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hieraus folgt, dass der Wellenvektor k senkrecht auf dem Polarisationsvektor

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P steht.

Ebene homogene Wellen sind Losungen• der beiden Wellengleichungen fur• isotrope, elastische Festkorper• (Gleichung 9). Eine ebene homogene transversale Welle ist in Abbildung 2.3 dargestellt. Ihr Wellenzug verlauft• in x1-

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Richtung, da ihr Wellenvektor k in diese Richtung zeigt. Ihr Polarisatations-

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vektor P bzw. ihre Amplitude ist in x2-Richtung gerichtet. In x3-Richtung bleibt die Amplitude des Wellenzugs konstant.

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Abbildung 2.3: Wellenzug einer homogenen ebenen Welle mit Ausbreitungsrichtung in x1-Richtung und konstante Amplitude in x3-Richtung.

2.2.2Ebene inhomogene Wellen

Inhomogene ebenen Wellen unterscheiden sich in ihrer Beschreibung von homogenen ebenen Wellen durch die Einfuhrung• eines komplexen Wellenvektors [26{31]. Der Wellenvektor

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setzt sich zusammen aus einem Realteil k1, der Ausbreitungswellenvektor

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genannt wird, und einem Imaginarteil• k2. Der Imaginarteil• des Wellenvektors kann unterteilt werden in

mit

~

Hierbei handelt es sich bei um den Inhomogenitatsvektor,• der senkrecht zum Ausbreitungswellenvektor steht, und bei ~ um den Dampfungsvektor,• der in Richtung des Ausbreitungswellenvektors zeigt.

Inhomogene ebene Wellen kommen somit in isotropen Festkorpern• vor, die eine Dampfung• aufweisen. Ebenso konnen• inhomogene ebene Wellen in isotropen Festkorpern• ohne Dampfung• entstehen, wenn spezielle Randbedingungen vorherrschen.

Ferner mussen• fur• inhomogene ebene Wellen in isotropen, viskoelastischen Festkorpern• die beiden Dispersionsgleichungen

erfullt• werden [27]. Hierbei ist v die Phasengeschwindigkeit und 0 der intrinsische Dampfungskoe• zient.

Eine ebene inhomogene transversale Welle ohne Dampfung• ist in Abbildung 2.4 dargestellt. Ihr Wellenzug verlauft• in x1-Richtung. In x2 Richtung ist die Amplitude gerichtet. Die Amplitude fallt• in x3-Richtung exponentiell ab. Somit hat dieser inhomogene Wellenzug Ebenen konstanter Amplitude in allen Ebenen parallel zur x1 x2-Ebene und Ebenen konstanter Phase in allen Ebenen parallel zur x2 x3-Ebene.

2.2.3Ebene Wellen im zweidimensionalen Raum

In dieser Arbeit werden samtliche• Berechnungen im zweidimensionalen Raum ausgefuhrt•. Das hei t, dass sich die akustische Welle in einer Ebene bewegt. In der dritten Dimension des Raums ist die Amplitude konstant. Diese Beschreibung ist in der Akustik ublich,• da hierdurch die Komplexitat• der physikalischen Gleichungen reduziert wird. Im Folgenden bewegen sich die ebenen Wellen in der x1; x3 - Ebene. Die Wellenamplitude in der Raumrichtung x2 wird als konstant betrachtet.

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Abbildung 2.4: Wellenzug einer inhomogenen ebenen Welle mit Ausbreitungsrichtung in die x1-Richtung. Die Amplitude fallt• in x3-Richtung exponentiell ab.

2.3Akustische Ober •achenund Volumenwellen

Akustische Ober achenwellen• sind Schallwellen, die sich an der Ober ache• von Festkorpern• ausbreiten konnen•. Sie sind Losungen• der Wellengleichungen fur• die Schallausbreitung in Festkorpern• (Gleichung 9) und kommen aufgrund spezieller Randbedingungen an der Festkorperober• ache• zu Stande.

In diesem Kapitel werden die charakteristischen Gleichungen und Eigenschaften von Rayleigh-, Lambund Stonleywellen hergeleitet und zusammengefasst. Diese akustischen Ober achen• - und Volumenwellenarten besitzen eine normale Auslenkungskomponente und konnen• deswegen spezielle akustische Ober achen• - und Volumenwellenarten an der festussigen• Grenz ache• ergeben, die im nachsten• Kapitel behandelt werden.

2.3.1Rayleighwelle

An der freien Ober ache• eines elastischen, homogenen und isotropen Halbraums herrscht Spannungsfreiheit vor [24, 32{34]. Diese ist die Randbedingung, die zur charakteristischen Rayleighwellengleichung fuhrt•. Der Grundgedanke hierbei ist der Ansatz einer ebenen Welle an der Halbraumober-ache,• deren Amplitude exponentiell in Richtung des Festkorperhalbraums• abnimmt. Die charakteristische Rayleighwellengleichung, aus der die Rayleighwellengeschwindigkeit hervor geht, kann auf folgende Weise hergeleitet werden:

Die Rayleighwelle breitet sich an der Ober ache• in der x1-Richtung aus. Ihre Amplitude nimmt exponentiell senkrecht zur Ober ache• des Festkorper•- halbraums in Richtung x3 ab. Fur• die beiden elastischen Potentiale kann somit geschrieben werden:

wobei

sind. Hierbei sind A1 und B1 konstante Amplituden, cl die longitudinale und cs die transversale Schallgeschwindigkeit im Halbraum, k die Wellenzahl und ! die Kreisfrequenz.

Die beiden Elemente der Verschiebungsvektoren lassen sich durch die Helmholtzzerlegung (Gleichung 6) schreiben als:

Aus den beiden Verschiebungen kann durch den Spannungs-Verformungs- Zusammenhang (Gleichung 2) die Normalund die Tangentialspannung berechnet werden:

Die Rayleigwellenrandbedingung besagt, dass an der Ober ache• des Halbraums Spannungsfreiheit vorherrschen muss [32]:

Durch die Rayleighrandbedingungen (Gleichung 25) und den beiden bekannten Gleichungen fur• die Normalspannung und die Tangentialspannung (Gleichung 24) kann die charakteristische Rayleighwellengleichung

hergeleitet werden.

Um die charakteristische Rayleighwellengleichung zu losen,• kann diese umgeschrieben werden zu:

Hierbei sind:

Die unbekannte Variable ist . In ihr steckt die gesuchte Ausbreitungsgeschwindigkeit c und die transversale Schallgeschwindigkeit cs. Die Variable & setzt sich aus der transversalen und der longitudinalen Schallgeschwindigkeiten des Festkorpers• zusammen. Diese sind von den Materialeigenschaften des Festkorpers• abhangig• (Gleichung 10). Dieser Zusammenhang kann genutzt werden, um die Variable & umzuschreiben zu:

Somit hangt• die Variable & nur von der Poissonzahl des Festkorpermaterials• ab.

Die charakteristische Rayleighwellengleichung hat fur• Materialien mit Poissonzahlen < 0; 263 drei reelle Losungen•. Fur• Materialien mit > 0; 263 gibt es eine reelle und zwei imaginare• Losungen• [24, 35]. In beiden Fallen• stellt die kleinste reelle Losung• die Rayleighwellenlosung• dar. Alle weiteren Losungen• sind keine akustischen Ober achenwellen,• deren Energien an der Ober ache• gebunden sind [24]. Es handelt sich dabei unter anderem um akustische Ober achenleckwellen,• d. h. akustische Ober achenwellen,• die Energie in das Substrat abstrahlen oder Energie aus dem Substrat entnehmen [35].

Zur schnellen Abschatzung• der Rayleighwellengeschwindigkeit c fur• verschiedenartige Substrate kann die Naherungsformel•

verwendet werden [34].

Rayleighwellen konnen• folgende allgemeine Eigenschaften zugeschrieben werden:

•Die Eindringtiefe der Rayleighwelle in das Substrat ist zirka eine Rayleighwellenlange• [24, 34].

•Bei einer Rayleighwellenausbreitung an der Ober ache• ist die Trajektorie eines Ober achenpunktes• eine retrograde Ellipse [24, 34].

•Rayleighwellen sind nicht dispersiv, d. h. ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit ist unabhangig• von der Anregungsfrequenz bzw. der akustischen Wellenlange•.

•Die Rayleighwellengeschwindigkeit ist stets geringer als die Scherwellengeschwindigkeit des Substrates [36]. Ansonsten wurde• die Rayleighwelle Schallenergie in das Substrat abstrahlen.

•Die meisten Materialien besitzen eine Poissonzahl zwischen 0 und 0,5. In dem Intervall der Poissonzahl von 0 bis 0,5 steigt die Rayleighwellengeschwindigkeit monoton von 0; 87cs bis auf 0; 96cs an [34, 36].

2.3.2Lambwelle

In einer Platte konnen• sich akustische Volumenwellen ausbreiten. Die kon-

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struktive Uberlagerung von mehrfach re ektierten akustischen Volumenwellen in der Platte fuhrt• zu Lambwellen, die auch Plattenwellen genannt werden. Die charakteristischen Gleichungen von Lambwellen, die sogenannten Rayleigh-Lamb Gleichungen, konnen• wiederum durch die Einfuhrung• von elastischen Potentialen und die Losung• der entsprechenden Wellengleichungen unter Randbedingungen hergeleitet werden [24, 34, 37].

Die beiden elastischen Potentiale der transversalen und longitudinalen Schallwellenausbreitung in der Platte folgen den Gleichungen

Hierbei handelt es sich um Plattenwellen, die in x1-Richtung laufen und in die x3-Richtung eine Resonanz aufweisen. Das hei t, in Richtung der Plattendicke wird eine stehende Welle erzeugt.

Vorfaktoren und einer Sinusfunktion bestehen. Da die Sinusfunktion bezuglich• der x3-Koordinate und damit der Mittellinie der Platte antisymmetrisch ist, handelt es sich bei den Losungen• der Wellengleichung um antisymmetrische Lambwellen.

Fur• den zweiten Amplitudenfaktoransatz (Gleichung 33) erhalt• man:

Bei dieser Wellengleichungslosung• handelt es sich um symmetrische Lambwellen, da die Verschiebungsvektorkomponente u3 nur Vorfaktoren und Cosinusfunktionen enthalt•.

•

Ahnlich wie beim Rayleighwellenansatz, muss an den beiden freien Ober-achen• der Platte Spannungsfreiheit vorherrschen [37]:

Mit dieser Randbedingung erhalt• man fur• die obere und untere Plattenseite jeweils zwei Gleichungen mit den vier unbekannten Variablen A1; A2; B1; B2. Aus den beiden Gleichungssystemen fur• den symmetrischen und antisymmetrischen Lambwellenansatz lassen sich die sogenannten Rayleigh-Lamb- Frequenz-Gleichungen berechnen:

fur• die antisymmetrischen Moden und

•

Uberlagerung von mehrfach re ektierten longitudinalen und transversalen Schallwellen.

wellen innerhalb der Platte erklaren• (Abbildung 2.6). Hierbei wandert die Lambwelle in x1-Richtung. In x2-Richtung kommt es zu einer Ausbildung eines stehenden Wellenbildes.

Lambwellen konnen• wichtige Eigenschaften zugeordnet werden, die an dieser Stelle kompakt zusammengefasst werden:

•Lambwellen unterteilen sich in die zwei Gruppen von symmetrischen und antisymmetrischen Lambwellen.

•Lambwellen sind dispersiv, d. h. ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit hangt• vom Frequenz-Plattendicke-Produkt ab.

•Fur• den gesamten Frequenz-Plattendicke-Produkt-Bereich existieren die symmetrische und die antisymmetrische Grundmode.

•Ab speziellen Grenzfrequenzen existieren hohere• Lambwellenmoden [34].

•Die zwei Grundmoden nahern• sich fur• gro e Frequenz-Plattendicke- Produkte asymptotisch der Rayleighwellengeschwindigkeit an [34].

•Die hoheren• Lambwellenmoden nahern• sich fur• gro e Frequenz-Platten- dicke-Produkte asymptotisch der Scherwellengeschwindigkeit des Plattenmaterials an [34].

2.3.3Stoneleywelle

Bei der Stoneleywelle handelt es sich streng genommen nicht um eine akustische Ober achenwelle,• sondern um eine akustische Zwischen achenwelle•