книги / 739
.pdf
Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической выработки
r, θ и ϕ систему координат. Все константы и функции, относящиеся
к внутренней части составной сферы, будем обозначать верхним индексом 1, стоящим в скобках, а к внешней – индексом 2 соответствен-
но. Радиальные и окружные перемещения ( ur (i) и uθ (i) ), радиальные ( σ(rri) и ε(rri)), окружные ( σ(θθi) и ε(θθi) ), меридиональные ( σ(ϕϕi) и ε(ϕϕi) ) напряжения и деформации, касательные напряжения τ(riθ) и сдвиговые деформации ε(riθ) не зависят (в силу симметрии тела и внешней нагрузки) от меридиональной координаты ϕ , удовлетворяют геометрическим соотношениям Коши
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
(i) |
(i) |
|
1 |
|
(i) |
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ur |
|
|
|
|
|
|
∂uθ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
εrr = |
|
|
|
|
, |
εθθ = |
|
|
ur |
|
|
+ |
|
|
|
|
, |
|
|
|
(1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂r |
|
r |
|
|
|
|
∂θ |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
||||||
ε(ϕϕi) = |
1 |
(uθ(i) |
ctg θ + ur(i)) |
, γ(riθ) = |
∂uθ |
|
|
+ 1 |
|
∂ur |
|
− uθ(i) |
, |
i = 1 или 2 |
|
||||||||||||||||
∂r |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и уравнениям равновесия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(i) |
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂σrr + 1 |
|
∂τrθ |
|
+ |
2σ(i) |
− σ(i) |
− σ(i) |
+ τ(i) |
ctg θ |
+ F(i) = 0 , |
(2) |
||||||||||||||||||
|
|
∂θ |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂r |
r |
|
|
|
|
|
rr |
ϕϕ |
|
|
|
θθ |
|
|
rθ |
|
|
|
|
|
r |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Fθ(i) = 0. |
|
||||||
|
|
|
∂τrθ |
+ |
1 |
|
∂σθθ |
+ (σ(θθi) − σ(ϕϕi) )ctg θ + 3τ(riθ) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
∂r |
|
r |
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
F(i) =-γ(i) cos θ и |
F(i) |
= γ(i) sin θ – компоненты вектора массо- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вых сил, γ(i) – удельный вес материала.
Определяющие соотношения для сферически трансверсальноизотропного тела
σ(rri) = A11(i)ε(rri) + A12(i)(ε(ϕϕi) +ε(θθi) ), σ(ϕϕi) = A12(i)ε(rri) + A22(i)ε(ϕϕi) + A23(i)ε(θθi), |
(3) |
||||||
σ(i) |
= A(i)ε(i) + A(i)ε(i) |
+ A(i)ε(i) |
, τ(i) |
= A(i)ε(i) |
|||
|
|||||||
θθ |
12 rr |
23 ϕϕ |
22 θθ |
rθ |
44 rθ |
|
|
можно записать с помощью технических постоянных
61
А.В. Зайцев, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов
|
i |
) |
|
E(i) |
|
|
|
i |
) |
|
|
|
|
( |
i |
) |
|
|
E(i) |
|
|
|
|
|
i |
2 E(i) |
|
|
|||||||
A |
( |
= |
|
|
r |
|
|
1−μ |
( |
|
, |
|
A |
|
= |
|
θ |
|
|
|
|
1−μ |
( ) |
|
|
θ |
|
|
, |
||||||
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|||||||||||||
11 |
|
|
|
( |
|
θϕ ) |
|
|
22 |
|
|
|
(i) |
rθ |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
ν |
|
|
|
|
|
|
ν +μθϕν |
|
|
|
|
Er |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
E(i) |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i 2 |
E(i) |
|
|
|
|
i |
E |
(i) |
i |
|
|
|||
A23( ) = |
|
|
|
|
|
θ |
|
|
|
|
|
μ(θϕ) |
+μ(rθ) |
θ |
|
|
, |
A12( ) = |
|
θ |
μ(rθ) |
, |
|
||||||||||||
|
|
(i) |
|
(i) |
|
(i) |
(i) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ν |
|
|
+μθϕν |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Er |
|
|
|
|
|
ν |
|
|
|
|
|
|
|||||
i |
|
i |
i |
i |
|
i 2 |
E(i) |
|
A( |
) = G( |
) , ν( |
) =1−μ( |
) |
− 2μ( ) |
θ |
, |
|
|
||||||||
44 |
rθ |
θϕ |
rθ Er(i) |
|
||||
определяемых модулями Юнга Er(i) и Eθ(i) в направлениях r и θ , коэффициентами Пуассона μ(riθ) и μ(θϕi) , а также модулем сдвига Gr(θi)
в диаметральной плоскости.
Так как находящееся в поле гравитационных сил толстостенное составное сферическое тело с жестко закрепленной внешней поверхностью находится в равновесии, то
u( |
) |
|
= 0 , u |
( ) |
|
|
|
|
= 0 , τ( ) |
|
= 0 , σ( ) |
|
= − p , |
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
r |
|
r=ρ |
2 |
|
θ |
r=ρ |
2 |
|
|
rθ |
r=ρ |
|
|
|
rr |
r=ρ |
|
||||||
|
|
|
|
|
= ur( |
|
|
, uθ( ) |
1 |
= uθ( |
|
|
|
1 |
(4) |
||||||||
|
|
|
ur( ) |
|
|
|
) |
|
|
|
|
) |
|
|
, |
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r=ρc |
2 |
|
|
r=ρc |
|
|||
|
|
|
τ(rθ) |
|
r=ρc |
|
|
|
|
r=ρc |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= τ(rθ) |
|
|
, σ(rr) |
|
|
= σ(rr) |
. |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
r=ρc |
|
|
|
|
r=ρc |
|
|
|
r=ρc |
|
|
|
r=ρc |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Последовательная подстановка геометрических соотношений (1) в определяющие (3), а затем полученного результата – в уравнения равновесия (2) позволяет записать неоднородные системы дифференциальных уравнений Ламе в частных производных [1, 2]:
A(i) |
∂ 2ur(i) |
+ 1 |
2A(i) |
∂ur(i) |
+ A(i) + A(i) |
∂ 2uθ(i) |
+ |
∂uθ(i) |
ctgθ |
+ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
∂r2 |
r |
|
|
|
∂r |
|
( |
|
|
|
|
∂r∂θ ∂r |
|
|
|||||
11 |
|
|
11 |
|
|
|
12 |
|
44 ) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
(i) |
|
|
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
A44(i) |
∂ |
ur |
|
+ |
∂ur |
|
ctgθ |
+ 2(A12(i) − A22(i) − A23(i))ur(i) + |
(5) |
|||||||||||
2 |
|
2 |
∂θ |
|
|||||||||||||||||
|
|
r |
|
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|
|
||||
|
+(A12(i) − A22(i) − A23(i) − A44(i)) |
∂uθ |
|
+uθ(i)ctgθ = γ(i)cosθ, |
|
||||||||||||||||
|
∂θ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
62
Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической выработки
|
|
2 |
(i) |
|
|
|
|
|
|
(i) |
2 |
(i) |
|
|
||||||
|
A44(i) |
∂ |
uθ |
|
+ 1 |
2A44(i)∂ ruθ(i) |
∂uθ |
+(A12(i) + A44(i)) |
∂ |
ur |
|
+ |
|
|||||||
|
|
2 |
|
∂r |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
∂r |
|
|
r |
|
|
|
|
∂r∂θ |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
(i) |
(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(i) |
|
|||
+ |
A22(i) |
∂ |
uθ |
|
+ |
∂uθ |
ctgθ |
+(A22(i) + A23(i) + 2A44(i)) |
∂ur |
− |
||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
∂θ |
∂θ |
||||||||||||||
|
r |
|
|
|
∂θ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(A23(i) + 2A44(i) + A22(i)ctg2 θ)uθ(i) = −γ(i)sinθ.
Решение в силу симметрии задачи может быть представлено в виде тригонометрических рядов [1–5]:
∞ |
∞ |
|
ur(i) = urn(i)(r)cosnθ , uθ(i) = uθ(in)(r)sinnθ . |
(6) |
|
n=0 |
n=0 |
|
При подстановке выражений (6) в (5) и (4) получим бесконечное число систем обыкновенных дифференциальных уравнений вида
a(i)u′′(i) + a(i) 1u′(i) + a(i) 1 u(i) + a(i) |
||
1n rn |
2n r rn |
3n r2 rn 4n |
b(i)u′′(i) +b(i) 1u′(i) +b(i) 1 u(i) +b(i) |
|
1n θn |
2n r θn 3n r2 θn 4n |
1u′(i) + a(i) |
|
r θn |
5n |
1u′(i) +b(i) |
|
r rn |
5n |
1 |
|
u(i) = A(i), |
|||
|
r2 |
|
|||
|
|
θn |
n |
||
1 |
|
|
(7) |
||
u(i) |
= B(i), |
||||
r2 |
|||||
|
rn |
n |
|||
где
a1(ni) = A11(i) , a2(in) = 2A11(i), a3(in) = 2(A12(i) − A22(i) − A23(i))− A44(i)(n2 + nctgθ tgnθ),
a4(in) = (A12(i) + A44(i))(n+ ctgθ tgnθ),
a5(in) = (A12(i) − A22(i) − A23(i) − A44(i))(n+ ctgθ tgnθ),
b1(ni) = A44(i) , b2(in) = 2A44(i), b3(in) = − A23(i) − 2A44(i) − A22(i)(n2 −1− nctgθ ctgnθ+ csc2θ),
b4(in) = −(A12(i) + A44(i))n , b5(in) = −(A22(i) + A23(i) + 2A44(i))n ,
(i) |
|
γ |
(i) |
, |
n=1, |
(i) |
|
(i) |
, n=1, |
|
|
−γ |
|
||||||
An |
= |
|
|
|
= 0, n>1, |
Bn |
= |
|
|
|
0, n |
|
0, n= 0, n>1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с соответствующими граничными условиями
63
А.В. Зайцев, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов
u( ) |
= 0, u( |
) |
|
|
= 0, A( )u′( ) − A( ) |
1 |
u( ) − A( ) |
n |
u( ) |
= 0, |
||||
2 |
|
2 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
||
rn |
r=ρ2 |
θn |
|
r=ρ2 |
44 |
θn |
44 |
r |
θn |
44 |
r |
rn |
r=ρ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
− p, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ tgnθ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
( ) |
′( ) |
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||
|
A11 urn |
+ A12 |
|
urn + A12 (n+ ctg |
|
uθn |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
= urn( ) |
|
, uθ(n) |
|
r |
|
|
|
r=ρ1 |
0, |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
urn( ) |
|
|
|
|
= uθ(n) |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
r=ρc |
|
2 |
r=ρc |
|
1 |
|
r=ρc |
|
2 |
r=ρc |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A( )u′( ) |
− A( ) |
|
u( ) − A( ) |
n |
u( ) |
|
|
= A( |
2 |
)u′( ) − A( ) |
1 |
u( ) |
− A( |
) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
44 |
θn |
44 r |
θn |
|
44 |
|
r |
rn |
|
r=ρc |
|
44 |
θn |
|
44 |
|
r |
|
θn |
|
|
44 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
( ) |
|
′( ) |
|
|
( ) |
2 |
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
( ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
A11 urn |
+ A12 |
r urn + A12 |
(n+ ctgθ tgnθ)r uθn |
|
r=ρ1 |
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(2) |
|
′(2) |
|
(2) 2 (2) |
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(2) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
= A11 |
urn |
|
+ A12 r urn |
+ A12 |
(n+ ctgθ tgnθ)r uθn |
|
r=ρ2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n= 0, n> 0.
nu(2) |
|
|
, |
|
|
||
r rn |
|
r=ρc |
(8) |
|
|||
|
|
|
.
Поэтому вычисление перемещений, деформаций и напряжений связано с решением n самостоятельных задач. Заметим, что для n >1 однородные системы дифференциальных уравнений (7) дополнены однородными граничными условиями (8). Следовательно, все эти системы
имеют единственное тривиальное решение: urn(i) = 0 и uθ(in) = 0 . Таким об-
разом, задача может быть сведена к решению системы (7) с граничными условиями (8) при n= 0 и n=1 [1–4].
При n= 0 перемещение в меридиональном направлении uθ(i0) ≡ 0 , а система уравнений (7) значительно упрощается:
A(i)u′′(i) + 2A(i) 1u′(i) + 2 |
( |
A(i) − A(i) − A(i) |
1 |
u(i) = 0. |
(9) |
|||
|
||||||||
11 r 0 |
11 r r 0 |
|
12 |
22 23 )r2 r 0 |
|
|||
Общее решение (9) выглядит следующим образом: |
|
|||||||
|
u(i) = r−1 2−k(i) D(i) + r−1 2+k(i) D(i) , |
|
||||||
|
r 0 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
где s(i) = 1 4+ 2(A22(i) + A23(i) − A12(i)) |
A11(i) |
, а из граничных условий (8) могут |
||||||
быть определены постоянные интегрирования
ρ−21
2−s(2) D1(2) +ρ−21
2+s(2) D2(2) = 0, D1(1) A11(1)(−1
2− s(1))+ 2A12(1) ρ1−3
2−s(1) +
+ D2(1) A11(1)(−1
2+ s(1))+ 2A12(1) ρ1−3
2+s(1) = − p ,
64
Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической выработки
ρc−1
2−s(1) D1(1) +ρc−1
2+s(1) D2(1) = ρc−1
2−s(2) D1(2) +ρc−1
2+s(2) D2(2) , D1(1) A11(1)(−1
2− s(1))+ 2A12(1) ρc−3
2−s(1) +
+D2(1) A11(1)(−1
2+ s(1))+ 2A12(1) ρc−3
2+s(1) =
=D1(2) A11(2)(−1
2− s(2))+ 2A12(2) ρc−3
2−s(2) +
+ D2(2) A11(2)(−1 2 |
+ s(2))+ 2A12(2) |
ρc−3 2+s(2) . |
|
|
|
При n=1 имеем неоднородную систему дифференциальных уравнений (7), решение которой находим методом вариации произвольных постоянных. Тогда окончательно выражения для перемещений в толстостенной трансверсально-изотропной сфере запишем следующим образом:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
(i) = D(i)r−1 2−s(i) + D(i)r−1 2+s(i) + |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
+(−C1(i) + d2(i)C2(i)r−1 + d3(i)C3(i)r−1 2+t(i) |
+ d4(i)C4(i)r−1 2−t(i) + Hr(i)r2 )cosθ, (10) |
|||||||||||||||||
|
|
uθ(i) = (C1(i) +C2(i)r−1 +C3(i)r−1 2+t(i) +C4(i)r−1 2−t(i) |
+ Hθ(i)r2 )sinθ, |
|||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hr(i) = |
γ(i) |
|
|
(H (i) − 2A12(i) − 2A44(i)), H (i) = A22(i) + A23(i) , |
|||||||||
|
|
|
|
|
H1(i) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(i) |
(2A11(i) − H |
(i) − 2A44(i)), L(i) = 2(A12(i) + A44(i))2 − A11(i)(H (i) + 2A44(i)), |
|||||||||||||
Hθ(i) |
= |
γ |
|
|||||||||||||||
H1(i) |
||||||||||||||||||
|
|
t(i) = |
9 + |
1 |
|
H (i)(A11(i) + 2A44(i))−2A12(i)(A12(i) +3A44(i)) , |
||||||||||||
|
|
A(i) |
A(i) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
d2(i) = |
|
|
H (i) + 2A44(i) |
|
, d3(i) = |
1 |
Y (i) + 2A44(i) |
(A12(i) + A44(i))t(i) , |
|||||||||
|
|
|
|
|
L(i) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A(i) − H (i) |
− A(i) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
44 |
|
|
, Y (i) = A44(i)(A12(i) − 2H (i) −3A44(i)), |
||||
d4(i) = |
1 |
Y (i) |
− 2A44(i)(A12(i) + A44(i))t |
(i) |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
L(i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
H1(i) = 2 |
A11(i)(H (i) − 4A44(i))+ 2A44(i)(H (i) −3A12(i))− 2A12(i)2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Постоянные интегрирования C(i), C(i), |
C(i), C(i), входящие в вы- |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
ражения (10), определяются из системы линейных алгебраических уравнений
65
А.В. Зайцев, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов
C3(1) 4A12(1)(d3(1)+1)+ A11(1)d3(1)(2t(1)−1) ρ1c
2+t(1) +2C2(1) 2A12(1)(d2(1)+1)− A11(1)d2(1) +
+C4(1) 4A12(1)(d4(1)+1)− A11(1)d4(1)(2t(1)+1) ρ1c
2−t(1) +4 Hr(1)(A11(1)+ A12(1))+ Hθ(1)A12(1) ρ3c =
= 2C2(2) 2A12(2)(d2(2)+1)− A11(2)d2(2) +C3(2) 4A12(2)(d3(2)+1)+ A11(2)d3(2)(2t(2)−1) ρ1c
2+t(2) +
+C4(2) 4A12(2)(d4(2)+1)− A11(2)d4(2)(2t(2)+1) ρ1c
2−t(2) +4 Hr(2)(A11(2)+ A12(2))+ Hθ(2)A12(2) ρ3c ,
−C1(2) + d2(2)C2(2)ρ−21 + d3(2)C3(2)ρ−21
2+t(2) + d4C4(2)ρ−21
2−t(2) = −Hr(2)ρ22 ,
C1(2) +C2(2)ρ−21 +C3(2)ρ−21
2+t(2) +C4(2)ρ−21
2−t(2) = −Hθ(2)ρ22 ,
−C1(1) + d2(1)C2(1)ρc−1 + d3(1)C3(1)ρc−1
2+t(1) + d4C4(1)ρc−1
2−t(1) + Hr(1)ρc2 =
= −C(2) + d (2)C(2)ρ−1 |
+ d |
(2)C(2)ρ−1 2+t(2) + d |
C(2)ρ−1 2−t(2) |
+ H (2)ρ2 |
, |
||||||||||||||||||
1 |
2 2 |
|
c |
|
|
3 |
|
3 |
c |
|
|
|
|
|
4 |
4 |
c |
|
|
r c |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 2+t |
( ) |
|
|
|
|
|
|
2C |
( ) |
|
( ) |
d |
( ) |
+1 |
− A |
( ) |
d |
( ) |
|
+ |
|
|
|
|||||||
|
|
2A |
|
( |
2 |
|
|
2 |
ρ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
12 |
|
) |
|
11 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|||
|
+C3( ) 4A12( ) |
(d3( ) +1) |
+ A11( )d3( ) |
(2t( ) −1) ρ11+2t |
|
+ |
|
||||||||||||||||
+C4(1) 4A12(1)(d4(1) +1)− A11(1)d4(1)(2t(1) +1) ρ1 =
= −4 Hr(1)(A11(1) + A12(1))+ Hθ(1)A12(1) ρ17
2+t(1) ,
C1(1) +C2(1)ρc−1 +C3(1)ρc−1
2+t(1) +C4(1)ρc−1
2−t(1) + Hθ(1)ρc2 =
= C1(2) +C2(2)ρc−1 +C3(2)ρc−1
2+t(2) +C4(2)ρc−1
2−t(2) + Hθ(2)ρc2 , 2C2(1)(d2(1) + 2)ρ11
2+t(1) +C3(1)(2d3(1) − 2t(1) +3)ρ11+2t(1) + +C4(1)(2d4(1) + 2t(1) +3)ρ1 = 2(Hθ(1) − Hr(1))ρ17
2+t(1) ,
2 C2(1)A44(1)(d2(1) + 2)−C2(2)A44(2)(d2(2) + 2) +C3(1)A44(1)(2d3(1) − 2t(1) +3)ρ1c
2+t(1) +
+2A44(1)(Hr(1) − Hθ(1))ρ3c + A44(1)C4(1)(2d4(1) + 2t(1) +3)ρ1c
2−t(1) =
= C3(2)A44(2)(2d3(2) − 2t(2) +3)ρ1c
2+t(2) +
+2A44(2)(Hr(2) − Hθ(2))ρ3c + A44(2)C4(2)(2d4(2) + 2t(2) +3)ρ1c
2−t(2) ,
66
Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической выработки
получаемых при удовлетворении граничных условий (8), и не приводятся ввиду громоздкости.
Последовательная подстановка уравнений (10) в геометрические
(1) и определяющие (3) соотношения позволяет записать выражения для радиальных
σ(rri) = 12r−3
2−s(i) {D1(i) 4A12(i) − A11(i)(1+ 2s(i)) +
+ D2(i) 4A12(i) − A11(i)(1− 2s(i)) r2s(i)}+
+{2A12(i) (1+ d2(i))C2(i)r−2 +(1+ d3(i))C3(i)r−3
2+t(i) +
+(1+ d4(i))C4(i)r−3
2−t(i) +(Hr(i) + Hθ(i))r −
(11)
−12 A11(i) 2d2(i)C2(i)r−2 +(1− 2t(i))d3(i)C3(i)r−3
2+t(i) + +(1+ 2t(i))d4(i)C4(i)r−3
2−t(i) − 4Hr(i)r }cosθ ,
окружных
σ |
(i) |
= σ |
(i) |
= |
1 |
r |
−3 2−s(i) |
|
|
D |
(i) |
|
|
A |
(i) |
+ A |
(i) |
|
|
− A |
(i) |
1+ |
2s |
(i) |
|
+ |
||||||||||||||||
ϕϕ |
θθ |
|
|
|
{ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
( |
|
22 |
|
|
23 ) |
|
|
12 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ D2(i) 2(A22(i) + A23(i))− A12(i)(1− 2s(i)) r2s(i)}+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ (A |
(i) |
+ A |
(i) |
|
|
|
|
|
(i) |
)C |
(i) |
r |
−2 |
+(1+ d |
(i) |
)C |
(i) |
r |
−3 2+t(i) |
+ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
) (1+ d |
2 |
|
2 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
{ |
22 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|||||||
|
|
|
|
+(1+ d4(i))C4(i)r−3 2−t(i) +(Hr(i) + Hθ(i))r − |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
i |
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)r−3 2+t |
( |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
− |
2 A12( ) 2d2( |
)C2( |
−2 + |
(1− 2t( |
))d3( |
)C3( |
|
|
|
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+(1+ 2t(i))d4(i)C4(i)r−3 2−t(i) |
|
− 4Hr(i)r }cosθ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и касательных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ(riθ) = − A44(i) (2+ d |
2(i))C2(i)r−2 + 3 |
|
+ d3(i) −t(i) |
C3(i)r−3 2+t(i) + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||||
|
|
+ 3 + d4(i) +t(i) C4(i)r−3 |
2−t(i) +(Hr(i) − Hθ(i))r sinθ. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
напряжений.
67
А.В. Зайцев, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов
Из полученных решений в частном случае, при замене
E(i) = Er(i) = Eθ(i) , μ(i) =μ(riθ) =μ(θϕi) и G(i) = Gr(θi) = E(i)
(2+ 2μ(i)), следуют выра-
жения для напряжений, деформаций и перемещений в точках, находящихся в поле гравитационных сил полых и составных изотропных сфер с аналогичными граничными условиями [6, 7].
Рис. 1. Распределение инвариантов тензора напряжений на закрепленной внешней ( JEx( ) ), свободной от нагрузок внутренней ( JIn( ) ) и контактной ( JC( ) ) поверхностях
Полученные аналитические решения (11)–(13) дают возможность анализировать вклад массовых сил в напряженное состояние железобетонных монолитных крепей сферических горных выработок, окруженных массивом осадочных пород, а также провести уточненную оценку начальной прочности и определить области, где может быть инициировано разрушение. Поскольку горные породы и железобетон имеют ярко выраженную анизотропию свойств, прочностной анализ элементов конструкций и сооружений, изготовленных из таких материалов, необходимо осуществлять на основе многокритериального подхода [6], рассматривая различные механизмы частичного или полного исчерпания несущей способности, характерные для анизотропных материалов. В работе [7] были введены независимые величины
68
Механизмы начального разрушения железобетонной крепи сферической выработки
J I = σθθ , J II = σrr , J III = (σϕϕ −σθθ )2 + 4τϕθ2 , J IV = τϕ2r + τθ2r ,
инвариантные относительно ортогональных преобразований, допустимых над сферически трансверсально-изотропным телом, которые позволяют описать различные механизмы разрушения от растяжения или сжатия в окружном или меридиональном и радиальном направлении от сдвигов по поверхностям изотропии и в диаметральной плоскости соответственно.
На рис. 1 и 2 представлены распределения ненулевых инвариантов тензора напряжений J ( ) в железобетонной сферической крепи
( Eθ = 40,0 ГПа, Er = 25,0 ГПа, Grθ =11,0 ГПа, μθϕ = 0,075, μrθ = 0,15
и γ = 40 кН/м3 ), окруженной массивом осадочных пород ( Eθ =55,0 ГПа,
Er = 23,0 ГПа, Grθ = 29,0 ГПа, μθϕ = 0,29 , μrθ = 0,32 и γ = 27 кН/м3 ) при p = 0 МПа вдоль меридиональной и обезразмеренной радиальной ко-
ординаты ρ = (r −ρ1 )
(ρ2 −ρ1 ). Параметры геометрии были выбраны следующими: ρ1 = 2,5 м, ρc =3,1 м, ρ2 = 4,3 м (см. рис. 1) и ρ2 =9,0 м (см. рис. 2).
Рис. 2. Распределение инвариантов тензора напряжений на закрепленной внешней ( JEx( ) ), свободной от нагрузок внутренней ( JIn( ) ) и контактной
( JC( ) ) поверхностях
69
А.В. Зайцев, Ю.В. Соколкин, А.А. Фукалов
Как видим, на свободной от нагрузок внутренней поверхности монолитной железобетонной сферической крепи ненулевым является
только первый инвариант J I , который нелинейно распределен вдоль ρ , принимает положительные значения в точках, принадлежащих сво-
ду, и имеет скачок на поверхности контакта. При заданных материальных константах существенное влияние на характер распределения J I оказывает соотношение радиусов рассматриваемой крепи и окружающего массива осадочных пород. Так, например, увеличение толщины породного массива приводит к смене знака первого инварианта в железобетонной крепи.
Второй инвариант J II при изменении радиальной координаты от свободной поверхности к закрепленной всюду возрастает по абсолютной величине, не принимая при этом в точках свода отрицательных, а в нижней полусфере – положительных значений. Поскольку в точках,
принадлежащих вертикальной диаметральной оси, J I и J II достигают своих наибольших по абсолютной величине значений, эти точки являются наиболее опасными с точки зрения возможности начала разрушения крепи от растяжения или сжатия в окружном и радиальном направлениях.
Третий инвариант J III во всех точках железобетонной крепи и окружающего массива осадочных пород принимает нулевые значения. Следовательно, при заданных условиях нагружения и типе упругой симметрии материала механизмы разрушения от сдвига по поверхности изотропии не реализуются.
В точках, расположенных на вертикальной диаметральной оси четвертый инвариант J IV равен нулю, возрастает по мере увеличения угла θ , достигая своих максимальных значений при θ = π
2 . Кроме того, в радиальном направлении от внешней поверхности монолитной крепи к внутренней J IV всюду убывает, достигая нулевых значений на свободной поверхности. Таким образом, наиболее опасными с точки зрения возможности начала разрушения крепи по механизму сдвига являются точки горизонтальной диаметральной плоскости.
70