книги / 393

Доказательство соотношения (8) аналогично доказательству соотношения (1).

Из соотношения (8) вытекает, что если поля структурных повреждений локально-эргодические, то и поля деформирования тоже являются локально-эргодическими. Как показывают прямые численные эксперименты [5, 6], локальность полей структурных повреждений имеет место на стадии дисперсного накопления повреждений, что является признаком ближнего порядка во взаимодействии полей микродеформаций и структурных повреждений на начальном этапе структурного разрушения. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к укрупнению дефектов и местнойлокализацииповреждений.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда поля упругих свойств θ(r) и структурных повреждений ω(r) являются локально-эргодичес-

кими. Будем также предполагать, что эти поля являются собственными, т.е. отсутствует взаимная корреляция между полями:

θ(r)ω(r) = 0.

Сформулируем свойство микронеоднородных сред, аналогичное свойству (2). Если микронеоднородная среда с неоднородными упругими и неоднородными прочностными свойствами макроскопически однородна и квазиизотропна, поля структурных повреждений при деформировании локально-эргодические, структурные деформации в периодической среде сравнения в пределах упругого элемента – гладкие функции координат, граничные условия детерминированы, то сущест-

вует случайный функционал Φр (θ,ω), зависящий от полей упругих свойств и структурных повреждений, такой, что пульсации структурных деформаций εo связаны со структурными деформациями ε(р) (r) в регулярной среде сравнения соотношениями:

Для доказательства формулы (9) рассмотрим стохастическую краевую задачу механики микронеоднородных сред в отсутствии объемныхсил:

71

с условиями специального вида

d1IV d∫IV ε(r)d IV = ε ,

которые, как известно [4], эквивалентны условиям на поверхности S телаV:

в качестве основы решения аналогичной краевой задачи для среды с регулярной микроструктурой:

σ( p) (r) = 0, ε(p) (r)= def u(р) (r), σ(р) (r)= С(р) (r):ε(р) (r),

d1IV d∫IV ε(p) (r)dV = ε ,

где u(р) (r), ε(p) (r), σ(p) (r) – детерминированные периодические функ-

ции структурных перемещений, деформаций и напряжений, С(p) (r) –

тензор структурных модулей упругости среды с регулярной структурой. Предположим, чторешениекраевойзадачи(4) намизвестно[7]:

ε(p) (r)= N(p) (r):ε , ε(p) (r)= ε +ε(p) (r),

C (p) = C(p) (r) + C(p) (r):N(p) (r) , σ (p) = C (p)ε ,

где C (p) – эффективные модули упругости среды с регулярной структурой; N(p) (r) – структурные функции [7]; […] – оператор осреднения

по представительному объему.

С целью доказательства соотношения (9) исследуем решение краевой задачи (10) с граничными условиями (11), которая приводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при нулевых граничныхусловиях:

72

θ%ijmn = θijγδ Iγδmn −ωγδmn .

Уравнения (12) можно рассматривать как уравнения краевой задачи теории упругости микронеоднородных сред с регулярной структу-

рой C(p) (r) и перемещениями uo (r), обусловленными действием

фиктивных случайныхобъемныхсил Π .

При введении функции Грина среды с регулярной структурой G(p) (r,r′) система дифференциальных уравнений (12) преобразуется всистемуинтегро-дифференциальныхуравнений:

V

Для определения полей структурных деформаций необходимо знать градиент пульсаций структурных перемещений, поэтому дифференцируем (6):

V

Уравнение (13) решаем методом последовательных приближений при ограничениях, сформулированных в виде макроскопической однородностииквазиизотропностимикронеоднороднойсреды.

В первом приближений полагаем:

V

Для макроскопически однородной среды интегралы в выражение(15) фактически распространяются на ε2l-окрестность микронеоднородной среды, где ε(р) – постоянны, поэтому соотношения (15) принимаютвид:

73

Из соотношения (18) следует, что указанные выше функционалы являются функционалами относительно свойств микронеоднородной среды θijmn (r) и тензора микроповреждаемости ωijmn , а также функ-

циями относительно текущей координаты r. Из уравнения (10) следует, что моментная функция второго порядка функционала Φ(ijmnр) однозначно определяется через моментную функцию второго порядка функционала ρ(imnр), j , где через запятую обозначается дифференцирова-

ние по координате xj. Следовательно, для вычисления моментной функции второго порядка необходимо вычислить двойной интеграл

моментная функция второго порядка свойств микронеоднородной среды. Как показывают многочисленные теоретические и экспериментальные исследования, эта функция локальна (затухает на расстояниях намного меньших линейного размера элемента) и имеет область отрицательных значений [1, 4]. Для корреляционной функции, входящей в соотношение (19), используются аппроксимирующие зависимости через единичные функции, предложенные в [1]. Тогда для описания

функции Fpqrsijmn (r,r ) достаточно вычислить некоторые значения этой функции, получаемые при r = r = 0 в уравнении (19). Для вычисления интеграла (25) необходимо знать функцию Грина Gij(р) (r,r′) для неод-

нородной среды сравнения с периодической структурой. Используя технику осреднения, предложенную в работе [3], представим функцию

Грина Gij(р) (0,ξ; 0,r) в виде асимптотического ряда разложения по малому параметру α:

75

где Gij (r) – функция Грина для эквивалентной однородной изотроп-

ной или анизотропной среды сравнения с модулями упругости Cijmn(р) ;

Cijmn(р) – эффективные модули упругости неоднородной среды сравне-

ния с периодической структурой; Nij(nαβγ) 1γ2 ...γn (ξ) – локальные функции быстрых координат ξ n-го уровня, α – малый параметр (0 < α = l/L<< 1);

l – характерный линейный размер неоднородности; L – характерный линейный размер конструкции.

Рассмотрим случай, когда микронеоднородная среда макроскопически однородна и квазиизотропна. В этом случае первое слагаемое в выражении (20) есть тензор Кельвина – Сомильяны для однородной

изотропной среды сравнения с эффективными свойствами Cijmn(р) . Под-

ставляя формулу (20) в соотношение (19) и используя метод, предложенный в работе [2], получаем

где через Iipjq обозначен изотропный тензор четвертого ранга, завися-

щий от макроскопических модулей неоднородной среды сравнения с периодической структурой.

В силу свойства предельной локальности функционала ρ(imnр), j

и вычисленного главного значения (21) следует, что функционал ρ(imnр), j аппроксимируется координатной зависимостью

76

В этом случае поправка, как это следует из формулы (22), вычисляется в явном виде:

Сijmn =Cijmn(p) θ%oijγδθ%oαβmn Iγαδβ.

Рассмотрим одномерный случай накопления структурных повреждений

σ(r)= E (r) 1−ω(ε) ε(r).

Пусть элементарный макрообъем первого порядка малости (с характерным линейным размером εl) представляет собой совокупность микрообъемов второго порядка малости (с характерным линейным размером ε2 l ). Будем предполагать, что для каждого элементарного объема второго порядка малости возможно лишь два состояния: либо элементарный объем разрушен, либо нет. Введем скалярную функцию ω, равную единице в неразрушенных микрообъемах и нулю – в разрушенных. Тогда

Из соотношения (23) находим

ω = p.

Таким образом, математическое ожидание функции микроповрежденности, введенное с помощью функции (23), совпадает с вероятностью разрушения микрообъемов второго порядка малости.

Запишем теперь закон Гука для элементарных объемов первого порядка малости:

где величины со звездочками относятся к элементарному объему первого порядка малости. Величина ω имеет смысл вероятности разрушения p элементарного объема первого порядка малости. Из соотношения (24) для момента разрушения величина макронапряжений равна пределу прочности σ = σв , а макродеформация равна предель-

ной деформации: ε = ε*в . Отсюда находим формулу для оценки критического значения макроповрежденности:

77

Установим теперь связь между вероятностями макроскопического разрушения р* и структурного разрушения р. Принимая степенной закон распределения микроповреждений

Из формулы (26) получаем зависимость вероятности макроразрушения от вероятности микроразрушения

р

p =1−(ωкр )(1−р) .

Как видно из формулы (25), ωкр не является новой константой

материала, а выражается через известные предельные макроскопические характеристики материала.

Если записать обобщенный закон Гука через связи первых и вторых инвариантов, то для изотропных материалов получим два независимых критерия разрушения, аналогично тому, как это сделано выше для одномерного случая.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 10-08-92-062).

Библиографический список

1.Волков С.Д., Ставров В.П. Статистическая механика композитных материалов. – Минск: Изд-во Белорус. гос. ун-та, 1978. – 208 с.

2.Соколкин Ю.В. О методе вычисления многоточечных моментных функций полей деформирования и напряжений в микронеоднородных средах // Структурно-механическое исследование композиционных материалов конструкций. – Свердловск, 1984. – С. 12–14.

78

3.Макарова Е.Ю. Синтез современных методов усреднения при решении стохастических краевых задач механики микронеоднородных сред // Механика композит. материалов. – 1999. – Т. 35, № 1. – С. 3–12.

4.Соколкин Ю.В., Ташкинов А.А. Механика деформирования

иразрушения структурно-неоднородных тел. – М.: Наука, 1984. – 116 с.

5.Соколкин Ю.В., Вильдеман В.Э., Зайцев А.В., Рочев И.Н. Накопление структурных повреждений и устойчивое закритическое деформирование композитных материалов // Механика композит. мате-

риалов. – 1998. – Т. 34, № 2. – С. 234–250.

6.Вильдеман В.Э., Соколкин Ю.В., Зайцев А.В. Эволюция структурных повреждений и макроразрушение неоднородной среды на закритической стадии деформирования // Механика композит. материа-

лов. – 1997. – Т. 33, № 3. – С. 329–339.

7.Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. – М.:

Изд-во МГУ, 1984. – 336 с.

Получено 29.11.2010

79

УДК 593.3

Д.В. Семенова, К.Б. Устинов

Институт проблем механики имени А.Ю. Ишлинского РАН, г. Москва

НЕКОТОРЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА ЭШЕЛБИ В СЛУЧАЕ КУБИЧЕСКОЙ И ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ АНИЗОТРОПИИ

Предложен метод вычисления тензора Эшелби для анизотропных тел с помощью асимптотического разложения по малому параметру, соответствующему отклонению тензора упругости тела от случая, для которого тензор Эшелби выражается через элементарные функции. Рассмотрены случаи кубического и гексагонального кристаллов. Для кубического кристалла решение строится в виде ряда поправочных членов к решению для изотропного тела. Для гексагонального кристалла сначала находится решение в элементарных функциях для кристалла специального вида (когда из пяти упругих констант, описывающих поведение гексагонального кристалла, независимы только три), затем решение для гексагонального кристалла общего вида строится в виде ряда поправочных членов к данному решению. Для кубического кристалла рассмотрены включения сферической, дискообразной и игольчатой форм, для гексагонального – дискообразной и игольчатой. Оценены диапазоны применимости решения.

Ключевые слова: тензор Эшелби, анизотропия, малый параметр

1. Введение

Задача об искажениях, вносимых в поле напряжений включениями – областями, претерпевшими изменения формы и линейных размеров, или неоднородностями, которые характеризуются иными значениями упругих констант, чем в остальном материале, – имеет глубокие корни в механике. Одним из основных методов решения задач данного типа является метод Эшелби [1], в основе которого лежит задача нахождения связи компонент стесненной ( εij ) и свободной от напряже-

ния деформации ( εckl ) во включении. В случае эллипсоидальной формы включения напряжения внутри него однородны и искомая связь осуществляется с помощью компонент тензора Эшелби Sijkl [1]:

εij = Sijkl εckl .

Для изотропного тела компоненты тензора Эшелби для включения в форме произвольного трехосного эллипсоида с полуосями a1, a2 , a3 выражаются через эллиптические интегралы, для включения

80