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[24, 38, 39]. Fur• spezielle Materialkombinationen kann sich an der Grenz-ache• zwischen zwei isotropen, homogenen und elastischen Halbraumen• eine Zwischen achenwelle• ausbilden [19, 39].

Wie bei dem Ansatz fur• die Herleitung der charakteristischen Rayleighwellengleichung werden wiederum elastische Potentiale fur• die beiden Schallgeschwindigkeiten im Festkorper• angesetzt, deren Amplituden exponentiell in Richtung des elastischen Halbraums abfallen:

fur• den unteren elastischen Halbraum und

fur• den oberen elastischen Halbraum. Die Variablen A1; A2; B1 und B2 sind beliebige Konstanten und fur• q1; q2; s1 und s2 gilt

hierbei sind cl(1) und cl(2) die longitudinalen Schallgeschwindigkeiten und cs(1) und cs(2) die transversalen Schallgeschwindigkeiten in den Halbraumen•

(1) und (2).

Die normale und die tangentiale Auslenkungskomponente und die normale und die tangentiale Spannung an der Zwischengrenz ache• x3 = 0 mussen• stetig ineinander ubergehen• [38].

Aus diesen vier Randbedingungen kann die charakteristische Stoneleywellengleichung hergeleitet werden [38]:

Nur fur• wenige Materialpaarungen besitzt die Stoneleywellengleichung eine reelle Losung,• die geringer als die niedrigste Scherwellengeschwindigkeit eines Halbraums ist [19, 24, 39].

Die Stoneleywellengleichung geht fur• 2 = 0 in die charakteristische Rayleighwellengleichung uber• [38].

Vorstellen kann man sich eine Stoneleywelle als eine Grenzschichtwelle, deren Amplituden exponentiell in Richtung der beiden Substrathalbraume• abnehmen (Abbildung 2.7).

Festkörper 1

x2

x1

Festkörper 2

Abbildung 2.7: Die Auslenkungen einer Stoneleywelle nehmen in Richtung der beiden Halbraume• exponentiell ab.

Stoneleywellen besitzen wichtige Eigenschaften, die an dieser Stelle zusammengefasst sind:

•Stoneleywellen sind nicht dispersiv.

•Stoneleywellen sind nur fur• Materialkombinationenen moglich,• deren Dichteund Poissonzahlenverhalnisse• in bestimmten Bereichen liegen [19, 24, 39].

•Stoneleywellen haben eine geringere Ausbreitungsgeschwindigkeit als die kleinste Scherwellengeschwindigkeit der beiden Halbraummaterialien. Ansonsten wurde• die Stoneleywelle Energie in einem Halbraum oder in beide Halbraume• abstrahlen [39].

2.4Akustische Ober •achenund Volumenwellen an der festussig• Grenz •ache 25

•Die Trajektorien eines Zwischen achenpunktes• bei Stonleywellenausbreitung sind Ellipsen [39].

2.4Akustische Ober •achenund Volumenwellen an der festussig• Grenz •ache

An der Grenz ache• zwischen der Ober ache• eines Festkorpers• und einer Flussigkeit• konnen• sich akustischen Ober achenwellen• bzw. akustische Zwischen achenwellen• und akustische Volumenwellen ausbilden. Die akustischen Wellenarten, die fur• die Sensortechnik wichtig sind, werden in diesem Kapitel beschrieben.

2.4.1Scholtewelle

Bei der Scholtewelle handelt es sich um eine akustische Ober achenwelle• an der Zwischen ache• eines isotropen, homogenen und elastischen Halbraums und einer idealen Flussigkeit• [34, 40, 41]. Es gibt zwei Moglichkeiten• die Scholtewellengleichung herzuleiten. Der erste Weg fuhrt• uber• die Stoneleywellengleichung (Gleichung 56), wobei der Grenzfall betrachtet wird, dass die Scherwellengeschwindigkeit der Flussigkeit• vs (2) gegen Null verlauft• [24]. Die zweite Moglichkeit• besteht durch die Einfuhrung• von elastischen Potentialen, deren Amplituden exponentiell in die jeweiligen Halbraume• abnehmen. Der Unterschied zur Stoneleywelle besteht jedoch im Fehlen des transversalen Potentials im Flussigkeitshalbraum,• da eine ideale Flussigkeit• keine Scherelastizitat• besitzt. Ferner muss an der Zwischen ache• die Scherspannung Null werden [34].

Fur• die Festkorperseite• lassen sich die elastischen Potentialfunktionen schreiben als

wobei

sind.

Da sich in einer idealen Flussigkeit• keine Scherwellen ausbreiten, besitzt der Flussigkeitshalbraum• nur die eine Potentialfunktion

zur Beschreibung von longitudinalen Schallwellen.

An der Grenz ache• fest(1)- ussig(2)• mussen• die drei Grenzbedingungen

•

erfullt• werden, d. h. ein stetiger Ubergang zwischen der Normalauslenkung und der Normalspannung und ein Verschwinden der Tangentialspannung an der Grenz ache• x2 = 0 mussen• gegeben sein [34, 40].

Mittels der Helmholtzzerlegung (Gleichung 6) konnen• die Verschiebungskomponenten parallel u1 und senkrecht u2 zur Plattenober ache• hergeleitet werden. Diese lassen sich fur• die Festkorperseite• mit den Gleichungen

beschreiben [34]. Deren Ableitungen konnen• in die Verformungsgleichungen (Gleichung 3) und diese dann in die Spannungsgleichungen (Gleichung 2)

hergeleitet werden [34, 40].

Die Scholtewellengeschwindigkeit ist immer etwas niedriger als die Longitudinalwellengeschwindigkeit der Flussigkeit• und leicht hoher• als die Transversalwellengeschwindigkeit des Festkorpers,• da sonst die Scholtewelle Energie

2.4 Akustische Ober •achenund Volumenwellen an der festussig• Grenz •ache 27

als Leckwelle in die Flussigkeit• oder das Substrat abstrahlen wurde• [24, 39,

q

41]. Somit ist der Nenner kf2 k2 der rechten Seite der Scholtewellenglei-

chung (Gleichung 64) stets komplex. Dies fuhrt• mit der imaginaren• Einheit i zu einer reellen rechten Seite der Scholtewellengleichung und damit zu einer reellen Wellenzahl k fur• die Scholtewelle. Die Scholtewellengleichung besitzt insgesamt acht Nullstellen [42]. Bei der kleinsten reellen Nullstelle handelt es sich um die Scholtewellenlosung• [43]. Fur• die Scholtewellengleichung existiert fur• Festkorper• mit einer Poissonzahl zwischen 0 und 0,5 immer eine reelle Losung• [39].

Vorstellen kann man sich eine Scholtewelle als eine Grenzschichtwelle, deren Amplituden exponentiell in Richtung des Substrathalbraums und des Flussigkeitshalbraums• abnimmt (Abbildung 2.8).

Flüssigkeit

x2

x1

Festkörper

Abbildung 2.8: Die Auslenkungen einer Scholtewelle nehmen in Richtung der beiden Halbraume• exponentiell ab.

An dieser Stelle werden die wichtigsten Eigenschaften der Scholtewellen zusammengefasst:

•Scholtewellen sind nicht dispersiv.

•Scholtewellen existieren an der festussigen• Grenz ache• von beliebigen Festkorper•-Flussigkeit•-Kombinationen [39].

•Scholtewellen sind evaneszente Zwischen achenwellen• [24, 39, 41].

•Fur• steife Festkorpermaterialien• sind die Auslenkungen innerhalb der Flussigkeit• gro• er als im Festkorper•. Damit ist die Energie der Scholtewelle vorwiegend in der Flussigkeit• vorzu nden [24, 39, 41].

2.4 Akustische Ober •achenund Volumenwellen an der festussig• Grenz •ache 29

Die Rayleighleckwelle besitzt wichtige Eigenschaften, die an dieser Stelle zusammengefasst werden:

•Rayleighleckwellen sind nicht dispersiv.

•Rayleighleckwellen existieren nur fur• speziele Festkorper•-Flussigkeit•- Kombinationen [36].

•Rayleighleckwellen regen in der Flussigkeit• eine Druckwelle an [34, 36].

•Druckwellen werden unter dem Rayleighwinkel abgestrahlt[34, 36].

Eine ausfuhrliche• Diskussion der Eigenschaften von Rayleighleckwellen wird im Kapitel 4 Ausbreitung gegeben.

2.4.3Quasi-Scholte Plattenmode

Wenn eine Lambwelle im Kontakt mit einer Flussigkeit• steht, dann konnen• sich zwei unterschiedliche akustische Volumenwellenarten an der festuss•-

•

igen Grenz ache• ausbreiten. Eine dieser akustischen Volumenwelle hat Ahnlichkeit mit der Scholtewelle, weshalb diese Quasi-Scholte-Plattenmode genannt wird [41]. Die Quasi-Scholte-Plattenmode kann mittels der Global- Matrix-Methode berechnet werden [41], die im Kapitel 3 Dispersion naher• beschrieben wird. Als Ergebnis der Berechunng erhalt• man das Dispersionsdiagramm (Abbildung 2.10).

Aus dem Dispersionsdiagramm ist ersichtlich, dass die Quasi-Scholte-Platten- mode dispersiv ist. Die Quasi-Scholte Plattenmodengeschwindigkeit konvergiert fur• gro e Frequenz-Plattendicke-Produkte gegen die ScholtewellenGeschwindigkeit. Die Amplitude ihrer Verschiebung nimmt in Richtung der umgebenden Flussigkeit• exponentiell ab. Wahrend• der Energie uss der Quasi-Scholte-Plattenmode im niedrigen Frequenz-Plattendicke-Bereich (< 500 kHz mm) vermehrt in der Platte verlauft,• verlauft• dieser fur• hohere• Frequenz-Plattendicke-Produkte (> 1 MHz mm) vorwiegend in der Flussig•- keit [41], wie es bei Scholtewellen der Fall ist. Im Idealfall einer isotropen, elastischen Platte und einer nichtviskosen, idealen Flussigkeit• tritt beim Ausbreiten der Quasi-Scholte-Plattenmode keine Dampfung• auf. Fur• realle isotrope, viskoelastische Platten und viskose Flussigkeiten• kommt es zu einer Dampfung• aufgrund einer Scherwellenanregung in der Flussigkeit•. Zudem werden evaneszente Druckwellen in der Flussigkeit• angeregt, die ebenfalls eine Dampfung• aufweisen [41]. Fur• niedrige Frequenz-Plattendicke-Produkte

2.4 Akustische Ober •achenund Volumenwellen an der festussig• Grenz •ache 31

Abbildung 2.11: Die Auslenkungen der Quasi-Scholte-Plattenmode nehmen in Richtung der beiden Halbraume• exponentiell ab.

2.4.4Lambleckwelle

Neben der Quasi-Scholte-Plattenmode gibt es die Lambleckwellen. Wie Rayleighleckwellen erzeugen sie in der umgebenden Flussigkeit• Druckwellen und verlieren hierdurch bei der Ausbreitung auf der Platte Energie in die angrenzende Flussigkeit• [34]. Lambleckwellen konnen• mit der Global-Matrix- Methode berechnet werden, die im Kapitel 3 Dispersion beschrieben ist [25]. Als Ergebnis bekommt man ein Dispersionsdiagramm (Abbildung 2.12).

Je nach Frequenz-Plattendicke-Produkt-Bereich konnen• verschiedene Lambleckwellen angeregt werden. Im unteren Frequenz-Plattendicke-Produkt-- Bereich gibt es nur eine symmetrische Lambleckwelle, die Energie in die Flussigkeit• abstrahlt. Eine antisymmetrische Lambleckwelle existiert nicht. Erst bei einem hoheren• Frequenz-Plattendicke-Produkt exisiert ein antisymmetrische Lambleckwelle. Im hoheren• Frequenz-Plattendicke-Produkt-- Bereich gibt es hohere• symmetrische und antisymmetrische Lambleckwellen.

Wie im Fall der Rayleighleckwelle kann die Abstrahlungsrichtung der in die Flussigkeit• angeregten Druckwelle in guter Naherung• mit dem Snellius schen Brechungsgesetz

beschrieben werden [34]. Hierbei ist L der Lambwinkel der Abstrahlung, vl die longitudinale Schallgeschwindigkeit in der Flussigkeit• und vLamb die Phasengeschwindigkeit der jeweiligen angeregten Lambmode.