книги / 47
.pdf
ОконечномэлементенаосновевариационногопринципаКастильяно дляплоскихзадач
угловых точках элемента возникает противоречие, так как в них нельзя
обеспечить выполнение равенства ∂2ϕ = ∂2ϕ при произвольных зна-
∂x∂y ∂x∂y
чениях узловых неизвестных элемента [8].
σxx (0,0), Па
(0,1) |
(1,1) |
l |
k |
i |
j |
(0,0) |
(1,0) |
τxy (0,0), Па |
Рис. 2. Прямоугольный конечный элемент в локальной системе координат
Для преодоления этого затруднения примем смешанную производную в качестве одного из узловых параметров:
T |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
2 |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
{δi } |
= ϕi , |
|
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
i |
dy |
|
i |
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Используя локальную систему координат, функцию напряжения |
|||||||||||||||||||||||||||||
Эри в элементе можно аппроксимировать выражением [8] |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ϕ(ζ, |
η)= |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
∂ϕi + N |
|
∂ϕi + N |
|
∂2ϕi |
|
= |
{ |
N e (ζ,η) T δe |
} |
, (6) |
||||||||||
N |
|
|
ϕ + N |
2i |
3i |
4i |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∑ 1i |
|
|
i |
|
|
∂x |
|
|
|
∂y |
|
|
|
} { |
|
||||||||||
|
{ |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|||||||
где |
|
|
} |
|
– столбец функций форм элемента; |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
N e (ζ, η) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
{δe }={δi , δj , δk , δl } – столбец узловых неизвестных элемента; |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1i = N0i (ζ)N0i (η), |
|
|
|
2i = N0i (ζ)N1i (η); |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
3i = N1i (ζ)N0i (η), |
|
|
|
4i = N1i (ζ)N1i (η). |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Функции формыNij |
в уравнениях (6) определяются как |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
N01 (ζ)= N04 (ζ)=1−3ζ2 +2ζ3 , |
N01 (η)= N04 (η)=1−3η2 +2η3 , |
N11 (ζ)= N14 (ζ)= a (ζ − 2ζ2 + ζ3 ), N11 (η)= N12 (η)= b (η− 2η2 +η3 ), |
|
N02 (ζ)= N03 (ζ)= 3ζ2 −2ζ3 , |
N04 (η)= N03 (η)= 3η2 −2η3 , |
171
Ю.С. Суходолова, Н.А. Труфанов
N12 (ζ)= N13 (ζ)= −a (ζ2 −ζ3 ), N14 (η)= N13 (η)= −b (η2 −η3 ).
Аппроксимирующая функция является неполным полиномом шестого порядка по ζ и η (опущены слагаемые, содержащие степени выше третьих по любой переменной). При таком способе аппроксимации функция Эри и ее первые производные непрерывны вдоль сторон соседних элементов.
Используя связь функции напряжения Эри (4), введем следующее обозначение:
|
|
|
∂ |
2 |
|
|
T |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
{N e} |
|
|
|
4 |
|
|
|
∂ |
{N e} |
|
|
|
||||||||||
|
|
∂y |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
∂η |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∂ |
2 |
|
|
T |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||
Le |
= |
|
|
{N e} |
|
|
= |
|
|
|
∂ |
{N e} |
|
|
, |
||||||||||||
∂x |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
∂ζ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
2 |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
− |
|
|
|
{N e} |
|
− |
|
4 ∂ |
|
{ |
N e |
T |
|
||||||||||||
|
|
∂y∂x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
ab ∂ζ∂η |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Le – матрица градиентов конечного элемента для функции на-
пряжений в случае плоской задачи. Таким образом, функционал (5) для конечного элемента примет вид
Псe = 1 ∫∫1 1 {δe}T Le T D−1 Le {δe}dζdη = 0 ,
2 0 0
где D−1 – матрица констант упругой податливости:
|
−1 |
|
|
|
1 |
−v |
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
D = |
|
|
−v (1+v) |
||||
|
|
||||||
|
|
|
E |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ного состояния; |
|||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
−v |
|
|
−1 |
|
|
|
|
||
|
E −v |
1 |
|||||
D |
= |
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
−v (1+v) |
0 |
|
1−v2 |
0 |
в случае плоско-деформирован- |
0 |
|
|
1+v |
||
0 0 в случае плоско-напряженного состояния. 1+v
Согласно вариационному принципу Кастильяно требование ста-
ционарности функционала дополнительной энергии |
∂Пс |
= 0, где |
∂ δ |
||
|
{ } |
|
172 |
|
|
ОконечномэлементенаосновевариационногопринципаКастильяно дляплоскихзадач
Пс = ∑Псe , приведет нас к системе линейных алгебраических уравне-
e
ний [C]{δ} ={W} , где {δ} – глобальный столбец узловых неизвестных.
Основные трудности, возникающие при реализации данного варианта метода конечных элементов, заключаются в задании граничных условий в напряжениях. Граничные условия в перемещениях для данной вариационной формулировки являются естественными, и их учет труда не составляет. Выполнение главных статических граничных условий (3) может представлять собой достаточно сложную процедуру. Рассмотрим учет граничных условий на примере одной стороны элемента с узлами i и j , параллельной оси Oy . В любой точке на этой
стороне σxx = |
∂2ϕ |
. Дважды интегрируя это выражение и определяя |
∂y2 |
константы интегрирования через ϕ и ϕy в узловых точках, получим
yj
−ϕyi +ϕyj = ∫σxxdy,
yi
yj y
−ϕi +ϕj −ϕyib =∫∫σxx .
yi yi
Для учета таких линейных ограничений на узловые неизвестные была реализована попытка применения метода штрафных функций: введены штрафы к функционалу дополнительной энергии упругого тела за невыполнение заданных на границе условий в напряжениях. Исследованы возможные варианты выбора штрафных коэффициентов, при варьировании которых можно отслеживать выполнение статических граничных условий на каждой грани. В качестве второго способа было опробовано решение методом наименьших квадратов переопределенной системы, включающей исходную СЛАУ, дополненную записанными граничными условиями на узловые неизвестные. Применение обоих способов дает неудовлетворительное качество численного решения.
Качественное решение обеспечивается в случае задания в граничных узловых точках элементов значений как самой функции напряжений Эри, так и ее первых производных с помощью модификации глобальной матрицы податливости. Для этого необходимо проинтег-
173
Ю.С. Суходолова, Н.А. Труфанов
рировать по внешним границам элементов заданные условия в напря-
y |
y |
жениях (вычислить интегралы вида: f (y)= ∫σxxdy , |
g (y)=∫f (y)dy.). |
0 |
0 |
Для сравнительного анализа результатов поставленная задача решена тремя способами:
1)МКЭ, основанным на вариационном принципе Кастильяно;
2)МКЭ, основанным на вариационном принципе Лагранжа (четырехугольный билинейный элемент);
3)путем прямой минимизации функционала дополнительной энергии упругого тела методом Ритца [9].
Для получения приближенного аналитического решения методом Ритца была выбрана аппроксимация решения на основе базисной функции вида
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
ϕ = |
1 Sy2 |
1 |
− |
1 |
y |
|
+(x2 |
−a2 ) |
|
(y2 |
−b2 ) |
|
(α1 |
+α2 x2 |
+α3 y2 ), |
2 |
|
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
6 b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где α1, α2 , α3 – неизвестные постоянные, S = 20 .
Подставляя все в функционал (5) и дифференцируя по неизвестным постоянным коэффициентам, придем к линейным уравнениям относительно α1, α2 , α3 , получим следующее их значение:
α1 = 0,07983 a4Sb2 , α2 = 0,1250 a6Sb2 , α3 = 0,01826 a6Sb2 .
Приближенное решение задачи представлено на рис. 3. На рис. 4 представлены результаты, полученные методом конечных элементов в напряжениях на сетке 10×10 узлов. Для сравнительного анализа метода конечных элементов в формулировках Лагранжа и Кастильяно представлено изменение напряжений в конкретных точках пластины в зависимости от числа узловых неизвестных в конечно-элементных сетках (рис. 5). МКЭ в формулировке Кастильяно при определении напряжений имеет значительно более высокую скорость сходимости.
Известно, что в случае плоско-деформированного состояния реализация метода конечных элементов в перемещениях испытывает значительные затруднения для слабосжимаемых изотропных материалов, а для несжимаемых материалов в традиционной формулировке решение невозможно.
174
ОконечномэлементенаосновевариационногопринципаКастильяно дляплоскихзадач
а б в
Рис. 3. Приближенное аналитическое решение задачи. Изолинии равных значений напряжений: а – σxx , Па , б – σyy , Па , в – τxy , Па
а б в
Рис. 4. Решение методом конечных элементов в напряжениях. Изолинии равных зна- |
||
|
чений напряжений: а – σxx , Па , б – σyy , Па , в – τxy , Па |
|
σyy (0,0), Па |
σxx (0,0), Па |
τxy (0,0), Па |
а |
N |
б |
N |
в |
N |
Рис. 5. Изменение напряжений с увеличением числа степеней свободы в конечноэлементном аналоге: 1 – решение на основе вариационного принципа Кастильяно,
2– решение на основе вариационного принципа Лагранжа; а – σxx (0,0), Па ,
б– σyy (a,0), Па , в – τxy (0,0), Па
Для формулировки в напряжениях эти ограничения отсутствуют. Рассмотрим результаты применения МКЭ в напряжениях к решению задачи о поперечном сжатии переменной распределенной нагрузкой изотропного бруса с коэффициентом Пуассона, равным 0,5: левая грань бруса закреплена жестко, на правой грани приложена параболи-
175
Ю.С. Суходолова, Н.А. Труфанов
ческая сжимающая нагрузка, верхняя и нижняя грани свободны от нагрузок. На рис.6 представлены графики сходимости решения по нормальным напряжениям: изображены напряжения в центральной точке пластины в зависимости от числа узловых неизвестных. Решение практически сходится при 1600 степеней свободы, что соответствует ко- нечно-элементной сетке 20×20 узлов.
σxx (0,0), Па |
σyy (0, 0), Па |
а N б N
Рис. 6. Изменение напряжений с увеличением числа степеней свободы. Решение методом конечных элементов в напряжениях: а – σxx (0,0), Па , б – σyy (0,0), Па
Таким образом, применение метода конечных элементов на основе вариационного принципа Кастильяно позволяет получать хорошие численные результаты по определению полей напряжений на сетках достаточно низкой размерности, в том числе для несжимаемых материалов. Такие формулировки имеют определенные сложности при построении криволинейных элементов. Преодоление данных затруднений возможно в рамках реализации общей процедуры метода геометрического погружения на основе вариационного принципа Кастильяно [4, 5].
Библиографический список
1.Зенкевич О.К. Метод конечных элементов в технике. – М.:
Мир, 1976. – 541 с.
2.Сегерлинд Л. Дж. Применение метода конечных элементов. –
М.: Мир, 1979. – 392 с.
3.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. – М.: Мир, 1984. – 428 с.
176
ОконечномэлементенаосновевариационногопринципаКастильяно дляплоскихзадач
4.Шардаков И.Н., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Метод геометрического погружения в теории упругости; УрО РАН. – Екатерин-
бург, 1999. – 298 с.
5.Каменских А.А., Труфанов Н.А., Матвеенко В.П. Численная реализация метода геометрического погружения на основе вариационного принципа Кастильяно // Вестник ПГТУ. Механика. – Пермь: Изд-
во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – № 3. – С. 5–18.
6.Демидов С.П. Теория упругости: учебник для вузов. – М.:
Высш. школа, 1979. – 432 с.
7.Победря Б.Е. Численные методы в механике деформируемого твердого тела. – М: Изд-во МГУ, 1995. – 368 с.
8.Д. Норри, Ж. де Фриз Введение в метод конечных элементов. –
М.: Мир, 1981. – С. 205–207.
9.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. – М.: Наука, 1979. – С. 269–272.
References
1.Zenkevich O. The finite element method in engineering science [Metod konechnykh elementov v tekhnike]: Transl. from eng. Moscow: Mir, 1976, 541 p.
2.Segerlind L.Dzh. Applied finite element analysis [Primenenie metoda konechnykh elementov]. Moscow: Mir, 1979, 392 p.
3.Gallager R. Finite element analysis fundamentals [Metod konechnykh elementov. Osnovy]. Moscow: Mir, 1984, 428 p.
4.Shardakov I.N., Trufanov N.A., Matveenko V.P. Method of geometrical immersion in the theory of elasticity [Metod geometricheskogo pogruzheniya v teorii uprugosti]. Ekaterinburg: UrO RAN, 1999, 298 p.
5.Kamenskikh A.A., Trufanov N.A., Matveenko V.P. Numerical realization of the geometrical immersion based on Castigliano variational principle [Chislennaya realizatsiya metoda geometricheskogo pogruzheniya na osnove variatsionnogo printsipa Kastilyano]. PSTU Mechanics Bulletin – Vestnik PGTU. Mekhanika, Perm, 2010, No. 3, pp. 5–18.
6.Demidov S.P. Theory of elasticity [Teoriya uprugosti]. Moscow: Vyssh. shkola, 1979, 432 c.
7.Pobedrya B.E. Numerical Methods in the Theory of Elasticity and Plasticity [Chislennye metody v teorii uprugosti i plastichnosti]. Moscow: MGU Publ., 1995, 368 p.
177
Ю.С. Суходолова, Н.А. Труфанов
8.Norri D., Zh. de Friz An Introduction to Finite Element Analysis [Vvedenie v metod konechnykh elementov]. Moscow: Mir, 1981, pp. 205–207.
9.Timoshenko S.P., Guder Dzh. Theory of Elasticity [Teoriya uprugosti]: Transl. from eng. Under. ed. Shapiro G.S. Moscow: Nauka, 1979, pp. 269–272.
Об авторах
Суходолова Юлия Сергеевна (Пермь, Россия) – студентка ка-
федры вычислительной математики и механики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990,
г. Пермь, Комсомольский пр., 29, е-mail: Suhodolchik@mail.ru).
Труфанов Николай Александрович (Пермь, Россия) – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики и механики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Ком-
сомольский пр., 29, е-mail: vmm@cpl.pstu.ac.ru).
About the authors
Sukhodolova Yuliya Sergeevna (Perm, Russian Federation) – Student of Department of Computational Mathematics and Mechanics, State National Research Polytechnic University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russian Federation, е-mail: Suhodolchik@mail.ru).
Trufanov Nikolay Aleksandrovich (Perm, Russian Federation) – Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of Computational Mathematics and Mechanics, State National Research Polytechnic University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russian Federation, e-mail: vmm@cpl.pstu.ac.ru).
Получено 10.02.2012
178
В Е С Т Н И К П Н И П У
Экспериментальноеопределениедиссипативныхсвойствэлектровязкоупругих систем |
||
2012 |
Механика |
№1 |
УДК 531/534:53
М.А. Юрлов
Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь, Россия
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИССИПАТИВНЫХ СВОЙСТВ ЭЛЕКТРОВЯЗКОУПРУГИХ СИСТЕМ С ВНЕШНИМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ ЦЕПЯМИ
Прикрепленные к поверхности конструкции пьезоэлементы с шунтирующими цепями образуют рассеивающее энергию устройство для повышения диссипативных свойств механической системы. Благодаря пьезоэлектрическому эффекту часть механической энергии колебаний преобразуется в электрическую энергию, которая может быть рассеяна. Данная работа посвящена экспериментальному исследованию эффективности гашения колебаний конструкций с пьезоэлементами, зашунтированными внешними пассивными электрическими цепями. Исследованы резистивные и резистивно-индукционные цепи. Рассматривается консольная стальная балка с прикрепленными к ее поверхности пьезоэлементами, подверженная внешнему гармоническому воздействию. Сопротивление и индуктивность шунтирующей электрической цепи варьируются до достижения максимального гашения колебаний первой и/или второй моды колебаний. Доказано, что представленная методика позволяет значительно снизить вибрации при наличии в цепи индуктивности по сравнению с чисто резистивной цепью. Желание избежать требуемых при этом больших катушек индуктивности привело к использованию синтетических индуктивностей – гираторов (собранных из операционных усилителей).
Ключевые слова: внешние электрические цепи, шунтирование пьезоэлектриков, резонансные шунтирующие цепи, собственные колебания
М.А. Yurlov
Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Perm, Russian Federation
EXPERIMENTAL DETERMINATION OF DISSIPATIVE PROPERTIES OF ELECTRO VISCOELASTIC SYSTEMS WITH EXTERNAL ELECTRIC CIRCUITS
Piezoelectric elements connected to shunt circuits and bonded to a mechanical structure form a dissipation device that can be designed to add damping to the mechanical system. Due to the piezoelectric effect, part of the vibration energy is transformed into electrical energy that can be conveniently dissipated. This paper aims to experimentally validate the effectiveness of structural vibration suppression by piezoelectric with passive shunt circuits. Two different electric circuits are examined a purely resistive circuit and an inductive–resistive one. A harmonic force is applied to a simple steel cantilevered beam, by varying the inductance and resistance values, the electric circuits are optimized in order to reduce forced vibrations close to the first and the second resonance frequencies. It is proved that the presented technique allows for a substantial reduction of vibration with the inductances in circuit when
179
М.А. Юрлов
compared with purely resistive circuit. Also it is important to know that large inductances are frequently required, leading to the necessity of using synthetic inductors – gyrators (obtained from operational amplifiers).
Keywords: external electric circuits, shunted piezoelectric, resonant shunt circuits, natural vi-
bration.
Введение
Шунтирование пьезоэлементов конструкций внешними электрическими цепями для демпфирования колебаний – очень популярная методика в тех технических приложениях, где требования к малым размерам и весу играют решающую роль и где практически нет доступа к источнику электроэнергии. Шунтирование позволяет достаточно просто и дешево управлять колебаниями конструкций, эффективно подавляя нежелательные колебания без использования дополнительных сенсоров [1].
В литературе описано применение методики шунтирования к демпфированию колебаний космических конструкций, лопастей вертолета, подавлению нелинейного ультразвукового панельного флаттера, для контроля формы и демпфирования колебаний телескопов, подавления вибрации лопаток турбомашин, снижения уровня шума
вмашинах, подавления эха от подводной лодки, снижения вибрации дисководов в компьютерах и т.д.
По сравнению с традиционными способами демпфирования механических колебаний у такого способа есть ряд преимуществ. К ним можно отнести простую реализацию внешних электрических цепей, так как для них требуется только несколько стандартных электронных компонентов; в некоторых ситуациях не требуется никакой дополнительной электроники или источников питания; в ряде случаев не требуются датчики обратной связи. Кроме того, данный подход к демпфированию колебаний конструкций выигрывает в стабильности, надежности,
вотсутствии необходимости сложных цифровых процессоров, разработки параметрических моделей при проектировании системы демпфирования колебаний конструкции [1].
Ключевой проблемой демпфирования колебаний с помощью шунтирующих внешних электрических цепей является нахождение самой простой шунтирующей цепи, с помощью которой наиболее эффективно осуществляется демпфирование колебаний конкретной конструкции.
180