форм

Обсудим геометрический смысл первой и второй квадратичных форм. Как мы видели выше, первая квадратичная форма полностью определяет геометрию, возникающую на самой поверхности — длины, углы, операцию параллельного перенесения и аналоги прямых (геодезические) можно вычислять, зная только матрицу ( ). Вторая квадратичная форма (и, в частности, главные кривизны) показывает, в какую сторону и насколько искривлена поверхность в объемлющем пространстве (в этом смысле информация, доставляемая главными кривизнами, похожа на информацию, доставляемую кривизной и кручением пространственной кривой). В частности, вторая квадратичная форма определяет локальное расположение поверхности Ω относительно касательного пространства к ней в точке . Именно, зафиксируем на поверхности Ω точкуи вектор нормали n в этой точке и рассмотрим в окрестности на Ω функцию , равную отклонению точки поверхности от касательного пространства Π в точке . Это — гладкая функция двух переменных u, обращающаяся в нуль в точке .

Предложение 2. Точка — критическая точка функции , причём её

101

матрица Гессе в точке совпадает с матрицей второй квадратичной формы поверхности в этой точке.

Доказательство. Очевидно, функция (u) имеет вид

(u) = (n( ), r(u) − r( ))

. Её первые производные

∂

∂ = (r ( ), n( ))

обращаются в нуль в точке , так что — критическая точка . Далее, вторые производные этой функции в точке имеют вид

∂2

∂ ∂ = (r ( ), n( )) = ( ).

Следствие 1. Если все главные кривизны одного знака, то функция имеет в точке экстремум (т.к. матица вторых производных знакоопределена), т.е. в некоторой проколотой окрестности этой точки она сохраняет знак. Это означает, что некоторая окрестность точкина поверхности Ω целиком лежит по одну сторону от касательного пространства Π .

Если среди главных кривизн поверхности в точке есть как положительные, так и отрицательные, то — седловая точка для функции . Это означает, что в любой окрестности точки на Ω найдутся как точки, в которых > 0, так и точки, в которых < 0. Другими словами, любая такая окрестность пересекается касательной плоскостью Π , и часть её лежит по одну, а часть — по другую сторону от этой плоскости.

Если же среди главных кривизн есть нулевая, то матрица второй квадратичной формы не определяет полностью поведения функции(т.е. расположения Ω относительно касательной плоскости Π ) в окрестности точки . Для исследования этого поведения необходимо рассматривать третьи производные функции r(u) в этой точке.

102

Ниже, следуя [6], излагаются основы механики сплошных сред.

17-я лекция. Тензоры напряжений и деформации

Тензор напряжений

Рассмотрим однородное тело, находящееся под воздействием внешних

p

n

сил. На элемент объёма этого тела действуют силы двух типов. К первому типу относятся силы, величина которых пропорциональна объёму элемента. Такие силы называются объёмными. К ним, например, относятся сила тяжести, силы притяжения, центробежные силы и т. д. Ко второму типу относятся силы, действующие на поверхность элемента со стороны окружающих его частей тела и пропорциональные площади поверхности элемента. Такая сила, отнесённая к единице площади, называется напряжением. Мы будем рассматривать однородное напряжение, считая, что его действие на поверхность элемента определённой формы

иориентации не зависят от положения этого элемента в теле. Будем считать, кроме того, что тело под действием указанных выше сил находится в статическом равновесии.

Пусть — произвольная точка рассматриваемого однородного тела

и— содержащий эту точку элемент плоскости , проходящей через точку . Ориентация элемента определяется единичным вектором n, нормальным плоскости (рис. 1).

103

пряжение будет зависеть от ориентации элемента , т.е. от вектора n, так что p = (n). Так как мы рассматриваем однородное напряжение, то эта функция будет одинаковой во всех точках тела.

Оказывается, что эта функция (n) будет линейной вектор-функцией аргумента n. Чтобы доказать это, заметим прежде всего, что так как напряжения на разных сторонах одной и той же площадки имеют одинаковую величину и противоположные направления, то функция (n) удовлетворяет условию (−n) = − (n)

e3

2 e2

1

e1

Рисунок. 2. Поверхностные силы, действующие на элемент объёма

Рассмотрим далее ортогональную систему координат с началом в точке и базисными векторами e1, e2, e3. Проведем плоскость ′ параллельно плоскости так, чтобы она образовала вместе с координатными плоскостями тетраэдр , 1, 2, 3, как изображено на рис. 2. Рассмотрим, какие силы действуют на элемент объёма нашего тела, заключенного внутри тетраэдра. На него, во-первых, действует объёмная сила f , где через f обозначена сила, отнесённая к единице объёма. Затем на каждую из четырёх граней тетраэдра действует сила со стороны окружающих частей тела. Если, положить p1 = (e1), то на грань 2 3 тетраэдра будет действовать сила −p1 1, где через 1 обозначена площадь этой грани. Знак минус в этом выражении стоит потому, что внешняя нормаль к грани 2 3 тетраэдра совпадает с вектором −e1. Точно так же силы, действующие на грани 3 1 и 1 2, будут равны соответ-

риваемый элемент объёма находится в статическом равновесии, то имеет место равенство

f − p1 1 − p2 2 − p3 3 + p = 0. (1)

104

Первое слагаемое этой суммы имеет при

max{ 1, 2, 3} → 0

более высокий порядок малости, чем остальные. Поэтому им можно пренебречь и записать предыдущее равенство в виде

n к плоскости образует с вектором e . Так как вектор n единичный, то = cos . Поэтому равенство (1) можно переписать так:

p = p1 1 + p2 2 + p3 3.

Запишем разложение векторов p и p по базису e1, e2, e3 :

p = e , p = e .

Подставляя эти разложения в предыдущее равенство и приравнивая коэффициенты при линейно независимых векторах e получим

= .

Это равенство доказывает наше утверждение: напряжение p линейно зависит от нормали n к элементу поверхности, функция (n) а является линейной вектор-функцией, а матрица ( ) этой линейной векторфункции образует тензор валентности 2, который называют тензором напряжений.

Доказательство того, что тензор напряжений ( ) является симметричным тензором не сложнее проведённого выше и следует из равенства нулю суммарного момента сил, действующих на выделенный из нашего тела куб с гранями, параллельными координатным плоскостям. Таким образом = .

Диагональные компоненты 11, 22, 33 тензора напряжений называются нормальными компонентами, так как определяемые ими составляющие векторов p действуют перпендикулярно соответствующим координатным плоскостям. Положительное значение компоненты характеризует растяжение, а отрицательное — сжатие тела. Компоненты12, 13, 23 называются сдвиговыми компонентами тензора напряжений, так как определяемые ими составляющие векторов p действуют параллельно соответствующим координатным плоскостям.

105

Тензор напряжений , как всякий симметричный тензор, может быть приведен к диагональному виду

при помощи ортогонального преобразования координат. При этом сдвиговые компоненты тензора обращаются в нуль, а нормальные компоненты совпадают с собственными значениями этого тензора. Их называют главными напряжениями, а соответствующие им собственные направления — главными направлениями тензора напряжений.

Отметим ещё некоторые частные формы тензора напряжений. Будем считать при этом, что за базисные направления e1, e2, e3 приняты главные направления этого тензора;

а) Линейное напряжённое состояние (одноосное напряжение) характеризуется тензором , имеющим вид

Такое строение тензор напряжений имеет, например, в длинном однородном вертикальном стержне, к концу которого подвешен груз;

б) Плоское напряжённое состояние (двуосное напряжение) характеризуется тензором вида

Частным случаем плоского напряжённого состояния является чистый сдвиг, при котором тензор напряжений имеет вид

Путём поворота базиса на 45 вокруг вектора e3 матрица чистого сдвига приводится к виду

106

в) Объёмное напряжённое состояние (трёхосное напряжение) — наиболее общая система напряжений с тремя отличными от нуля главными напряжениями. Его частным случаем является гидростатическое сжатие, при котором тензор является шаровым:

= − ;

здесь — давление, постоянное в рассматриваемом объёме жидкости.

Тензор деформаций

Предположим, что тело подвергается однородной малой деформации. В результате этой деформации точка тела с радиусом-вектором r переходит в точку * с радиусом-вектором r*, так что r* = r + u, где вектор u, определяющий перемещение точки , зависит от вектора r : u = u(r). Рассмотрим, как деформируется при этом окрестность точки. Пусть — принадлежащая этой окрестности точка с радиусомвектором r (рис. 3), так что

Вектор определяет деформацию окрестности точки . И так как эта деформация предполагается однородной, т. е. связь между и

107

является однотипной во всех точках рассматриваемого тела, то вектор

нейной зависимостью. Будем считать при этом, что функция f является непрерывной функцией аргумента — это согласуется с физическим смыслом функции f.

Итак, пусть 1, 2 — две точки из окрестности точки , определя-

Тогда

u1 − u = f(r1 − r), u2 − u1 = f(r2 − r1).

Поэтому предыдущее равенство может быть переписано в виде

f( 1 + 12 ) = f( 1 ) + f( 12 )

что совпадает с первым условием, которому должна удовлетворять линейная вектор-функция.

Для доказательства выполнения второго её свойства заметим, что из

108

т. е. второе условие, определяющее линейную вектор-функцию, выполняется для рациональных множителей = / . Но так как f по предположению непрерывна, то это условие будет выполняться и для любых действительных , т.е.

f( ) = f( ).

Таким образом, мы доказали, что при однородной деформации вектор, определяющий деформацию окрестности точки рассматриваемо-

сительно ортонормированного базиса {e1, e2, e3}, то эта линейная векторфункция может быть записана в виде

из (3), характеризующего после деформирования положение * точкитела относительно точки , из равенства (5) получим

Так как деформация предполагается малой, то компоненты тензора следует считать настолько малыми, что их произведениями при вычислениях можно пренебрегать.

Предполагая, что вектор перемещений является гладкой функцией координат r из (3) и (5) получаем

Поэтому, согласно предположению о малости деформаций, полагают

Тензор описывает не только деформацию окрестности точки рассматриваемого тела, но и её вращение вокруг точки . Чтобы выделить из него часть, которая определяет чистую деформацию, рассмотрим, как меняются метрические свойства (длины и углы) при переходе от окрестности точки к окрестности точки *. Метрические свойства в окрест-

109

Так как деформация малая, то третьим слагаемым в правой части равенства можно пренебречь, и мы получим

стую деформацию окрестности точки . Правая часть этого выражения может быть записана в виде

2( , ) = 2 . (8)

Разложим теперь тензор , определённый в (5), на симметричную частьи кососимметричную части : = + . Тогда из (7) получаем

Подставляя это разложение тензора в равенство (8), получим 2( , ) = 2 , так как = 0. Следовательно, дефор-

мация окрестности точки определяется только симметричным тензором , который и называется тензором деформации. Кососимметричный тензор не влияет на изменение метрических свойств окрестности точки и, следовательно, определяет её вращение вокруг точки . Тензор называется тензором вращения.

Рассмотрим отдельно случаи, когда тензор является симметричным или кососимметричным. Пусть сначала = — кососимметричный тензор. Покажем, что этот тензор порождает малый поворот окрестности точки вокруг оси, определяемой вектором w = e , где

1 = 32, 2 = 13, 3 = 21,

т.е. = −0.5 ; здесь — дискриминантный тензор.

В самом деле, если Ω — линейное преобразование, имеющее кососимметричную матрицу , то в ортонормированном правом базисе {e1, e2, e3} имеем

Ω = w × , w = 32e1 + 31e2 + 11e3.

Поэтому = w× и * = +w× . Но последнее преобразование представляет собой поворот на малый угол |w| вокруг оси, проходящей через точку и определяемой вектором w.

110