Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / 437

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.06.2023

Размер:

2.61 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

ты в уравнениях (1.1)–(1.3). Тогда граничные условия на лицевых поверхностях оболочки α3 = ±h примут вид:

σ3i = ±qi± , σ33 = ±q3± , µ3i = ±mi± , µ33 = ±m3± (i =1,2).

(1.4)

Предполагается, что толщина оболочки мала по сравнению с характерными радиусами кривизны срединной поверхности оболочки. Будем исходить из следующей основной концепции [12]: в статическом случае общее напряженно-деформированное состояние (НДС) тонкого трехмерного тела, образующего оболочку, состоит из внутреннего НДС, охватывающего всю оболочку, и погранслоев, локализирующихся вблизи поверхности края оболочки Σ. Построение общей прикладной – двумерной теории микрополярных упругих тонких оболочек тесно связано с построением внутренней задачи.

Считая, что метод гипотез наряду с чрезвычайной наглядностью очень быстро и относительно просто для инженерной практики приводит к окончательным результатам, будем строить теорию микрополярных оболочек на основе метода гипотез. Сами гипотезы будем формулировать на основе результатов асимптотического анализа поставленной трехмерной граничной задачи микрополярной теории упругости в тонкой трехмерной области оболочки [12].

При определении внутреннего НДС (так и краевого НДС) оболочки [12] большую роль играют значения физических констант материала оболочки, с этой точки зрения вводится следующие безразмерные физические параметры:

µ	,	R2µ	,	R2µ	,	R2µ	,	(1.5)
4α		β		γ		ε

где R – масштабный фактор, представляющий собой характерный радиус кривизны срединной поверхности оболочки.

2.Модель микрополярных упругих тонких оболочек

снезависимыми полями перемещений и вращений

Сучетом качественных результатов асимптотического решения системы уравнений (1.1)–(1.3) с указанными выше граничными условиями и само-

го процесса асимптотического				интегрирования			этой краевой задачи			[12]
в случае, когда безразмерные параметры (1.4) принимают значения:
µ		~ 1,	R2µ	~ 1,	R2µ	~ 1,		R2µ	~ 1,	(2.1)
	4α		β		γ			γ

										101

в основу предлагаемой теории микрополярной упругой тонкой оболочки ставим следующие достаточно общие предположения (гипотезы):

1)в процессе деформации первоначально прямолинейные и нормальные к координатной поверхности волокна свободно поворачиваются в пространстве как жесткое целое на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины и не оставаясь перпендикулярными к деформированной срединной поверхности;

2)для силового напряжения σ33 и для моментных напряжений µ33, µ3i

примем формулы линейного распределения по толщине оболочки; 3) сначала для определения перемещений, поворотов, деформаций, из-

гиба-кручения, силовых и моментных напряжений, для силовых касательных напряжений примем

σ3i = σ03i (α1,α2 ).

(2.2)

После вычисления указанных величин, значения σ3i окончательно оп-

ределим прибавлением к значениям (2.2) слагаемых, получаемых интегрированием соответствующих уравнений равновесия (1.1), для которых потребуем условия, чтобы усредненные по толщине оболочки величины были равны нулю;

4) величинами α3 по сравнению с единицей будем пренебрегать.

При формулировании предлагаемых гипотез исходили из тех соображений, что построенные ниже двумерные уравнения микрополярных оболочек должны в первую очередь учитывать следующие важнейшие факторы, а именно свободные вращения и поперечные сдвиги, и в то же время они должны иметь достаточно простую форму и насколько возможно минимальный порядок, чтобы в дальнейшем использовать их при разработке эффективных методов решения практически важных задач.

Отметим, что при следующих значениях безразмерных параметров

(1.5) [12]:

а)	µ	<<1,	R2µ	~ 1,	R2µ	~ 1,	R2µ	~ 1,
	4α		β		γ		γ

б)	µ	>>1,	R2µ	~ 1,	R2µ	~ 1,	R2µ	~ 1,
	4α		β		γ		γ

в случае а имеет место теория микрополярных упругих тонких оболочек со стесненным вращением, в случае б – теория «с малой сдвиговой жесткостью» (в данной работе эти теории не приводятся).

102

Математически принятую первую гипотезу запишем так: тангенциальные перемещения и нормальный поворот распределены по толщине оболочки по линейному закону i, j =1,2, i ≠ j:

Vi = ui (α1,α2 ) +α3ψi (α1,α2 ), ω3 = Ω3 (α1,α2 ) +α3ι(α1,α2 ),

(2.3)

а нормальное перемещение и тангенциальные повороты не зависят от поперечной координаты α3, т.е.

V3 = w(α1,α2 ), ωi = Ωi (α1,α2 ).

(2.4)

Кинематические гипотезы (2.3),(2.4) дополняются статическими гипотезами 2), которые с учетом соответствующих граничных условий из (1.4) можем записать так:

σ33

= q3+ −q3−

+ α3

(q3+ + q3− ),

µ33 = m3+ −m3− +

α3

(m3+ + m3− ),

(2.5)

= mi+ −mi−

+ α3 (mi+ + mi− ).

µ3i

В соответствии с кинематическими гипотезами (2.3),(2.4) компоненты

тензоров деформации и изгиба-кручения примут вид

γii = Γii (α1,α2 ) +α3Kii (α1,α2 ), γij = Γij (α1,α2 ) +α3Kij (α1,α2 ),

γi3 = Γi3 (α1,α2 ),

γ3i

= Γ3i

(α1,α2 ),

χii = κii (α1,α2 ),

χij

= κij (α1,α2 ), (2.6)

χi3 = κi3 (α1,α2 ),

где

∂u

∂A

1 ∂u j

∂A

, Γij =

−

ui −(−1) Ω3,

Γii =

u j +

∂α

A A

∂α

A A

∂α

1 ∂ψ

1 ∂A

1 ∂ψj

−

1 ∂A

ψi −(−1)

ι,

Kii =

∂αi +

ψj ,

Kij

A A

∂α

A A

∂α

Γi3 (α1,α2 ) = −ϑi

+(−1)j Ωj ,

Γ3i (α1,α2 ) = ψi

−(−1)j Ωj ,

(2.7)

ϑi = −

1 ∂w

, κii (α1,α2 ) =

∂Ωi

∂Ai

Ωj +

Ω3 ,

∂α

A A

∂α

κij (α1,α2 ) =

1 ∂Ωj

−

∂A

Ωi ,

κi3 (α1

,α2 ) =

1 ∂Ω

−

Ω

i .

A ∂α

A A

∂α

103

На основе обобщенного закона Гука, уравнений равновесия и принятых гипотез для компонентов силового и моментого тензоров напряжений получим следующие определяющие формулы:

−

σii =

(Γii +vΓjj )+

−q3

−ν

1−ν

−

+α3

(Kii +vK jj )+

+ q3

(2.8)

−ν

1−ν

σij = (µ+α)Γij +(µ−α)Γji

+α3 (µ+α)Kij +(µ−α)K ji

µii =

4γ(β+ γ)

κii +

2γβ

κjj +

β m+ −m−

µij = (γ +ε)κij +(γ −ε)κji ,

β+ 2γ

µi3

4γε

κi3

γ −ε

mi+ −mi−

σi3 = σi3 (α1,α2 ) = (µ+α)Γi3 +(µ−α)Γ3i ,

γ +ε

∂( A2σ13 )

∂( A1σ23 )

−

σ = σ33 (α ,α

) −α

σ11

σ22

A A

∂α

∂Aj

(α1,

α2 ) −α3

1 ∂σii

1 ∂σji

1 ∂A

σ3i = σ3i

σii

σji +

∂αi

Ai Aj ∂αi

Aj ∂αj

Ai Aj ∂αj

∂A

1 ∂Aj

α2

1 ∂Aj

σi3

∂σii

σij +

−

σjj

−

σii +

Ai Aj ∂αj

Ai Aj ∂αi

∂αi

Ai Aj ∂αi

1 ∂A

∂A

1 ∂Aj

1 ∂σji

σji +

σij −

σjj

∂αj

Ai Aj ∂αj

Ai Aj ∂αi

Ai Aj ∂αj

∂µ

∂Aj

(µii −µjj )+

1 ∂µji

µ3i = µ3i (α1,α2 ) −α3

ii +

Ai Aj ∂αi

Aj ∂αj

∂αi

∂Ai

(µji +µij )

µi

(−1)

σj3

−σ3 j

Ai Aj ∂αj

µ µ

∂( A

)

∂( A

)

µ33 = µ33 (α1,α2 ) +α3

−

σ12

−σ21

A1A2

∂α1

∂α2

104

0	0	1	1
Здесь σii , σij , σii , σij представляют собой постоянную или линейную по

α3 часть силовых напряжений σii и σij , определяемых по соответствующим

формулам (2.8).

Из условий эквивалентности для усредненных по толщине оболочки внутренних продольных сил (Tii , Sij ), поперечных сил (Ni3, N3i ), изгибаю-

щих и крутящих моментов от силовых напряжений (Mii , Hij ), изгибающих и крутящих моментов от моментных напряжений (Lii , Lij , Li3 ), с учетом предположения 4, будем иметь следующие формулы:

h		h					h			h
Ti3 = ∫	σiidα3,	Sij = ∫	σij dα3,			Ni3 = ∫		σi3dα3,		N3i = ∫	σ3idα3, (2.9)
−h		−h					−h			−h
	h				h				h
	Mii = ∫	σiiα3dα3, Hij =			∫	σijα3dα3, Lii =			∫	µiidα3,
	−h				−h				−h
		Lij =	h	µij dα3, Li3 =			h	µi3dα3.
		Lij =	∫	µij dα3, Li3 =			∫	µi3dα3.
			−h				−h

Основная система уравнений микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет выражаться так.

Уравнения равновесия:

∂T

∂Aj

(Tii −Tjj )+

∂S ji

∂A

(S ji

+ Sij )+

= −(qi+ + qi− ),

A ∂α

A A

∂α

A A

∂α

∂M

ii +

∂Aj

(Mii − M jj )

∂H ji

A ∂α

A A

∂α

∂Ai

(H ji + Hij )− N3i = −h(qi+ −qi− ),

A A

∂α

T11 +

T22

−

∂( A2 N13 )

∂( A1N23 )

= q+ + q−,

A A

∂α

(2.10)

∂L

1 ∂Aj

1 ∂Lji

1 ∂A

(Lii − Ljj )

(Lji + Lij

∂α

A A

∂α

A A

∂α

+(−1)j (N j3 − N3 j ) = −(mi+ + mi− ),

∂( A L

)

∂( A L

)

−(S12 − S21 ) = (m3+ + m3− ).

−

2 13

1 23

A A

∂α

1 2

105

Соотношения упругости:

2Eh

−

Tii =

(q3

−q3 ),

Sij = 2h

−v

Γii +vΓjj

−v

(µ+α)Γij +(µ−α)Γji

2Eh3

−

(q3 + q3 ),

Mii =

(

)

Kii

+vK jj

3 1−v

Hij =

2h3

(µ+α)Kij +(µ−α)K ji

Lii =

4γ(β+ γ)

κii

2γβ

κjj +

β m+

−m−

β+ 2γ

β+

2γ

β+ 2γ

(2.11)

Lij =

2h (γ +ε)κij +(γ −ε)κji

Ni3 = 2h(µ+α)Γi3 + 2h(µ −α)Γ3i ,

Li3 = 2h

4γε

κi3

γ −ε

h(mi+

− mi− ),

γ +ε

N3i = 2h(µ+α)Γ3i + 2h(µ−α)Γi3,

ι =

β+ γ

m+ −m−

−

(L11 + L22 ).

γ(3β+ 2γ)

2h 2γ(3β+ 2γ)

Геометрические соотношения:

∂ui

∂Ai

, K

∂ψi

∂Ai

∂α

A A

∂α

A A

∂α

Γi3 = −ϑi +(−1)j Ωj , ϑi = −

∂w

Γ3i = ψi −(−1)j Ωj ,

∂αi

Γij =

1 ∂u j

−

∂A

ui −

(−1)

Ω3,

∂α

A A

∂α

(2.12)

1 ∂ψj

∂A

−(−1)

Kij =

−

ψi

ι,

∂α

A A

∂α

∂Ωi

∂Ai

Ω

+ Ω3

∂α

A A

∂α

1 ∂Ωj

−

∂A

Ω

∂Ω

−

Ω

i .

∂α

A A

∂α

106

Представим «смягченные» граничные условия на граничном контуре Γ срединной поверхности оболочки, считая, что этот контур совпадает с координатной линией α1 = const:

T		=T *			или u = u*,					S	= S*	или u			2		= u*,			N	= N*				или w = w*,
11			11				1	1		12	12				2		2			13				13
					M	11	= M *		или ψ = ψ*,				H	12			= H	*		или ψ			2	= ψ* ,			(2.13)
						11		11			1	1		12				12					2		2
L	= L*			или Ω = Ω*,						L	= L*	или Ω				2	= Ω*		,	L		= L*			или Ω	3	= Ω*.
11		11					1	1		12	12					2		2		13				13		3	3

Система уравнений (2.10)–(2.12) (она представляет системой дифференциальных уравнений 16-го порядка) и граничные условия (2.13) составляют математическую модель микрополярной упругой тонкой оболочки с независимыми полями перемещений и вращений.

3. Основные уравнения и граничные условия микрополярной упругой круговой цилиндрической оболочки с независимыми полями перемещений и вращений

Будем под αi подразумевать соответственно безразмерную длину образующей и безразмерную длину дуги направляемого круга, тогда коэффи-

циенты первой квадратичной формы Ai и главные радиусы кривизны Ri	сре-
динной поверхности определятся формулами:
α1 = rξ, α2 = rθ, A1 = A2 = r, R1 = ∞, R2 = r.	(3.1)

Из общих уравнений и соотношений теории микрополярных упругих оболочек (2.10)–(2.12) для круговой цилиндрической оболочки получим:

– уравнения равновесия:

∂T11	+	∂S21	= −r (q1+ + q1− ),	∂S12	+	∂T22	+ N23 = −r (q2+ + q2− ),	(3.2)
∂ξ		∂θ		∂ξ		∂θ

∂∂ξL11 + ∂∂θL21 + r (N23 − N32 ) = −r (m1+ + m1− ), ∂∂ξL12 + ∂∂θL22 + r (N31 − N13 ) + L23 = −r (m2+ + m2− ),

−T22 + ∂∂ξN13 + ∂∂θN23 = −r (q3+ + q3− ),

−L22 + ∂∂ξL13 + ∂∂θL23 + r (S12 − S21 ) = −r (m3+ + m3− ),

107

∂M11

∂H21

−rN31 = −h(q1+

−q1− ),

∂M22

∂H12

−rN32 = −h(q2+ − q2− );

∂θ

∂ξ

∂θ

– соотношения упругости:

2Eh

−

Tii =

+vΓjj

(q3 −q3 ),

Sij =

1−v

2 Γii

1−v

2h (µ+α)Γij +(µ−α)Γji

2Eh3

−

Mii =

(q3 + q3 ),

(

)

Kii +vK jj

3 1−v

Hij

2h3

(µ+α)Kij +(µ−α)K ji ,

4γ(β+ γ)

2γβ

β m+

−m−

Lii = 2h

κii +

κjj

β+ 2γ

(3.3)

Lij = 2h

(γ +ε)κij +(γ −ε)κji

Ni3 = 2h(µ+α)Γi3 + 2h(µ −α)Γ3i ,

Li3 = 2h

4γε

κi3 +

γ −ε

h(mi+

− mi− ),

γ +ε

N3i = 2h(µ+α)Γ3i + 2h(µ−α)Γi3,

ι =

β+ γ

−m−

−

(L11 + L22 );

γ(3β+ 2γ)

2h 2γ(3β+ 2γ)

– геометрические соотношения:

Γ11 = 1r ∂∂ξu1 , Γ22 = 1r ∂∂θu2 + w ,

K	= 1 ∂ψ1			, K	22	= 1 ∂ψ2		,
11		r	∂ξ			r	∂θ

Γ = 1 ∂u2			+Ω	3	,	Γ	21	=	1 ∂u2 −Ω		,
12	r	∂ξ		3			21		r ∂ξ	3
	r	∂ξ							r ∂ξ

K	= 1 ∂ψ2			−ι, K	21	= 1 ∂ψ1		+ι
12		r	∂ξ			r	∂θ

= −ϑ +(−1)j Ω

ϑ = −1 ∂w

= −

1 ∂w

−u

∂ξ

∂θ

Γ3i = ψi −(−1)j Ωj ,

(3.4)

Γij =

1 ∂u j

−

1 ∂A

ui −(−1)

Ω3 , Kij =

1 ∂ψj

−

1 ∂A

ψi −(−1)

ι,

∂α

A A

∂α

A A

∂α

κ =

1 ∂Ω1 , κ

1 ∂Ω1

+Ω

, κ = 1 ∂Ω2 ,

= 1 ∂Ω1 ,

∂ξ

∂θ

r ∂θ

108

κ13 = 1r ∂Ω∂ξ3 , κ23 = 1r ∂Ω∂θ3 −Ω2 .

К системе уравнений (3.2)–(3.4) необходимо присоединить граничные усло-

вия (2.13).

Рассмотрим задачу шарнирно-опертой микрополярной упругой круговой замкнутой цилиндрической оболочки в осесимметричной постановке, нагруженной нормально приложенной поверхностной нагрузкой интенсивно-

сти q = q sin πr ξ.
	0	a
		a
	Для поставленной задачи получено точное решение. Численные ре-
зультаты приведены в таблице.

	Физические параметры материала балки: α = 1,6 ГПа, µ = 2 ГПа, λ = 3 ГПа,
		γ = ε = 2 КН; интенсивность нагрузки: q0 = 0,1 МПа
				Максимальный прогиб
№	Размеры балки			Классическая уточненная теория	Микрополярная
№				(с учетом поперечных сдвигов)	теория
				(с учетом поперечных сдвигов)	теория

	a, мм	h, мм	l, мм	Wmax, мм	Wmax, мм
1	0,5	0,005	1	0,0004807	0,0001775
2	1	0,01	2	0,0009613	0,0003588
3	1,5	0,015	3	0,001442	0,0005439

Отметим, что расчеты выполнены для гипотетического материала. Как убедимся, по микрополярной теории оболочек максимальный прогиб полчучается 60–65 % ниже, чем по классической теории, который говорит о том, что микрополярный материал имеет высокую жесткостную характеристику.

Библиографический список

1.Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / отв. ред. В.Е. Панин. – Новосибирск: Наука, 1995. – Т. 1. – 298 с.

2.Морозов Н.Ф. Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-, микро-, мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2005. – № 4. – С. 188–189.

3.Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. – М.: Изд-во Москов. ун-та, 1999. – 328 с.

4.Пальмов В.А. Простейшая непротиворечивая система уравнений теории тонких упругих оболочек // Механика деформируемого тела. – М.:

Наука, 1986. – С. 106–112.

109

5.Жилин П.А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек // Динамика и прочность машин: тр. Ленингр. политех. ин-та. – 1982. – № 386. – С. 29–42.

6.Шкутин А.И. Механика деформаций гибких тел. – Новосибирск:

Наука, 1988. – 128 с.

7.Амбарцумян С.А. Микрополярная теория оболочек и пластин. – Ереван: Изд-во НАН Армении, 1999. – 214 с.

8.Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. – М.: Нау-

ка, 2008. – 280 с.

9.Altenbach H., Eremeyev V. On the linear theory of micropolar plates // Z Angew. Math. Mech (ZAMM). – 2009. – Vol. 89. – № 4. – P. 242–256.

10.Саркисян С.О. Общая теория тонких пластин на основе несимметричной теории упругости // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2010. –

№4 (в печати).

11.Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // Прикладная математика и механика. – 2008. – Т. 72, № 1. –

С. 129–147.

12.Саркисян С.О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несимметричной теории упругости // Доклады НАН Армении. – 2008. –

Т. 108, № 4. – С. 309–319.

13.Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. – Киев: Наукова думка, 1973. – 248 с.

14.Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи). – Л.: Судостроение, 1987. – 316 с.

15.Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упру-

гости // ПММ. – 1964. – Т. 28. – Вып. 6. – С. 1117–1120.

16.Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред в вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. – 1960. – Т. 2. –

Вып. 7. – С. 1399–1409.

17.Новацкий В. Теория упругости. – М.: Мир, 1975. – 862 с.

Получено 12.07.2010

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
07.06.20232.45 Mб1430.pdf
#
07.06.20232.48 Mб1431.pdf
#
07.06.20232.52 Mб1432.pdf
#
07.06.20232.57 Mб1434.pdf
#
07.06.20232.58 Mб1436.pdf
#
07.06.20232.61 Mб4437.pdf
#
07.06.20232.62 Mб1438.pdf
#
07.06.20232.62 Mб1439.pdf
#
07.06.2023249.05 Кб344-1.pdf
#
07.06.20234.36 Mб1644.pdf
#
07.06.20232.63 Mб18440.pdf

Γ = 1 ∂u2			+Ω	3	,	Γ	21	=	1 ∂u2 −Ω		,
12	r	∂ξ		3			21		r ∂ξ	3
	r	∂ξ							r ∂ξ

Γ = 1 ∂u2			+Ω	3	,	Γ	21	=	1 ∂u2 −Ω		,
12	r	∂ξ		3			21		r ∂ξ	3
	r	∂ξ							r ∂ξ

Γ = 1 ∂u2			+Ω	3	,	Γ	21	=	1 ∂u2 −Ω		,
12	r	∂ξ		3			21		r ∂ξ	3
	r	∂ξ							r ∂ξ