книги / 47
.pdf
Численный анализ деформационных процессов в оптоволоконном датчике
4. Численный анализ результатов
Рассмотрим изменение деформации εz вдоль различных прямых, параллельных
оси z. Проекции этих прямых на плоскость xoy представлены на рис. 4, данные графики – на рис. 5. Заметим, что краевые эффекты, обусловленные численным решением, действуют на расстоянии 0,3 см от торца модели. При этом с удалением от края балки вид графика εz (z) сглаживается
и стремится к полиномиальной функции.
Рис. 4. Проекции прямых, параллельных оси z, на плоскость xoy
Рис. 5. Распределение деформации εz вдоль прямых, параллельных оси z: 
При температурных деформациях возникает необходимость учесть температурную деформацию. Для этого рассмотрим случай F =0 . В этом случае деформации датчика равны температурным деформациям балки, следовательно, для учета температурных деформаций следует дополнительно снять показания датчика с нагретой и не нагруженной силой балки:
εez =εFz +∆T −ε∆z T ,
где εez – расчетная упругая деформация; εFz +∆T – деформация в датчике от совместного действия нагрузки и температурного поля; ε∆z T – деформация в датчике от действия температурного поля.
111
И.Г. Наймушин, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков
5. Эволюция деформаций в датчике
Рассмотрим деформацию εz в точке, соответствующей геометрической середине оптоволокна длиной L =1,5 см, в зависимости от времени при нагрузке F =100 Н и без воздействия температурного поля. Отметим, что при использовании мягкой оболочки деформация падает на порядок за короткое время (рис. 6). Исключим мягкую оболочку из модели. В данном случае падение деформации незначительно (рис. 7), что позволяет с некоторой точностью использовать данное оптоволокно. В академических целях использование такого оптоволокна приемлемо, поскольку время измерения находится в пределах 1 ч, т.е. 3600 с. За данный промежуток времени падение деформации составляет 0,31 %. Основное назначение защитной оболочки в том, чтобы предотвратить повреждения (царапины и сколы) оптоволокна при эксплуатации и транспортировке. Условия эксплуатации датчика позволяют исключить защитную оболочку. В данном случае падение деформации составляет сотые доли процента за время, равное 4 ч.
Рис. 6. Эволюция деформации εz в геометрической середине датчика
Рис.7. Эволюция деформации εz в геометрической середине датчика при отсутствии мягкой оболочки
112
Численный анализ деформационных процессов в оптоволоконном датчике
Учитывая действие температурного поля, получим поведение деформации, аналогичное поведению деформации без учета температурного поля. Естественно, что при увеличении температуры темпы падения деформации увеличиваются. После проведения серии численных экспериментов получен ряд зависимостей деформации от времени для различных случаев. Отметим, что при росте температуры скорость падения деформации нелинейно возрастает: так, при ∆T =10o С величина падения составляет 0,5 %, при ∆T =20 °С – 1 %, а при ∆T =30 °С – 7 % за одинаковый промежуток времени. Это связанно с нелинейностью функции температурно-временного сдвига.
Большое практическое значение имеет распределение деформаций в оптоволокне после полной релаксации эпоксидного клея и оболочки датчика. Получим это распределение путем расчета модели с модулями упругости, равными длительным значениям функции релаксации. Деформация εz в датчике достигает значения, равного де-
формации в балке, при этом длина переходной зоны увеличивается до 4 см (рис. 8). Можно сделать вывод, что релаксационные процессы в данной системе соответствуют увеличению переходной зоны, в которой происходит рост деформации. Соответственно, чтобы достичь максимальной точности измерения, необходимо выбирать связующее вещество так, чтобы его жесткость на бесконечности была максимальной.
Рис. 8. Распределение деформации εz вдоль прямой С-С’:
113
И.Г. Наймушин, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков
Заключение
По результатам серии численных экспериментов определено распределение деформации по длине оптоволоконного датчика, благодаря этому установлена минимально допустимая длина датчика. Получены зависимости для различных случаев нагружения и модели датчика, определена эволюция деформаций в датчике. Выявлено, что использование оболочки DeSolite 3471-1-152А недопустимо вследствие падения деформации более чем на порядок за малый промежуток времени.
Библиографический список
1.Удд Э. Волоконно-оптические датчики. Вводный курс для инженеров и научных работников. – М.: Техносфера, 2008. – 520 с.
2.Строительный мониторинг на базе волоконно-оптических датчиков. Опыт и результаты применения для высотных зданий / А.П. Неугодников [и др.] // Проблемы современного бетона и железобетона: докл. междунар. симп. – Минск, 2009.
3.Егоров Ф.А., Неугодников А.П., Быковский В.А. Экспериментальное исследование волоконно-оптических датчиков для контроля деформаций железобетонных конструкций // Проблемы современного бетона и железобетона: сб. докл. междунар. симп. – Минск, 2009.
4.Максимов, Р.Д., Кочетков В.А. Прогнозирование термического деформирования гибридных композитов с вязкоупругими компонентами // Механика композитных материалов. – 1989. – № 6. – С. 969–979.
5.Малый В.И., Труфанов Н.А. Метод квазиконстантных операторов в теории вязкоупругости анизотропных нестареющих материалов // Известия АН СССР. Механика твердого тела. – 1987. – № 6. – С. 148–154.
6.Куликов Р.Г., Труфанов Н.А. Итерационный метод решения квазистатических нелинейных задач вязкоупругости // Вычислительная механика сплошных сред. – 2009. – Т. 2, № 3. – С. 44–56.
7.Методы прикладной вязкоупругости / А.А. Адамов [и др.]; УрО РАН. – Екатеринбург, 2003. – 411 с.
8.Taylor R.L., Pister K.S., Goudreas G.L. Thermochemical analysis of viscoelastic solids, international journal for numerical methods in engineerin. – 1970. – Vol. 2. – P. 45–59.
114
Численный анализ деформационных процессов в оптоволоконном датчике
References
1.Udd E. Fiber Optic Sensors. An introductory course for engineers and scientists [Volokonno-opticheskie datchiki. Vvodnyy kurs dlya inzhenerov i nauchnykh rabotnikov]. Moscow: Tekhnosfera, 2008, 520 p.
2.Neugodnikov A.P., Akhlebinin M.Yu., Egorov F.A., Bykovskiy V.A. Construction monitoring based on fiber-optic srnsors Experience and results of the application for high-rise buildings [Stroitelnyy monitoring na baze volokonno-opticheskikh datchikov. Opyt i rezul'taty primeneniya dlya vysotnykh zdaniy]. Problemj sovremennogo betona i zhelezobetona: dokl Mezhd. Simp. (Modern Problems of Concrete and Reinforced Concrete: Abstracts. Internat. Symp.). Minsk, 2009.
3.Egorov F.A., Neugodnikov A.P., Bykovskiy V.A. Eksperiment alnoestudy of fiber-optic sensors for monitoring strain of reinforced concrete structures [Eksperimentalnoe issledovanie volokonno-opticheskikh datchikov dlya kontrolya deformatsiy zhelezobetonnykh konstruktsiy] Problemj sovremennogo betona i zhelezobetona: dokl Mezhd. Simp. (Modern Problems of Concrete and Reinforced Concrete: Abstracts. Internat. Symp.). Minsk, 2009.
4.Maksimov R.D., Kochetkov V.A. Prediction of the thermal deformation of hybrid composites with viscoelastic components [Prognozirovanie termicheskogo deformirovaniya gibridnykh kompozitov s vyazkouprugimi komponentami]. Mechanics of Composite Materials – Mekhanika kompozitnykh materialov, 1989, No. 6, pp. 969–979.
5.Malyy V.I., Trufanov N.A. Method quasiconstant operators in the theory of anisotropic viscoelasticity ageless materials [Metod kvazikonstantnykh operatorov v teorii vyazkouprugosti anizotropnykh nestareyushchikh materialov] Mechanics of Solids – Izvestiya AN SSSR. Mekhanika tverdogo tela, 1987, No. 6, pp. 148–154.
6.Kulikov R.G., Trufanov N.A. Iterative method for solving quasistatic nonlinear viscoelastic problems [Iteratsionnyy metod resheniya kvazistaticheskikh nelineynykh zadach vyazkouprugosti]. Vychislitelnaya mekhanika sploshnykh sred – Computational continuum mechanics, 2009, Vol. 2, No. 3, pp. 44–56.
7.Adamov A.A., Matveenko V.P., Trufanov N.A., Shardakov I.N. Methods of Applied Viscoelasticity [Metody prikladnoy vyazkouprugosti]. Ekaterinburg: UrO RAN, 2003, 411 p.
115
И.Г. Наймушин, Н.А. Труфанов, И.Н. Шардаков
8. Taylor R.L., Pister K.S., Goudreau G.L. Thermomechanical analysis of viscoelastic solids. International journal for numerical methods in engineerin, 1970, Vol. 2, No. 1, pp. 45–59.
Об авторах
Наймушин Илья Геннадиевич (Пермь, Россия) – студент ка-
федры вычислительной математики и механики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990,
г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: vmm@cpl.pstu.ac.ru).
Труфанов Николай Александрович (Пермь, Россия) – доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой вычислительной математики и механики Пермского национального исследовательского политехнического университета (614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, e-mail: vmm@cpl.pstu.ac.ru).
Шардаков Игорь Николаевич (Пермь, Россия) – доктор физи-
ко-математических наук, профессор, заведующий лабораторией Института механики сплошных сред УрО РАН (614013, Пермь, ул. Акад.
Королева, д. 1, е-mail: shardakov@icmm.ru).
About the authors
Naymusin Ilya Gennadievich (Perm, Russian Federation) Student of Department of Computational Mathematics and Mechanics, State National Research Polytechnic University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russian Federation, e-mail: vmm@cpl.pstu.ac.ru).
Trufanov Nikolay Aleksandrovich (Perm, Russian Federation) Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department of Computational Mathematics and Mechanics, State National Research Polytechnic University of Perm (614990, 29, Komsomolsky prospect, Perm, Russian Federation, e-mail: vmm@cpl.pstu.ac.ru.).
Shardakov Igor Nikolaevich (Perm, Russian Federation) Doctor of Physics and Mathematics, laboratory chief of Modeling of thermomechanical processes in deformable bodies, Institute of Continuous Media Mechanics (614013, Perm, Acad. Koroleva st., 1, Perm, Russian Federation, e-mail: shardakov@icmm.ru).
Получено 10.02.2012
116
ВЕСТНИК ПНИПУ
2012Механизм осевого подъема жидкостиМеханикав результате свободного падения цилиндра№1
УДК 532.522.2 + 532.59 + 532.6
В.И. Пинаков
Конструкторско-технологический филиал Института гидродинамики им. М.А Лаврентьева, Новосибирск, Россия
О МЕХАНИЗМЕ ОСЕВОГО ПОДЪЕМА ЖИДКОСТИ В РЕЗУЛЬТАТЕ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО СОСУДА
Физически обоснована и реализована расчетная схема, позволяющая оценить высоту подъема жидкости при соударении с горизонтальной поверхностью свободно падающего цилиндрического сосуда. Применены упругие модели жидкости и материала сосуда. Показано, что в жидкости генерируются волны сжатия: плоская и цилиндрическая, сходящаяся к оси цилиндра. Их отражение от свободной поверхности, конфигурация которой не установилась, при наличии острого угла смачивания жидкостью стенки может приводить к всплескам жидкости, на порядок превышающим высоту падения сосуда.
Ключевые слова: невесомость, цилиндрическая акустическая волна, сверхзвуковое движение, краевой угол смачивания, свободная поверхность, капиллярная постоянная.
V.I. Pinakov
Design and technology Department Lavrentyev Institute of Hydrodynamics, Novosibirsk, Russian Federation
ABOUT THE MECHANISM OF THE LIQUID’S AXIAL RISING AS A RESULT OF CYLINDRICAL VESSEL FREE FALL
The analytical model, which allow to estimate the height of the liquid’s rising at the concussion of the free fall cylindrical vessel and the hard level is physically grounded and realized. The elastic models of the liquid and vessel’s material are applied. It shown that the pressure waves (flat and cylindrical, converging to the axis of cylinder) are generated in liquid. Their reflection from free surface, which configuration isn’t fixed, at the presence of acute angle of the wetting, can lead to splash of liquid whose height 10 times more then the vessel’s height of fall.
Keywords: imponderability, cylindrical acoustic wave, supersonic movement, limiting wetting angle, free surface, capillary constant.
Введение
По меньшей мере с начала шестидесятых годов М.А. Лаврентьев [1] был озабочен объяснением эффекта удивительно высокого всплеска воды, который формируется в момент соударения заполненной про-
117
В.И. Пинаков
бирки с массивной горизонтальной плитой (столешницей). Высота подъема «выбитой» из пробирки воды на порядок превышала высоту падения пробирки. Установлено, что эффект не зависит от конфигурации донышка пробирки и усиливается при увеличении жесткости материала плиты. Там же (в главе «Неустановившиеся течения») в рамках неупругих моделей жидкости и твердого тела приведена качественная интерпретация эффекта. Количественные оценки не получены, потому что не учтены три весьма существенных обстоятельства. Во-первых, не учтен фактор превращения тяжелой жидкости в невесомую, в момент ликвидации удерживающей пробирку вертикальной связи, что влияет на конфигурацию свободной поверхности (мениска). Подобно системе отсчета «падающего лифта» [2] связанная с пробиркой система координат становится инерциальной. Это должно отражаться на величине капиллярной постоянной [3] воды, которая в поле тяжести равна 4 мм. Во-вторых, невозможно объяснить многократные отскоки пробирки от плиты, игнорируя упругие свойства стекла. В-третьих, возможность использования при анализе процесса модели несжимаемой жидкости определяется соответствием его характерных параметров неравенству s/c <<
τ[3], в котором c – скорость звука в жидкости (для воды c ≈ 1500 м/с), а s и τ – характерные значения расстояния и промежутка времени, соответствующие существенному изменению скорости жидкости. Значения
τмогут быть получены из соотношений контактной задачи [4]. Оценочные значения: s/c ≈2H/c ≈ 200 мкс (высота пробирки H = 150 мм);
для стальной плиты τ1 ≈ 140 мкс, а для древесноволокнистой плиты (ДВП) τ2 ≈ 350 мкс. Легко увидеть, что они не соответствуют неравенству. Можно заключить, что при анализе описанного процесса модель несжимаемой жидкости является слишком грубым приближением.
1. Постановка задачи и динамика пустой «мензурки»
Пробирку можно рассматривать как маломасштабную физическую модель цилиндрического сосуда. Поскольку конфигурация донышка значения не имеет, в качестве расчетной модели можно рассматривать «мензурку», которая состоит из цилиндрической стеклянной трубки с размерами пробирки и скрепленного с ней на нижнем торце плоского жесткого донышка пренебрежимо малой толщины. В лабораторной системе координат скорость падения мензурки с высоты l0 = 10 см на плиту равна u0 ≈ 1,4 м/с. Плиту следует считать абсо-
118
Механизм осевого подъема жидкости в результате свободного падения цилиндра
лютно жесткой плоскостью. При их соударении обеспечивается плоский контакт.
Параметры «мензурки». Модуль упругости стекла E ≈ 6·1010 Па; коэффициент Пуассона µ ≈ 0,25; плотность ρ1 ≈ 2500 кг/м3; скорость звука c1 ≈ 5000 м/с; внутренний радиус a ≈ 6,5 мм; наружный – b ≈ 7,5 мм; высота H ≈ 150 мм, масса m ≈ 16 г. Высота водяного столба h ≤ H. Модуль объемного сжатия воды G ≈ 2,2·109 Па; ее плотность ρ2 ≈ 1000 кг/м3; скорость звука c2 ≈ 1500 м/с. Высота подъема жидкости L, высота па-
дения пробирки l. Не будем учитывать, что по формуле Н. Е. Жуковского скорость осевого возмущения c* = c2(1 + 2a·G/((b – a)E))–1/2 ≈
≈ 1250 м/с.
Волновой анализ следует проводить в системе координат (r, z), неподвижной относительно среды. В исходном состоянии твердая и жидкая среды неподвижны в инерциальной системе отсчета, где с ускорением g вверх поднимается плита, ударяя (в начальный момент времени t = 0) со скоростью u0 по донышку мензурки, заполненной жидкостью. В результате в начальный момент донышко генерирует распространение двух плоских волн: давления в водяном столбе и напряжения в стенке мензурки; можно полагать, что они имеют ступенчатый профиль. Распространение волны в стенке по отношению к воде является сверхзвуковым, поскольку c1/c2 ≈ 3,3. Параметры гидравлической волны соответствуют соотношению
p(t,z) = p0S(c2t – z), |
(1) |
где p0 = ρ2u0c2 ≈ 2,1 МПа; u0 – осевая скорость воды в инерциальной системе координат; S(x) – ступенчатая функция [5] (S(x < 0) = 0; S(x > 0) = 1;
S(0) = 1/2).
При t = 0 в стенке мензурки генерируется волна осевого сжатия σ–, за фронтом которой массовая скорость выравнивается со скоростью плиты u0. При отражении она превращается в волну растяжения σ+.
σ– = –σ0U(c1t – z) (0 ≤ t ≤ t1); σ+ = σ0U(c1t + z – 2H) ( t1 ≤ t ≤ 2t1), (2)
где t1 = H/c1 ≈ 30 мкс; неотрицательная величина σ0 = ρ1u0c1 ≈ 18 МПа. При t = 2t1 мензурка отделяется от плиты со скоростью, близкой к 2u0.
Квазистатическое нагружение мензурки до напряжения σ0 приводит к ее «пуассоновой» деформации, которая не зависит от z (одинакова по высоте мензурки); модуль деформации δ = µσ0a/E ≈ 0,5 мкм. Пе-
119
В.И. Пинаков
реход к динамическому нагружению ступенчатыми волнами (2), делает «пуассоновы» деформации функциями волновых аргументов; при этом изменение радиуса a до a + δ происходит непосредственно за фронтами волн.
Рис. 1. Радиальные деформации стенки за фронтами напряжений σ– и σ+
Кольцевые элементы, на которые можно условно разделить упругую стенку мензурки, можно рассматривать, как линейные осцилляторы. Основная форма их радиальных колебаний – цилиндрически симметричные колебания. Их собственная частота ω = c1/a ≈ 8·105 с–1 [6], период колебаний T ≈ 8 мкс. В результате радиальная деформация бежит вдоль оси как волна длиной Λ = c1T ≈ 40 мм.
В бегущем скачке сжатия σ– происходит мгновенное увеличение радиальной координаты положения равновесия осцилляторов на величину δ. В волне растяжения σ+ она уменьшается на ту же величину, и также скачком. Каждый из осцилляторов ведет себя как «отпущенный» маятник. В связи с этим после прохождения σ– и σ+ радиальное перемещение равно 2δ. Оно соответствует половине косинусоиды, показанной на рис. 1 кривой AC. То есть амплитуда радиальной скорости стенки пустой мензурки ωδ ≈ 0,4 м/с. Это значение характерно также для кривой BD, соответствующей движению стенки за волной σ+ в незаполненной жидкостью части мензурки.
120