книги / 393

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

где σ(z2) = E(2) duz(2) dz – продольное напряжение,

E(2) – модуль Юнга;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.06.2023

Размер:

2.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

σ(r1)	r=R	= 0, , σ(rz1)	r=R	= 0.		(2)
σ(r1)		= 0, , σ(rz1)		= 0.		(2)

Для моделирования эффекта неидеального контакта примем ги-
потезу о том, что касательные напряжения				σ(rz1)	= σ(rz3)		на меж-
потезу о том, что касательные напряжения				σ(rz1)	= σ(rz3)		на меж-
					r=a		r=a
					r=a		r=a

фазной границе ∂Ω пропорциональны скачку продольных перемеще-

ний

u(1) −u(

= ∆u(3)

r=a

(3)

G(3)

∆u

(3)

σrz

где G(3)

– модуль сдвига материала межфазного слоя, а b

– его тол-

щина.

В рассматриваемом случае нарушение связи между компонентами проявляется в проскальзывании волокна относительно матрицы. В то же время в радиальном направлении условия контакта на границе раздела фаз остаются идеальными:

σ(rr1)		= σ(rr3) , ur(1)	= ur(3) .

	r=a		r=a

Предложенная модель справедлива в случае слабого поперечного взаимодействия компонентов, характерного для большинства волокнистых композитов при продольной деформации.

Введем параметр связи α ( 0 ≤ α ≤1):

G(3)	=1−α b
G(1)		α	a

и положим ba → 0. В асимптотическом пределе α = 0 соответствует идеальному контакту ( ∆u(3) = 0 ), α =1 – полному отсутствию контакта между волокнами и матрицей ( σ(rz3) = 0 ), а промежуточные значения

0 < α <1 описывают случай неидеального контакта.

Еще одно упрощающее предположение заключается в том, что для высокомодульных волокон можно пренебречь поперечными де-

формациями:
ur(1)		(4)
ur(1)	= 0.	(4)
	r=a
	r=a

Данная гипотеза используется во многих работах [2, 4] и позволяет рассматривать волокно как одномерный объект.

Уравнение равновесия для волокна запишем в виде

f0 (z) = σ0δ(z) – приложенная к волокну объемная сила; δ(z) – дельтафункция Дирака; f1(z) = ∫02πσ(rz3)adθ(πa2)= 2σ(rz3)a – объемная сила,

связанная с перераспределением напряжений между волокном и матрицей.

Аналитическое решение. Компоненты вектора перемещений и тензора напряжений в матрице удобно выразить через упругий потенциал Лява W [8]:

ur(1)

= −

∂2W

uz(1)

= 2 (1−µ(1))

2W −

∂2W

(6)

∂r∂z

∂z

(1)

(1) ∂

(1) 2

∂2W

(1)

(1) ∂

(1)

1 ∂W

σr

= 2G

W −

σθ

= 2G

W −

r ∂r )

∂r2

∂z (

∂z

−µ(1)) 2W

σ(z1) = 2G(1)

∂

− ∂2W2

∂z

−µ(1)) 2W

σ(rz1) = 2G(1)

∂

− ∂2W2

∂z

∂r

Тогда уравнения равновесия (1) удовлетворяются тождественно, а условия совместности деформаций сводятся к бигармоническому уравнению

2 2W = 0.

(7)

Применим к соотношениям (2)–(7) преобразование Фурье f (s) = ∫−∞∞ f (z)exp(−isz)dz. Тогда в пространстве изображений полу-

чим следующие зависимости для компонент вектора перемещений:

(r1) = −is ∂

(z1) = 2(1−µ(1))

+ s2

∂r

(σ0 + a2

(rz3))

(z2)

(8)

s2E(2)

и тензора напряжений:

(1)

∂2

(1)

1 ∂

= 2G

−

(9)

σr

∂r

σθ

(

∂r )

(z1) = 2G(1)is

(2 −µ(1))

+ s2

(rz1) = 2G(1)

∂

(1−µ(1))

+ s2

(z2)

= isE(2)

(z2) ,

(rz3)

(rz1)

∂r

r=a

а также граничные условия

(rr1)

= 0 ,

(rz1)

= 0 ,

(r1)

= 0,

(10)

r=R

(1)

r=R

r=a

(3)

= G

1−α

(1)

(2)

σrz

−uz

r=a

и уравнение для упругого потенциала:

= 0 .

(11)

Решение уравнения (11) имеет вид

= C1(s) I0 (

r)+C2 (s)

rI1(

r)+C3 (s)K0 (

r)+

+C4 (s)

rK1(

r),

где I0 , I1 и

K0 , K1

– модифицированные функции Бесселя первого

и второго рода

соответственно.

Функции

C1(s),

C2 (s),

C3 (s)

C4 (s) находятся из граничных условий (10).

σ(rz3) σ0

0 0,8 –0,01 0,4

–0,02	0,2
	0,2
–0,03	0,1
	=	0
–0,04	α =	0			z / l
–0,04					z / l
0	0,2	0,4	0,6	0,8	1

Рис. 3. Касательные напряжения на межфазной границе

σ(2)	σ	0
z		0
–0,46
–0,47
–0,48
–0,49			α = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8
–0,5						z / l
–0,5	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1

Рис. 4. Продольные напряжения в волокне

Окончательное решение строится путем обращения изображений (8), (9) по формуле

∞

f (z) = 1 π ∫ f (z)exp(isz)ds.

2 −∞

В работе выполнялось численное интегрирование с использованием пакета Maple.

Численные результаты. Для иллюстрации полученного решения рассмотрим однонаправленный композит на основе эпоксидной

матрицы ( G(1) =1,53 ГПа и µ(1) = 0,33 ), армированной стеклянными волокнами ( E(2) = 69 ГПа). На рис. 3 и 4 представлены зависимости напряжений σ(rz3) , σ(zz2) от безразмерной продольной координаты zl

( l – расстояние между центрами соседних волокон, а z = 2R ). Расчеты были выполнены для объемного наполнения стекловолокном c(2) = 0,4 .

В случае идеального контакта ( α = 0 ) наличие сосредоточенной нагрузки в точке z = 0 приводит к сингулярности решения. Имеют место следующие пределы:

σ(rz3)

→ ∞ ,

σ(z2)

→

σ0

при z → 0 ,

(3)

→ 0 ,

(2)

→

σ c(2)E(2)

при z → ∞ ,

σrz

σz

2E0

где E0 ≈ (1−c(2))E(1) +c(2)E(2)

– эффективный модуль Юнга в направ-

лении армирования,

определенный

по

правилу смеси,

и E(1) = 2G(1)(1+µ(1)).

σ(3)

rz , max

–0,02

–0,04

с(2) = 0,6; 0,4; 0,2; 0,1

–0,06

αα

0,2

0,4

0,6

0,8

Рис. 5. Максимальные касательные напряжения при z = 0

На рис. 5 проиллюстрирована зависимость σ(rz3,)max от параметра α.

Как видим, ослабление связи между волокнами и матрицей снимает сингулярность и позволяет ограничить максимальные напряжения

σ(rz3,)max = σ(rz3)		на границе раздела ∂Ω.. При этом обеспечивается бо-

		z=0

лее равномерное перераспределение нагрузки, а также увеличивается протяженность зоны краевого эффекта.

Библиографический список

1.Григолюк Э.И., Толкачев В.М. Контактные задачи теории пластин и оболочек. – М.: Машиностроение, 1980. – 411 с.

2.Маневич Л.И., Павленко А.В. Асимптотический метод в микромеханике композитных материалов. – Киев: Вища школа, 1991. – 131 с.

3.Гузь А.Н., Коханенко Ю.В. Краевые эффекты в композитах //

Прикл. механика. – 1995. – Т. 31, № 3. – С. 3–23.

4.Lenci S., Menditto G. Weak Interface in Long Fibre Composites // Int. J. Solids Structures. – 2000. – Vol. 37. – P. 4239–4260.

5.Andrianov I.V., Danishevs’kyy V.V., Weichert D. Analytical Study of the Load Transfer in Fibre-Reinforced 2D Composite Materials // Int. J. Solids Structures. – 2008. – Vol. 45. – P. 1217–1243.

6.Большаков В.И., Андрианов И.В., Данишевский В.В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. – Днепропетровск: Пороги, 2008. – 196 с.

7.Кристенсен Р.М. Введение в механику композитов. – М.: Мир, 1982. – 334 с.

8.Ляв А. Математическая теория упругости. – М.; Л.: Изд-во ОНТИ, 1935. – 674 с.

Получено 22.11.2010

УДК 593.3

А.В. Зайцев, А.В. Кутергин

Пермский государственный технический университет

УПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ ТЯЖЕЛОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО ТОЛСТОСТЕННОГО ОРТОТРОПНОГО ЦИЛИНДРА, НАХОДЯЩЕГОСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕРАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОГО БОКОВОГО ДАВЛЕНИЯ

Используя разложения компонент вектора перемещений по окружной и радиальной координате в тригонометрические и обобщенные степенные ряды, получены новые точные аналитические решения задач о равновесии бесконечно протяженных тяжелых горизонтальных толстостенных ортотропных цилиндрических тел, находящихся под действием неравномерного внешнего давления.

Ключевые слова: толстостенный тяжелый упругий горизонтальный ортотропный цилиндр, равновесие, неравномерное внешнее давление, реакция основания, точное аналитическое решение.

Рассмотрим равновесие тяжелого горизонтального толстостенного ортотропного цилиндрического тела, которое находится под действием неравномерно распределенного давления, заданного на внеш-


			ней	боковой		поверхности.
			На рис. 1		представлена			рас-
			четная схема задачи. В силу
			бесконечной			протяженности
	а		бесконечной			протяженности
			тела	радиальные			и окружные
			перемещения ( u и v ),					ради-
			альные ( σrr и εrr ), окружные
			( σθθ и εθθ ), осевые ( σzz ) нор-
		b

			мальных напряжения и де-
			формации, касательные на-
Рис. 1. Тяжелый ортотропный цилиндр,			пряжения и сдвиговые дефор-
Рис. 1. Тяжелый ортотропный цилиндр,			мации ( σrz		и	εrz )	не зависят
находящийся под действием			мации ( σrz		и	εrz )	не зависят
находящийся под действием			от осевой координаты z.
неравномерного бокового давления			от осевой координаты z.
				Действующее			на	внеш-

нюю поверхность тяжелого цилиндра неравномерное давление задается функцией R(θ), симметричной относительно вертикальной централь-

ной плоскости. Однако в рассматриваемом ниже частном случае на закон распределения R(θ) накладываются следующие ограничения:

2π	R(θ), π < θ <				3π		;

∫ σrr cos θdθ = −π(b2			2			2		(1)
	−a2 )ρ, σrr =
0		0,	3π	≤ θ ≤		π	,
			2			2

вызванные тем, что эта нагрузка является реакцией основания на действие собственного веса. Здесь ρ – удельный вес материала, a и b – внутренний и внешний радиусы тяжелого цилиндра.

Запишем неоднородную систему уравнений Ламе для тяжелого

ортотропного цилиндрического тела:

∂2u

m2 ∂2u

1 ∂u

−

u −

+ m2 ∂v

+ m2 ∂2v

cos θ ,(2)

∂r2

∂θ2

r ∂r

∂θ

∂r∂θ

K11

∂2v

p2 ∂2v

1 ∂v

−

+1 ∂2u

+1 ∂u

= −

sin θ,

∂r2

r2 ∂θ2

r ∂r

∂r∂θ

r2 ∂θ

Grθ

которая была получена последовательной подстановкой определяющих

σrr = K11εrr + K12εθθ ,

σθθ = K12εrr + K22εθθ , τrθ = Grθγrθ

(3)

и геометрических соотношений Коши

εrr

= ∂u , εθθ = u

+ 1 ∂v

, γrθ =

1 ∂u +

∂v

− v

(4)

∂r

r ∂θ

∂r

в уравнения равновесия

∂σrr

1 ∂τrθ

σrr −σθθ

= ρcos θ,

1 ∂σθθ

+ ∂τrθ

+ 2

τrθ

= −ρsin θ, (5)

r ∂θ

∂r

∂θ

∂r

содержащие

компоненты

вектора

массовых

сил Fr = −ρcos θ

и Fθ = ρsin θ. Выражения (2) и (3) содержат следующие коэффициенты:

m =

Grθ

n =

K22

, q =

K12

p =

K22

, k =

K21

rθ

(1−µ

θz

zθ

)

, K

Eθ

(1−µ

(µ

rθ

+ µ

zθ

D =1−2µrθµθzµzr −µrθµθr −µθzµzθ −µzrµrz ,

где Er ,	Eθ и Ez – модули Юнга в направлениях r , θ и z ; µrθ , µθz
и µzr –	коэффициенты Пуассона; Grθ – продольный модуль сдвига.

Осевые напряжения σzz не являются независимыми, а определяются при помощи равенства

σzz = Ez µrz σrr + µzθ σθθ .

Er Eθ

Симметрия нагрузки относительно вертикальной плоскости, проходящей через образующую, и геометрическая симметрия тяжелого цилиндрического тела предопределяют поиск решения системы дифференциальных уравнений (2) в виде тригонометрических рядов по окружной координате:

∞

u = ∑ui (r )

i=0

∞
cosi θ, v = ∑vi (r )sin i θ,	(6)

i=0

подстановка которых в исходную систему позволяет записать:

∞

2 + m2 )vi′

(m2i2

+ n2 )ui +i

(n2 + m2 )vi

∑ ui′′+

ui′ +i

−

cosi θ =

i=0

{

}

cosθ,

(7)

∞

′′

′

−i

−

+ i

sin θ.

∑i=0

(

)

(

)

(

)

Grθ

Обратим внимание на то, что система обыкновенных дифференциальных уравнений (7) однородна при i = 0 и i >1, неоднородна при i =1. Поэтому для различных i решение системы (7) можно рассматривать независимо и представить поля перемещений и напряжений в тяжелом цилиндре в виде суперпозиции:

∞	∞
u = u0 +u1cos θ+ ∑uicosiθ , v = v1cos θ+ ∑visin iθ ,
i=2	i=2
∞	∞
σrr = σ(rr0) +σ(rr1)cos θ+ ∑σ(rri)cosiθ, τrθ = τ(r1θ)cos θ+ ∑τ(riθ)sin iθ , (8)
i=2	i=2

σθθ = σ(θθ0) +σ(θθ1)cos θ+ ∑∞ σ(θθi)cosiθ .

i=2

Разложение (8) позволяет выделить механический смысл каждого из слагаемых. Так, например, слагаемые с индексом i = 0 отражают вклад равномерно распределенной нагрузки на внутренней и/или внешней боковой поверхности цилиндрического тела и соответствуют решению «классической» задачи Ламе. Слагаемые при i =1 позволяют учесть гравитационные силы, а при i >1 – неравномерно распределенной нагрузки, которую перед подстановкой в граничные условия необходимо разложить втригонометрические ряды по окружной координате.

При i = 0 отсутствуют окружные перемещения ( v0 = 0 и, как

следствие – v0′ ≡ v0′′ ≡ 0 ) и касательные напряжения ( τ(r0θ) = 0 ), а единственное уравнение системы (7)

u0′′ +		1		(u0′ − n2u0 )= 0			(9)
u0′′ +		r		(u0′ − n2u0 )= 0			(9)
		r
имеет общее решение
u	0		= C rn +		C2	,	(10)
u			= C rn +			,	(10)
				1	rn
					rn

где n = K22 K11 – «классический» показатель анизотропии [3].

Решение системы дифференциальных уравнений (7) при i =1 представим в виде


u	=	u	+u* , v			= v +v* ,		(11)
1	1			1	1	1	1

суперпозиции общего решения соответствующей однородной системы u1, v1 и одного из частных решений неоднородной системы

ω4Θ −1

ω3Grθ +ω2K11

u =

ρr

, Θ =

(12)

ω G

(ω ω +ω ω

)

rθ

3 rθ

1 3

2 4

где

ω = 4 −m2

−n2 , ω = 2q2

+ m2 −n2 , ω = 3 − p2 , ω = 2k2

+ p2 +3.

Решение однородной

системы

при i ≥1

будем

искать

в виде

обобщенных степенных рядов:

∞

ui = ∑a jr j+ν , vi

= ∑bjr j+ν .

(13)

j=0

Это позволяет записать выражения для радиальных и окружных

перемещений следующим образом:
u	=	a rβ +		a2	+ a ln r + a	4	+ Br2	cosθ,	(14)

1			1	rβ	3

v = a α rβ + a

α2

+ a α ln r + a α

+ Ar2

sin θ,

1 1

3 3

(i>1)

∞

= ∑ a1r

+ a3r

cosi θ,

(15)

i=2

(i>1)

∞

+ a3ψ3ir

+ a4

θ ,

= ∑ a1ψ1ir

i + a2

ξ2i

ϕ4i

sin i

i=2

где

α =

β(k2 +1)+ p2 +1

, α =

p2 +1−β(k2 +1)

, α = α = −1,

β2 −

(

)

β2

−

(

)

p2 +1

β =

K22

−

K12

+1 ,

rθ

( f

)2 − 4 f

, ϕ

−

(

)2 − 4 f

, (16)

+1)ξi + p

+1−(k

, ψ

+1)ξi

ξi2 − p2i2 −1

+1)ϕi + p

+1−(k

, ψ

+1)ϕi

ϕ2 − p2i2

−1

ϕ2

− p2i2 −1

f1i = i

K22

−

K12

− 2

1, f2i = (i

−2i

+1)

K22

rθ

а β = K22 (1 K11 +1 Grθ )− K12 (2 + K12

Grθ )

K11 +1

– показатель ани-

зотропии для горизонтального осесимметричного тела, находящегося под действием равномерно распределенной нагрузки, имеющей вертикальную плоскость симметрии. Обратим внимание на то, что в отличие от «классического» n, показатель t зависит от модуля сдвига в диа-

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
07.06.20232.04 Mб3386.pdf
#
07.06.20232.04 Mб1387.pdf
#
07.06.20232.05 Mб1389.pdf
#
07.06.2023241.71 Кб139-1.pdf
#
07.06.20232.74 Mб239.pdf
#
07.06.20232.08 Mб1393.pdf
#
07.06.20232.1 Mб3395.pdf
#
07.06.20232.1 Mб3396.pdf
#
07.06.20232.13 Mб1398.pdf
#
07.06.2023241.74 Кб240-1.pdf
#
07.06.20232.74 Mб640.pdf