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A.2 Berechnung der Abstrahlung von Rayleighwellen

A.2.1 Energieansatz

Die Energie einer in x-Richtung fortschreitenden elastischen Welle, die pro Sekunde und pro Einheitstiefe durch eine Schicht der Hohe• und einer Breite b sich ausbreitet (Abbildung 1.105), lasst• sich mit der Gleichung

beschreiben [99]. Hierbei ist die akustische Wellenlange,• b die Tiefe des Volumenkopers,• die Dichte, v die Phasengeschwindigkeit und aW elle die Verschiebungsamplitude der Welle.

Abbildung 1.105: Volumenelement zur Herleitung der mittleren Energiedichte einer sich in x-Richtung ausbreitenden elastischen Welle.

Durchlauft• eine Rayleighwelle das Volumenelement, welches sich an der Grenz ache• festussig• be ndet, dann muss die Verschiebungsamplitude der Rayleighwelle stetig in die Verschiebungsmplitude der angeregten Druckwelle des angrezenden Wassers ubergehen•. Die durch die Ober ache• b dx abgestrahlte Energie E lasst• sich gema• Gleichung 163 berechnen als

hierbei sind f die Dichte, vf die Schallgeschwindigkeit und f die akustische Wellenlange• der longitudinalen Schallwelle in der Flussigkeit• [99].

Berechnet man die relative Energieabstrahlung langs• des Ausbreitungsweges der Rayleighwelle an der festussigen• Grenz ache,• dann erhalt• man fur• den Abstrahlungskoe zient der Rayleighwelle [99]

A.2.2 Normal-Moden-Theorie

Ausgangspunkt der Herleitung des Abstrahlungskoe zienten von Rayleighwellen ist die Grundanregungsgleichung der Normal-Moden-Theorie in der differentiellen Form:

In dieser Gleichung ist An die Amplitude der normalen Mode n, z die Ausbreitungsrichtung der normalen Mode, kn der Wellenvektor der n-ten normalen Mode, i die imaginare• Einheit und gn(z) eine Anregungsfunktion, die sich aus n dem Kopplungsfaktor der n-ten normalen Mode und f(z) eine externe Anregungskraft mit dem Amplitudenverlauf f(z) in der Ausbreitungsrichtung z der normalen Mode zusammensetzt [23]. Aus der Anregungsgleichung der Normal-Moden-Theorie (Gleichung 166) geht hervor, dass es sich um eine eindimensionale Di erentialgleichung handelt.

Die Anregungsfunktion gn(z) lasst• sich durch die Spannung an der Ober-ache• des Substrats mit der Gleichung

^ beschreiben [23]. Hierbei ist T der Spannungstensor an der Ober ache,• vn

die konjugiert komplexe Geschwindigkeit, ~n der Vektor der Flachennormalen• und dl die Integrationsweglange• in z-Richtung [23].

Steht nun die Ober ache,• auf der eine Rayleighwelle lauft,• im Kontakt zu einer Flussigkeit,• dann kommt es zu einer Storung• der ursprunglichen• Randbedingungen der normalen und tangentialen Spannungsfreiheit an der Ober-ache• . Es herrscht nun die Randbedingung vor, dass die Normalspannung an der festussigen• Grenz ache• stetig in den Druck der Flussigkeit• ubergehen• muss [23]. Fur• diesen speziellen Fall kann die Gleichung 167 zu

umgeschrieben werden [23]. Hierbei ist wAnregung ist Anregungsweglange,• v0y die konjugiert komplexe Geschwindigkeit in Flachennormalenrichtung• y und T2 die Normalspannung an der Ober ache• [23].

Die Normalspannung zwischen der Flussigkeit• und dem Festkorper• kann mit der Gleichung

beschrieben werden [23]. Hierbei handelt es sich bei Zf um die akustische Impedanz der Flussigkeit,• A ist die Amplitude der Rayleighwelle, v0y die Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Ober ache• und der Abstrahlungswinkel [23].

Fur• den speziellen Fall einer Rayleighwellen an der festussigen• Grenz-ache• ist die externe Anregungskraft die Rayleighwelle selbst. Somit kann die Anregungsgleichung der Normal Moden Theorie (Gleichung 166) zu

Setzt man Gleichung 169 in Gleichung 168 ein und vergleicht die rechte Seite dieser neuen Gleichung mit der rechten Seite von Gleichung 170, dann kann fur• den Kopplungsfaktor n

umgeschrieben und in die Gleichung 171 eingesetzt werden. Hierbei ist fy ein dimensionsloser Parameter, ! die Kreisfrequenz, s die Dichte des Substrats, vs die transversale Schallgeschwindigkeit des Substrats und wAnregung die Anregungsweglange•. Man erhalt• fur• den Kopplungsfaktor bzw. fur• den Abstrahlungskoe zient von Rayleighwellen an der festussigen• Grenz ache• die Gleichung

wobei ks die Scherwellenzahl und Zs die akustische Scherimpedanz des Substratmaterials ist.

A.3 Berechnung der Abstrahlung von Lambwellen

A.3.1 Normal-Moden-Theorie

Zur Herleitung des Abstrahlungskoe zienten von Lambwellen wird von der Anregungsgleichung der Normal-Moden-Theorie

ausgegangen [50]. In dieser Gleichung ist An die Amplitude der normalen Mode n, z die Ausbreitungsrichtung der normalen Mode, kn der Wellenvektor der n-ten normalen Mode, i die imaginare• Einheit, fz eine externe Anregungskraft mit dem Amplitudenverlauf f(z) in der Ausbreitungsrichtung z der normalen Mode und Pn der durchschnittliche Leistungs uss der angeregten n-ten Lambwellenmode [50, 96, 97].

An der Grenz ache• zwischen einer Platte und einer nichtviskosen Flussigkeit• kann nur die Normalspannung stetig ubertragen• werden. Dementsprechend kann fur• die externe au• ere Kraft an der Plattenober ache•

geschrieben werden [96, 97]. Hierbei ist un die konjugiert komplexe Auslenkungsvektorkomponente senkrecht zur Plattenober ache,• Tyy die Normalspannung an der Plattenober ache• h die Plattendicke und ! die Kreisfrequenz [96, 97].

•

Uber eine Re exionsbetrachtung an der Grenz ache• fest - ussig,• kann

die Normalspannung Tyy berechnet werden [96, 97]. Hierbei ist ui die Verschiebung des einfallenden Schallpro ls, ur die Verschiebung des re ektierten Schallpro ls, Lamb;n der Einfallswinkel, An die Amplitude der n-ten angeregten Mode, uny die Verschiebung der n-ten Mode in Plattendickenrichtung y, i die komplexe Einheit, ! die Kreisfrequenz und Zf die akustische Impedanz der Flussigkeit•.

Setzt man die Gleichungen 176 und 177 in die Gleichung 175 ein, so ergibt diese neue Gleichung in die Anregungsgleichung der Normalen-Moden- Theorie eingesetzt (Gleichung 174) die Gleichung

Ebenso wie bei Rayleighwellen (Gleichung 170) kann die Anregungsgleichung der Normal Moden Theorie zu

umgeschrieben werden.

Ein Vergleich von Gleichung 178 und Gleichung 179 zeigt, dass der Modenkonversionskoe zient von Lambwellen mit einseitigem Flussigkeitskontakt• durch die Gleichung

beschrieben werden kann.

A.4 Gruppengeschwindigkeit von Lambwellen

Die Gruppengeschwindigkeit cg ist de niert als Ableitung der Kreisfrequenz ! nach der Wellenzahl k [24]

und Anwendung der Produktregel der Ableitung

kann die Wellengleichung 186 gelost• werden. Mittels Einsetzung von 187 in 186 und Umstellung wird die neue Wellengleichung in die zwei Wellengleichungen

•

uberf•uhrt• [155]. Uber die beiden Losungsans•atze•

konnen• die Wellengleichungen 188 fur• die Anregung von Lambwellen mittels eines IDTs gelost• werden [155]. Man erhalt:•

t

•

Uber den bekannten Zusammmenhang

und die Gleichung 192 lasst• sich fur• die Phasengeschwindigkeit der antisymmetrischen Lambwellengrundmode die Gleichung

wobei

mit

ist [155]. Hierbei ist B die Biegestei gkeit der Platte und B0 die Grundbiegestei gkeit ohne Spannung an der Ober ache• .

Die Gleichung 195 ist nur gultig• solange die Plattendicke viel kleiner ist als die akustische Lambwellenlange• (d << ). Der Grund hierfur• ist, dass die Grundgleichung 185 dieser Herleitung auf die Annahme einer dunnen,• homogenen und spannungsfreien isotrope Platte basiert.

A.6 Technische Zeichnungen der Messzellen