книги / 125
.pdf
1 .
Так как при t = 0, y = 1, то |
0 и |
1 |
|
. |
|
Поэтому время , за которое соскользнет вся цепь, т. е. 6, определяется формулой
1 |
|
11,9 1,9 . |
|
2. В комнате, где температура воздуха 20 °С, некоторое тело остыло за 20 мин от 100 °С до 60 °С. Найти закон охлаждения тела и установить, через сколько минут оно остынет до 30 °С. Повышением температуры в комнате пренебречь.
Решение. В силу закона Ньютона (скорость охлаждения пропорциональна разности температур) можем написать:
20 , или ,
20
т. е.
20 .
Если t = 0, то T = 100°, отсюда C = 80. |
Если t = 20, то T = 60°. Следо- |
|||||||||||||||||||||
вательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
20 |
80, |
откуда |
|
|
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
нахо- |
|
Итак, используя формулы |
|
|
|
|
|
|
|
где |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
α |
|
|
|
|
|
, |
, |
2, |
|
|||||||||||||
дим закон охлаждения тела: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20 80 |
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
, или |
|
20 |
80 |
|
|
|
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Отсюда при T = 30° имеем
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
10 80 |
2 |
|
|
, или |
2 |
|
8 |
. |
|
|
21 |
|
|
|
|
||
Таким образом, |
/20 3, откуда |
60 мин. |
|
3. |
|
||
|
Цилиндрический резервуар высотой 6 м и диаметром основания 4 |
||
м поставлен вертикально и наполнен водой. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через круглое отверстие радиусом 1/12 м, сделанное на дне резервуара?
|
Решение. |
Пусть через |
с после начала истечения воды уровень ос- |
|||||||||||
тавшейся в резервуаре воды равен |
м, а за время |
|
с он пони- |
|||||||||||
зился еще на |
|
м ( |
|
т. к. |
|
|
|
Подсчитаем объем |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
, двумя |
||||||
воды, вытекшей за этот |
бесконечно малый промежуток времени |
|||||||||||||
0, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
способами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С одной стороны, этот объем |
равен объему цилиндрического |
||||||||||||
слоя высотой |
| |
| |
и радиусом |
основания резервуара ( |
|
). Таким обра- |
||||||||
зом, |
|
|
, этот.объем |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
С другой|стороны| |
равен объему цилиндра, основани- |
||||||||||||
которого служит отверстие во дне резервуара, а высота равна |
где |
|||||||||||||
ем– скорость истечения. Если радиус отверстия равен ρ ρ |
1/12 м), то, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
πρ σ |
2 |
. |
|
|
|
|
Приравняв эти два выражения, приходим к уравнению
σρ 2 .
Разделив переменные и интегрируя обе части соотношения, получаем
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
√ . |
|||
|
|
σρ |
2 |
√ |
|
σρ |
2 |
||||
|
|
|
|||||||||
При |
0 имеем |
|
6 м. Отсюда находим |
|
|
|
|||||
.
Таким образом, связь между и определяется уравнением
√ ,
а полное время истечения найдем, полагая в этой формуле |
0: |
.
22
Используя данные задачи ( |
2 |
м, |
6 |
. м, σ 0,6, ρ |
|
м, |
||
|
||||||||
9,8 м/c |
), находим, что |
|
|
|||||
|
1062 c |
17,7 мин |
|
|
|
|||
4. Определить время, |
необходимое для установления одинакового |
|||||||
уровня жидкости в двух сообщающихся сосудах. Малое отверстие между
сосудами имеет площадь |
|
. Площади горизонтальных сечений первого |
|||||||
и второго сосудов |
составляют |
|
м2 |
и |
|
м2 в начальный момент уровень |
|||
|
м |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
жидкости в первом сосуде находился на высоте; |
1 м от отверстия, а во |
||||||||
втором – на высоте 2 м |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Решение: Пусть через t с после начала истечения жидкости ее уро- |
|||||||||
вень в первом сосуде понизился до |
м, а во втором повысился до м. За |
||||||||
дальнейший бесконечно малый промежуток времени dt с в первом сосуде уровень жидкости понизился на м 0 , а во втором повысился на
м0 .
Так как уменьшение объема жидкости в первом сосуде равно его увеличению во втором, то
Откуда |
| | |
| |
|, |
или |
. |
, |
|
|
|
|||
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
тогда скорость протекания жидкости через |
||||||||||
отверстие между сосудами выразится соотношением |
|
|
|
она оп- |
||||||||
|
|
|
||||||||||
ределяется формулой Бернулли, в которой следует считать, |
что отверстие на- |
|||||||||||
σ 2 |
; |
|
||||||||||
ходится на глубине |
|
|
под свободным уровнем жидкости. |
|||||||||
Поэтому объем жидкости, протекающей за время dt, равен, согласно |
||||||||||||
предыдущему суждению, |
|
|
; в то же время он равен |
|
|
|
|
|||||
|
|
ω |
|
σω |
2 |
. |
|
|
|
|
||
Приравняв эти выражения для одного и того же объема, приходим к уравнению
|
|
|
|
σω |
2 |
. |
|
|
Но |
|
|
|
, твыражение.е. |
в предыдущее. |
|
||
Подставив полученное для |
уравнение, |
|||||||
приходим к дифференциальному уравнению, связывающему u и t:
23
σω |
2 |
; |
|
|
√ |
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
Интегрируя, находим, что
С |
|
|
σω |
2 |
|
2√ |
|
. |
|||
|
|
|
|||||||||
При t = 0 имеем |
, откуда |
|
|
|
|
|
|||||
С |
2 |
σω |
2 |
. |
|
||||||
Искомое время T, необходимое для выравнивания уровней жидко- |
|||||||||||
стей в сосудах, найдем, полагая |
0: |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
σω |
2 |
. |
|
|
|||||
5. У какой кривой отрезок любой касательной, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, делит ось ординат пополам?
|
|
Решение. Уравнение касательной в любой точке |
; |
искомой кри- |
|||||||||||||
вой имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где |
, |
координаты любой точки на касательной, |
. |
|
|
||||||||||||
|
Полагая в этом уравнении |
|
0, |
|
найдем абсциссу |
|
точки пересе- |
||||||||||
чения касательной с осью |
|
|
|
|
⁄ .т. е. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
Согласно условию задачи: |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Решив это дифференциальное |
уравнение искомой кривой как урав- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0, |
|
2 |
⁄ |
|
0. |
|||||||
нение с разделяющимися переменными, получим |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
; 2 |
| | |
|
|
| | |
|
; |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Следовательно, искомая кривая |
|
|
парабола с вершиной в начале ко- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оси |
. |
|
|
|
|
||
ординат, симметричная относительно – |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Варианты расчетных задач
1. Скорость обесценивания оборудования вследствие его износа в каждый момент времени пропорциональна его фактической стоимости.
24
Начальная стоимость равна . Найти стоимость оборудования по истечении лет.
2.Некоторое вещество преобразуется в другое со скоростью, пропорциональной количеству непреобразованного вещества. Известно, что количество первого равно 31,4 г по истечении 1 ч и 9,7 г по истечении 3 ч. Определить: 1) сколько вещества было в начале процесса; 2) через какое время после начала процесса останется 1 % первоначального количества.
3.В коническую воронку отверстием площадью ω см2 и углом 2α
при вершине конуса налита вода до уровня см над отверстием. Найти зависимость между переменной высотой уровня воды в воронке и време-
нем истечения |
Определить полное время истечения воды. Вычислить его |
|
при ω 0,1 см2,. |
α 45°, |
20 см. |
4.Найти время, в течение которого вся вода вытечет из конической воронки, если известно, что половина воды вытекает за 2 минуты.
5.Тело, в начальный момент находившееся в жидкости, погружается
внее под действием собственного веса без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела. Найти закон дви-
тела, если его масса равна |
|
|
жения6. Кривая проходит через точку. |
|
и обладает тем свойством, |
что отрезок, отсекаемый на оси ординат |
любой касательной, равен утроен- |
|
1;5 |
|
|
ной абсциссе точки касания. Найти уравнение кривой, воспользуясь уравнением касательной.
7. Материальная точка массой движется по оси под действием восстанавливающей силы, направленной к началу координат и пропорциональной расстоянию от движущейся точки до начала координат; среда, в которой происходит движение, оказывает движению точки сопротивление, пропорциональное скорости движения. Найти закон движения.
8. Свободно висящая на крюке однородная цепь соскальзывает с него под действием силы тяжести (трением можно пренебречь). Определить, за какое время соскользнет с крюка вся цепь, если в начальный момент цепь находилась в покое, а длина цепи с одной стороны крюка была 10 м,
с другой 8 м. |
|
|
9. Определить закон движения материальной точки массой |
пере- |
|
мещающейся по прямой под влиянием восстанавливающей силы, направ, |
- |
|
ленной к началу отсчета перемещения и по величине прямо пропорциональной расстоянию от точки до начала отсчета, если сопротивление среды отсутствует, а на точку действует внешняя сила sinω .
10. За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие радиусом 0,1 м, вырезанное во дне чаши?
11. Напряжение и активное сопротивление цепи равномерно меняются в течение минуты от нуля до 120 В и от нуля до 120 Ом. Индук-
25
тивность цепи постоянная (1 Г). Начальная сила тока равна |
. |
Найти зави- |
||||||
симость силы тока от времени в течение первой минуты. |
|
|
|
|||||
12. |
Найти силу тока в катушке в момент |
если активное сопротив- |
||||||
ление ее |
коэффициент самоиндукции |
, начальная, |
сила тока |
0, |
||||
напряжение,цепи изменяется по закону |
|
|
|
|
|
|
||
13. |
Поезд, вес которого вместе с |
паровозом равен P, движется по |
||||||
|
sinω . |
|
|
|
|
|||
прямолинейному пути (горизонтально). |
|
Сила |
тяги паровоза постоянна |
|||||
и равна F, сила сопротивления при движении есть заданная линейная функция от скорости поезда. Определить закон движения поезда, если
вначальный момент скорость и путь равны нулю.
14.Локомотив движется по горизонтальному участку пути со скоростью 72 км/ч. Сколько времени будет затрачено на торможение и какова длина тормозного пути, если сопротивление движению после начала торможения равно 0,2 от его веса?
15.Тяжелое тело скользит по шероховатой наклонной плоскости,
причем угол наклона равен α, а коэффициент трения |
. Найти закон дви- |
|||
жения, если )начальная. |
скорость равна нулю ( |
cosα,tgα |
, |
|
16.sinα |
|
притягивается каждым из двух |
||
Материальная точка массой |
||||
центров с силой, пропорциональной расстоянию между этими центрами.
Множитель пропорциональности . Расстояние между центрами |
2 . |
В начальный момент точка находится на линии центров на расстоянии |
от |
еесередины. Начальная скорость равна нулю. Найти закон движения.
17.С какой начальной скоростью надо запустить тело вертикально
вверх, чтобы оно не вернулось на Землю? Масса тела равна |
. |
Считаем из- |
|
вестными массу Земли и ее радиус |
|
|
|
18. Закон распада радия состоит в. |
том, что скорость распада пропор- |
||
циональна наличному количеству радия. Половина некоторого запаса распадается в течение 1600 лет. Найти, какой процент этого запаса распадется через 100 лет.
19. Машина приводится постоянной силой в прямолинейное движение, которое замедляется силами трения в опорах. Эти силы пропорциональны скорости. Вследствие нагревания смазочного масла в опорах коэффициент пропорциональности меняется со временем и обратен по величине 1 . Найти уравнение движения машины, связывающее скорость со временем .
20.Сила, растягивающая пружину, пропорциональна удлинению и равна 1 кг, когда длина пружины увеличивается на 1 см. К пружине подвешен груз массой 2 кг. Найти период колебательного движения, которое получит груз, если его слегка оттянуть книзу и затем отпустить.
21.Допустим, что в вертикальном воздушном столбе давление на каждом уровне обусловлено давлением вышележащих слоев. Найти зави-
26
симость давления от высоты, если известно, что на уровне моря это давление равно 1 кг/см2, а на высоте 500 м оно равно 0,92 кг/см2.
22.Пуля входит в доску толщиной 10 см со скоростью 200 м/с, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью 50 м/с. Найти, сколько времени продолжалось движение пули через доску, если сопротивление доски движению пули пропорционально квадрату скорости.
23.Вес летчика 82 кг. Сопротивление воздуха при спуске парашюта
пропорционально квадрату |
|
410). Вычислить |
предельную скорость спускаскорости. |
его движения ( |
24.Найти кривую, у которой все нормали проходят через точку (2; –3).
25.По закону Ньютона скорость изменения температуры (охлаждение) какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха. Если температура воздуха равна 10 °С и тело в течение 20 мин охлаждалосьсо120 °Сдо60 °С, тозакакоевремяеготемпературапонизитсядо30 °С?
26. Моторная лодка, масса которой |
, движется по воде. Когда ско- |
|||
рость была |
|
, выключили мотор. Сопротивление воды задано формулой |
||
α |
β |
, |
где α и β – постоянные. |
Вычислить расстояние, которое |
|
|
|||
пройдет лодка |
с момента выключения мотора. |
|||
27.Два вертикальных резервуара, диаметр и высота каждого из которых – 4 м, поставлены рядом и соединены у дна короткой трубкой диаметром 1/6 м. Если вначале один резервуар наполнен водой, а другой пуст, то через сколько времени уровень воды в обоих резервуарах будет одинаков?
28.Замедленное действие трения на диск, вращающийся в жидкости,
пропорционально угловой скорости ω. Диск, начал вращаться со скоро-
стью |
|
об/с. Найти зависимость угловой скорости от вращения. Опре- |
||
делить, |
через сколько времени будет равно 1 об/с. |
|||
5 |
|
|
и обладает тем свойством, |
|
29. Кривая проходит через точку |
|
|||
что отрезок, отсекаемый на оси абсцисс |
касательной, проведенной в любой |
|||
2;4 |
|
|||
точке кривой, равен кубу абсциссы точек касания. Найти уравнение кривой, воспользуясь уравнением касательной.
30. Определить путь , пройденный телом за время , если его скорость пропорциональна пути и если тело проходит 100 м за 10, а 200 м за 15 с.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Были рассмотрены методы решения наиболее популярных классов обыкновенных дифференциальных уравнений. С методами интегрирования уравнений Бернулли, дифференциальных уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и других уравнений и систем можно ознакомиться, например, в [2–4].
27
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1977.
2.Бермант, А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. – М. : Наука, 1973.
3.Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб.
пособие для вузов: в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова.
М. : ОНИКС, 2009.
4.Пискунов, Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление:
в2 ч. Т. 2 / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1985.
5.Расчетное задание № 6 «Обыкновенные дифференциальные уравнения»: метод. указания / сост. В. С. Ленев, Т. А. Маканина, В. В. Очан,
И. Ю. Чернявская. М. : МИСИ, 1979. |
|
|
6. |
Толстов, Г. П. Элементы математического анализа: в 2 ч. / |
|
Г. П. Толстов. – М. : Наука, 1974. |
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
Введение................................................................................................. |
3 |
|
1. |
Основные понятия............................................................................. |
3 |
2. |
Дифференциальные уравнения с разделяющимися |
перемен- |
|
ными................................................................................................... |
4 |
3. |
Линейные уравнения первого порядка........................................... |
7 |
4. |
Линейные однородные дифференциальные уравнения с посто- |
|
|
янными коэффициентами ................................................................ |
11 |
5. |
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с по- |
|
|
стоянными коэффициентами........................................................... |
13 |
6. |
Примеры на составление обыкновенных дифференциальных |
|
|
уравнений (физические и геометрические задачи) ....................... |
19 |
Заключение............................................................................................ |
27 |
|
Библиографический список................................................................. |
28 |
|
28
Учебное издание
Лев Сергеевич Маергойз Наталья Николаевна Рыбакова
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
Редактор В. Р. Наумова Компьютерная верстка: Д. Р. Мифтахутдинова
Подписано в печать 14.06.2011. Печать плоская. Формат 60×84/16 Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,6. Тираж 50 экз. Заказ № 2794
Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79
Отпечатано полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а