книги / 393

Рис. 3. Расчет компонент тензора Эшелби для игольчатого включения в кубическом кристалле

Полученные разложения и результаты численных расчетов для компонент тензора Эшелби представлены на рис. 3 (для ν = 0, 25,

ρ= 0,01). Сплошные линии соответствуют численному интегрирова-

нию, пунктирные линии – разложению при учете линейных по ε членов, штрихпунктирные – при учете квадратичных. Подобно случаю дискообразных включений, здесь наблюдается систематическое отклонение асимптотического решения от точного для всего рассматриваемого диапазона параметра малости, в том числе для нулевого значения. Данное отклонение особенно заметно для компонент, не содержащих нулевого члена разложения по r .

91

3.Асимптотическое разложение компонент тензора Эшелби

вслучае гексагональной анизотропии

Для гексагонального кристалла (трансверсально-изотропного тела) выражения для компонент тензора Gipjq , через которые выражается тензор Эшелби, имеют вид [2]:

где

∆−1 =[e(1− x2 ) + fr2 x2 ]{[d(1− x2 ) + fr2 x2 ][ f (1− x2 ) + hr2 x2 ]− −g2r2 x2 (1− x2 )}.

Ненулевые компоненты тензора упругости гексагонального кристалла, характеризуемого пятью константами,

C1111 = C2222 = d, C3333 = h, C1122 = C2211 = d −2e,

C1133 = d − f ,

C2233 = C3311 = C3322 = g − f , C1212 = C2121 = C1221 = C2112 = e,

92

C1313 = C3131 = C3232 = C2323 = C1331 = C3113 = C3223 = C2332 = f .

Среди многообразия упругих констант может быть выделен подкласс, подчиняющийся условию

для которого можно ожидать существенного упрощения вида упругих решений. Данный подкласс является, по сути, одним из подклассов, выделенных Сен-Венаном [4] (см. также работу [5]) для ортотропных сред. Уравнения теории упругости для среды с подобными упругими свойствами могут быть получены масштабированием (с коэффициентом η) соответствующих уравнений для изотропного тела по одной из осей, которая становится трансверсальной осью. Действительно, для данного случая подстановка выражения (2.2) в (2.1), а затем в (1.1) дает следующие ненулевые компоненты тензора Эшелби:

93

Для трансверсально-изотропного тела общего вида представим следующий набор упругих констант:

d = λ+ 2µ, e = µ, f = µη(1+ εα),

(2.3)

g = (λ + µ)η(1+ εβ), h = (λ+ 2µ)η2 ,

одна из констант (α, β) может быть без нарушения общности выбрана произвольно. Искомое решение находится разложением в ряд по степеням ε.

Поскольку для рассматриваемого случая факт сферичности включения не приводит к сколько-нибудь существенным упрощениям, сферические включения в данной главе не рассматриваются. Подстановка выражения (2.3) в (2.1) с последующим разложением по малым ε, интегрированием по x позволяет получить выражения для компонент тензора Эшелби в виде ряда. Хотя члены данного ряда содержат лишь элементарные функции (полиномы, корень и арктангенс), они все же слишком громоздки для того, чтобы быть рекомендованными к использованию на практике. Поэтому были рассмотрены частные случаи сильно сплюснутых и сильно вытянутых включений.

94

3.1. Асимптотическое разложение для дискообразного включения

Аналогично случаю кубической симметрии, компоненты тензора Эшелби могут быть представлены в виде разложения (1.7). Подстановка выражения (2.3) в (2.1) с последующим переходом ρ → 0 и интегрированием дает следующие ненулевые компоненты:

S3333(0,ε) = 2S1313(0,ε) = 2S2323(0,ε) =1.

Для старших членов соответствующее выражение уже не интегрируется. Подобно случаю кубического кристалла, искомое разложение может быть получено интегрированием разложения по ε (1.1) с последующим разложением результата по ρ. Ненулевые компоненты разложения имеют вид:

95

Полученные асимптотические зависимости (для λ = µ, α= β = 1) и результаты численных расчетов (ρ = 0,01) представлены на рис. 4.

Рис. 4. Расчет компонент тензора Эшелби для дискообразного включения

вгексагональном кристалле

3.2.Асимптотическое разложение для игольчатого включения

Аналогично предыдущим случаям компоненты тензора Эшелби могут быть представлены в виде разложения (1.8). Подстановка выра-

96

жения (2.3) в (1.2) с последующим переходом r → 0 и интегрированием дает следующие ненулевые компоненты:

Искомое разложение по ρ получается интегрированием разложения по ε выражений (1.1) с последующим разложением результата по ρ. Ненулевые компоненты при этом имеют вид:

97