книги / 194
.pdf
Правило решения (П 1.2 ) можно записать иначе – решение о том, что передавался сигнал Uj, должно приниматься для всех j ≠ i (j=1,….m), если выполняется m-1 неравенств
|
y |
|
|
P(U j ) |
|
||
|
w |
|
|
|
|
||
|
|
|
U i |
|
|
||
λi, j = |
|
|
|
> |
|
. |
(П 1.3) |
|
y |
|
P(U i ) |
||||
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U j |
|
|
|
|
Это отношение известно как отношение правдоподобия двух гипотез о том, что передавался сигнал Ui, и о том, что передавался сигнал Uj. Когда все
|
|
1 |
|
|
m сигналов передаются равновероятно P(U i )= P(U j |
)= |
|
|
, то отношение прав- |
|
||||
|
|
m |
|
|
доподобия упрощается и λi, j >1. |
|
|
|
|
При осуществлении оптимальной когерентной обработки полагают полностью известные формы используемых сигналов вплоть до знания фазы высокочастотного заполнения и возможный момент прихода на вход приёмника. Неизвестным параметром может быть лишь значение коэффициента передачи по каналу распространения. Для принимаемой смеси y(t)= μU (t)+ x(t), где μ – коэффициент передачи по каналу распространения, тогда решение принимается на основе анализа реализации процесса y(t) при известной форме U(t) в предположении, что момент возможного поступления полезного сигнала на вход обнаружителя t=0. Если воспользоваться при отмеченных условиях критерием Неймана-Пирсона (суть которого заключается в том, что решающая схема считается оптимальной, если при заданной вероятности ложной тревоги Pлт обеспечивается минимальная вероятность пропуска сигнала), то алгоритм оптимального когерентного обнаружения будет иметь вид:
|
|
2μ |
Тс |
μ2 Э |
|
|
|
|
|||
|
|
∫y(t) U (t) dt − |
W |
|
> ln(λнп ) , |
(П 1.4) |
|||||
|
|
W |
0 |
||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
T |
|
|
|
W0 |
|
|
|
μ |
|
|
|
или ∫с |
y(t) U (t) dt >U нп , где U нп = |
ln(λнп )+ |
Э – порог принятия решения, Э – |
||||||||
2μ |
2 |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
энергия сигнала, W0 – интенсивность энергетического спектра белого шума. В случае, когда сигнал U(t) является узкополосным, что обычно имеет место в реальных условиях, он может быть представлен через низкочастотные
квадратурные составляющие, тогда
u(t)=U m cos(wc t −φ(t))=U m cos(φ(t))cos(wc t)+U m sin(φ(t))sin(wc t).
Представляя аналогично аддитивную смесь, на входе приёмного устройства получим: y(t)= Ac (t)cos(wc t)+ As sin(wc t), где Ac (t) и As (t) – косинусоидальная и синусоидальная низкочастотные составляющие входного сигнала.
В результате (П 1.4) можно привести к виду
|
U m |
T |
|
U m |
T |
|
|
|
∫с |
Ac (t)cos(φ(t))dt + |
∫с |
As (t)cos(φ(t))dt >U нп . |
(П 1.5) |
||
2 |
|
||||||
0 |
2 |
0 |
|
|
|||
21
Структурные схемы устройств, реализующих алгоритмы (П 1.4) и (П 1.5) приведены на рис. П1. а и рис. П1. б, где СФ, СФс и СФs – фильтры согласованные с сигналом U(t) и низкочастотными квадратурными составляющими сигнала; РУрешающее устройство, а остальное – смесители, генератор, фазовращатель, фильтры и сумматор.
СФ 
РУ
a) |
|
|
|
|
|
|
Uнп |
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
СФС |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СФS
б)
Рис. П1. Примеры построения устройств обнаружения сигналов на основе согласованных (оптимальных)
фильтров
22
Приложение 2
РАЗРЕШЕНИЕ СИГНАЛОВ
Под разрешением (различением) сигналов в радиотехнике (наиболее часто и широко в радиолокации) понимают возможность раздельно обнаруживать и измерять параметры сигналов от близко расположенных целей. Различение сигналов обычно происходит на фоне помех, существенно ухудшающих характеристики разрешения.
Степень различия двух сигналов U1(t) и U2(t), например, имеющих одинаковые энергии (Э1=Э2=Э), аналитически обычно оценивают по величине относительной характеристики, определяемой по алгоритму
2 = |
1 |
|
∞ [U1 (t) −U 2 |
(t)]2 dt |
|
|
Э |
(П 2.1) |
|||||
|
|
−∞∫ |
. |
Тогда мерой разрешающей способности, например, по времени приёма сигнала U c (t −τ) относительно переданного U c (t) , является величина
2 (τ) = |
1 |
|
∞∫[U c (t) −U c (t −τ)]2 dt . |
|
Э |
||||
|
|
−∞ |
Из (П 2.2), после преобразований получим
2 (τ) = 2[1 − R(τ)] ,
(П 2.2)
(П 2.3)
где R(τ) – нормированная автокорреляционная функция сигнала.
Из [1] известно, что при оптимальной обработке сигнала, отклик на выходе оптимального приёмника (фильтра) описывается как автокорреляционная функция исследуемого сигнала. Поэтому выражение (П 2.3) следует понимать так, что при задержке τ = 0 , 2 (τ) = 0 , так как R(τ = 0) =1 , а для повышения разрешающей способности по времени необходимо так выбирать форму сигнала, чтобы при всех значениях задержек τ ≠ 0 , функция R(τ) имела как можно меньшее значение и тогда степень различия 2 (τ) будет иметь существенное значение.
Лучшее разрешение сигналов по времени приема, очевидно, будет в том случае, когда отклики оптимального фильтра на эти сигналы не перекрываются во времени. Поэтому, если использовать только простые сигналы, например, прямоугольные видеоимпульсы, то для лучшего различения сигналов необходимо было бы уменьшать длительность импульсов. Но для сохранения заданной энергии и обеспечения требуемой дальности передачи уменьшение Tc потребовало бы увеличения амплитуды Um, что неблагоприятно сказывается на работе передатчиков таких систем. Поэтому используют сложные сигналы, позволяющие получить малое значение центрального лепестка автокорреляционной функции. Так при использовании сложных сигналов в виде сигналов Баркера и простого прямоугольного сигнала той же длительности Tc, сигналы Баркера можно различать на выходе оптимального фильтра даже при наличии аддитивного шума в канале. Два же простых сигнала практиче-
23
ски не различаются, так как длительность автокорреляционной функции таких сигналов на выходе фильтра равна 2Тс.
На рис. П.2 приведен пример разрешения фазоманипулированных сигналов Баркера, а точнее их комплексных огибающих, построенных на основе 13–и элементного кода и поступающих на вход ОФ с различными задержками. Такая ситуация возникает при приёме радиолокационной станцией сигналов в случае их отражения от двух объектов, разнесенных по дальности и имеющих одинаковую скорость движения. На этом же рисунке показана форма комплексной огибающей суммарного сигнала на входе и выходе оптимального фильтра. Из рисунков видно, что в представленной ситуации по отклику ОФ на воздействие суммы двух сигналов, разнесенных во времени, можно определить значение величины задержки. Несложно убедиться в том, что подобное разрешение сигналов по времени в случае использования простых сигналов той же длительности оказывается практически невозможным, особенно при наличии аддитивного шума.
В дополнение следует отметить, что фазоманипулированные сигналы, построенные на основе кодов Баркера, позволяют получить превышение главного максимума модуля комплексной огибающей нормированной автокорреляционной функции над побочными максимумами в N раз. Так, для N=13 относительная величина побочных максимумов оказывается равной 1/13. Ширина спектра фазоманипулированного сигнала будет определяться шириной спектра наименьшего по длительности импульса длительностью T0 (рис. П.2). Занимаемая таким сигналом полоса частот может быть определена по критерию максимальной концентрации энергии [1] и будет равна F ≈ 2/ T0 ≈2N/ Tc, а значение базы фазоманипулированного сигнала равно В=2N.
24
U 1 (t) |
|
|
|
T0 |
|
T c |
t |
U 2 (t)=U 1 (t- |
зτ) |
а |
|
|
|
τз |
t |
|
б |
U вх (t) |
|
t |
в
U вых (t)=R 1( τ)- R2( τ)
1
г |
T c |
T c+ зτ |
t |
Рис. П.2. Вид комплексных огибающих перекрывающихся ФМ сигналов и их разделение в ОФ
25
Приложение 3
ОЦЕНКА ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖИТЕЛЯ СИГНАЛОВ
Помехоустойчивость устройства обнаружения сигналов (приёмника сигналов) может быть количественно оценена с помощью характеристик обнаружения, известных как вероятность ложной тревоги Рлт и вероятность правильного обнаружения [3].
Если в аддитивной смеси, поступающей на вход устройства обнаружения, положить, что сигнал отсутствует, то есть y(t)= x(t), тогда вероятность выполнения условия (П 1.1) и будет равна вероятности ложной тревоги Рлт. Левая часть этого неравенства является случайной величиной с нормальным распределением, поскольку представляет собой результат линейного преобразования нормального случайного процесса x(t). Можно показать [3] что
|
|
|
|
|
PЛТ = |
|
1 |
[1−Ф(α)], |
|
|
|
|
|
|
(П 3.1) |
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
t 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
U нп 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
α∫ e− |
|
|
||||
где a = |
– относительный порог; Ф(α)= |
2 |
dt – функция Крампа. |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
W0 Э |
|
|
|
|
|
|
|
|
π 0 |
|
|
||||
|
Учитывая, что мощность шума на выходе оптимального фильтра [1, 3] |
|||||||||||||||||
равна |
|
|
|
второму |
|
|
центральному |
|
моменту, |
то |
есть |
|||||||
|
|
|
Tc |
|
|
W0 |
Tc |
|
W0 Э |
|
|
|
|
|
|
|
||
σвых2 = |
M 2 |
∫x(t)U (t)dt |
= |
|
∫U 2 (t)dt = |
в |
|
результате |
получим, |
что |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
α =U пор = |
U нп |
. |
|
||
|
σвых |
|
1 |
|
|
|
Pлт |
= f (α ) |
0.5 |
|
|
0 |
0 |
2 |
2 |
||
|
λ |
|
|
Рис. П 3.1 |
|
График зависимости Рлт от относительного порогового напряжения α приведён на рис. П 3.1. Из рисунка можно сделать вывод, что для уменьшения Рлт необходимо увеличить величину порога по сравнению с уровнем среднеквадратического значения шума на входе согласованного фильтра σвых. Кроме того, используя эту зависимость РЛТ = f (α) и задавая требуемое значение Рлт
26
для конкретной задачи, можно на основании критерия Неймана-Пирсона оп- |
|||||||||||||||||||||
ределить необходимое значение |
α |
|
и, |
следовательно, |
величину требуемого |
||||||||||||||||
порога UНП, которую нужно установить в приёмнике. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Для вычисления вероятности правильного обнаружения Рпо необходимо |
|||||||||||||||||||
учитывать всю аддитивную смесь, при этом Рпо вычисляется как вероятность |
|||||||||||||||||||||
выполнения неравенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫c [μ U (t)+ x(t)]U (t)dt >U нп . |
|
|
|
|
(П 3.2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае вероятность правильного обнаружения будет определяться вы- |
|||||||||||||||||||||
ражением [3]: |
|
1 (1−Ф(α −(2μ2 Э/W0 )2 ))= |
1 (1−Ф(α − |
|
2 h)), |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
PПО |
= |
|
(П 3.3) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
где h |
2 |
|
μ2 |
Э |
|
|
P |
|
|
|
2 |
|
|
P |
|
2 |
|
F ; |
|
– ширина спектра |
|
= |
|
|
= μ |
2 |
c |
|
FTc = μ |
FTc |
c |
|
=W0 |
F |
|||||||||
|
W0 |
|
|
|
|
σвх |
2 |
; σвх |
|||||||||||||
сигнала; |
|
W0 F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
μ – коэффициент передачи канала распространения сигнала. |
|||||||||||||||||||||
|
|
Графики зависимости Рпо от |
2h при различных значениях Рлт приведе- |
||||||||||||||||||
ны на рис. П 3.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pлт |
= |
10 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pлт = 10 −3 |
||
|
|
0.6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.2 |
|
|
|
f (h ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pлт = 10 |
−4 |
|
|
|||
|
|
|
Pпо |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. П 3.2 |
|
|
|
|
|
||||
Из приведенных соотношений и графиков можно сделать вывод, что помехоустойчивость оптимального приёмника при работе в условиях воздействия нормальных шумов не зависит от формы полезного сигнала U(t) и полосы занимаемых частот F , а определяется в основном отношением мощности сигнала к мощности шума действующего на входе или, отношением энергии сигнала к спектральной плотности мощности помехи.
27
Приложение 4
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
1.Теоретические сведения
См. курс лекций по РТЦиС и рекомендованные учебники (РТЦиС Гоноров-
ского И.С. и др.).
1.2. Описание программы
Вид окна программы «Дискретная фильтрация сигналов» (lab_discrfilter.exe) показан на рис.
Рис. П 4.1.
Примечание. Выполняемое в программе моделирование процессов фильтрации основано на дискретной обработке сигналов, поэтому все приводимые в данном описании физические единицы измерения являются условными и используются исключительно для представления параметров сигналов и фильтров в наглядном виде.
Рис. П 4.1. Окно программы «Дискретная фильтрация сигналов»
В окне имеются следующие элементы управления:
•Переключатели Входной сигнал и Непрерывный входной сигнал позво-
ляют выбирать тип используемого сигнала из числа следующих вариантов:
•Одиночный импульс: генерируется дискретный одиночный импульс, то есть один отсчёт с величиной, равной единице. Последующие отсчёты входного сигнала равны нулю. Данный сигнал генерируется однократно, перед началом его формирования устанавливается нулевое начальное состояние фильтра.
28
•Ступенька: генерируется последовательность отсчётов, равных единице. Данный сигнал генерируется однократно, перед началом его формирования устанавливается нулевое начальное состояние фильтра.
•Синусоида: генерируются дискретные отсчеты гармонического сигнала. Данный сигнал является периодическим, его частота регулируется с помощью поля Частота непрерывного сигнала. Амплитуда сигнала равна единице.
•Меандр: генерируются дискретные отсчёты меандра. Данный сигнал является периодическим, его частота регулируется с помощью поля Частота непрерывного сигнала. Амплитуда сигнала равна единице.
•Треугольные импульсы: генерируются дискретные отсчёты периодической последовательности симметричных треугольных импульсов. Данный сигнал является периодическим, его частота регулируется с помощью поля Частота непрерывного сигнала. Амплитуда сигнала равна единице.
•Пилообразный сигнал: генерируются дискретные отсчёты периодической последовательности несимметричных треугольных импульсов (вертикальный фронт справа, наклонный участок является возрастающим). Данный сигнал является периодическим, его частота регулируется с помощью поля Частота непрерывного сигнала. Амплитуда сигнала равна единице.
•Шум: генерируется последовательность случайных чисел, некоррелированных друг с другом и имеющих нормальное распределение вероятности с нулевым средним значением и дисперсией, равной единице.
•Поле ввода Частота непрерывного сигнала позволяет задавать частоту периодических сигналов (значение должно быть целым числом; единицы измерения частоты являются условными, частоте дискретизации соответствует значение 250, поэтому максимально допустимое значение частоты сигнала равно 125). Кнопки со стрелками, расположенные в правой части поля, осуществляют изменение значения с шагом, равным единице.
•Группа полей ввода Коэффициенты фильтра позволяет задавать коэффициенты дискретного рекурсивного фильтра второго порядка. Обозначения коэффициентов соответствуют представлению системной функции
|
a |
+ a z−1 |
+ a z−2 |
|
|
фильтра в виде H (z) = |
0 |
1 |
|
2 |
. Значения должны представлять |
|
−b z−1 |
−b z−2 |
|||
1 |
|
||||
|
|
1 |
|
2 |
|
собой числа с одним десятичным разрядом после запятой. Кнопки со стрелками, расположенные в правой части полей, осуществляют изменение значений с шагом 0,1.
•Кнопки Старт и Стоп служат для запуска и остановки процесса моделирования. При выборе непериодических сигналов (Одиночный импульс и Ступенька) при щелчке на кнопке Старт осуществляется один цикл мо-
29
делирования (генерируется 100 отсчётов входного и выходного сигналов), использование кнопки Стоп при этом не нужно. При выборе периодических сигналов щелчок на кнопке Старт запускает процесс моделирования, который продолжается до щелчка на кнопке Стоп, при этом графики сигналов на экране обновляются каждые 0,5 с.
Внижней части окна расположен график расположения нулей (кружки)
иполюсов фильтра (крестики) на комплексной плоскости. Сплошной линией показана единичная окружность. Изображение обновляется при каждом изменении значений коэффициентов фильтра.
Вправой части окна расположены три графика, которые в реальном времени показывают следующие сигналы:
•Верхний график – сигнал на входе фильтра.
•Средний график – сигнал на выходе фильтра.
•Нижний график – нормированная корреляционная функция выходного сигнала.
2.Выполнение работы
2.1. Исследование нерекурсивного фильтра первого порядка
Для реализации нерекурсивного фильтра первого порядка установите следующие значения коэффициентов: a2 = b1 = b2 = 0. Оставшиеся значения a0 и a1 определяют свойства исследуемого фильтра.
Зарисуйте расположение нулей и полюсов и произведите измерение АЧХ для следующих значений коэффициентов:
а) a0 = 1, a1 = 1;
б) a0 = 1, a1 = –1. Значения АЧХ занесите в таблицу.
f |K(f)|
Напоминание – Измерение АЧХ фильтров производится по точкам, путем варьирования частоты входного синусоидального сигнала и измерения амплитуды сигнала на выходе. Амплитуда входной синусоиды равна единице, поэтому амплитуда выходного сигнала равна значению АЧХ на данной частоте.
2.2. Исследование нерекурсивного фильтра второго порядка
Для реализации нерекурсивного фильтра второго порядка установить следующие значения коэффициентов: b1 = b2 = 0. Оставшиеся значения a0, a1 и a2 определяют свойства исследуемого фильтра.
Зарисуйте расположение нулей и полюсов и произведите измерение АЧХ для следующих случаев:
а) a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1; б) a0 = –1, a1 = 2, a2 = –1;
30