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38°

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Abbildung 6.87: In der Schlierenaufnahme der Wellenausbreitung im Wellenleiter bei kontinuierlicher Schallanregung ist der berechnete Schallausbreitungsweg der gespiegelten Re exion eingezeichnet.

Folgende neue Aussagen konnen• aus dem Kapitel der Reflektioberechnung entnommen werden:

•Fur• die gespiegelte Re exion kann ein Einfallsund Re exionswinkel von 38° berechnet werden. Dieser Winkel stimmt in erster Naherung• mit der Schlierenaufnahme der Wellenausbreitung in der Wellenleiteranordnung uberein•.

•Der Betrag des Re exionskoe zienten einer Glasplatte mit einseitigem Wasserkontakt besitzt fur• die Einfallswinkel von 16° und 38° jeweils ein Maximum von go• er 1. Der Einfallswinkel von 16° kann

der Anregung der symmetrischen Lambwellengrundmode und der Einfallswinkel von 38° der Anregung der antisymmetrischen Lambwellengrundmode zugeordnet werden.

•Die Phase des Re exionskoe zienten zeigt fur• den Anregungswinkel der antisymmetrischen Lambwellengrundmode von 38° einen sehr steilen Phasenubergang• von + auf . Dieser Phasenubergang• fuhrt• zu

einer seitlichen Verschiebung des re ektierten Schallstrahls bei der ersten Re exionsstelle.

Folgende neue Ergebnisse benotigen• eine weitere detailliertere Untersuchung:

•Die Berechnung des seitlichen Versatzes der nichtgespiegelten Re e- xion ergibt eine unendliche Verschiebung. In der Schlierenaufnahme der kontinuierlichen Anregung ist eine nichtgespiegelte Verschiebung von 8 mm zu messen. Diese enorme Diskrepanz kann durch die idealisierte Annahme einer unendlich ausgedehnte inhomogene ebene Welle in der inhomogenen ebenen Wellentheorie begrundet• werden. Bei der Schlierenaufnahme ist die einfallenden inhomogene Wellen aufgrund des Entstehungsprozesses an der Wasserober ache• begrenzt. Detaillierte Untersuchungen der abgestrahlten Druckwelle ab der Flussig•- keitsober ache• und Re exionsberechnungen sollen hieruber• weiteren Aufschluss geben.

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7Schichtdetektion

7.1Grundlagen der Schichtdetektion

Eine Rayleighwelle ist eine akustische Ober achenwelle,• die sich im idealen Fall an der spannungsfreien Ober ache• eines Halbraums ausbreiten kann. Ist die Randbedingung der Spannungsfreiheit nicht mehr gegeben, dann schlagt• sich dies in der Phasengeschwindigkeit und der Dampfung• der Rayleighwelle nieder. Dies ist z. B. der Fall bei der Anlagerung einer Schicht oder durch Risse bzw. ober achennahe• Verspannungen im Substrat, die durch mechanische Bearbeitung der Ober ache• entstanden sind [153]. Dieser Sachverhalt lasst• sich auf Lambwellen ubertragen,• da hier ebenso die Randbedingung der Spannungsfreiheit an den Plattenober achen• gelten.

Im technischen Bereich gibt es zwei gro e Anwendungsgebiete zur Detekti-

•

on von Schichten bzw. der Anderung von Schichteigenschaften. Ein Gebiet ist die zerstorungsfreie• Werkstuckpr•ufung•. Beispielsweise konnen• durch die Laseranregung von Rayleighwellen die elastischen Konstanten von dunnen• Schichten auf Siliziumwafern gemessen werden [51, 52]. Das zweite gro e Gebiet der Schichtdetektion beschaftigt• sich mit chemischen und biologischen Schichten. Hierbei werden auf mikroakustischen Sensoren Schichten aufgetragen, die selektiv chemische Molekule• oder biologische Substanzen binden [6, 7, 9]. Auf diese Weise kommt es zu einer Massenzunahme und /

•

oder eine Anderung der viskoelastischen Parameter der Schicht. Dies andert•

die gemessene Laufzeit und die Amplitude fur• eine Verzogerungsleitung• und verschiebt die Resonanzfrequenz fur• einen Resonator.

Bei den mikroakustischen Chemound Biosensoren werden akustische Ober-achenwellen• - und Volumenwellenarten angeregt, die moglichst• keine vertikale Auslenkung in Richtung der angrenzenden Flussigkeit• haben [6, 7, 9, 10]. Der Grund hierfur• ist die starke Anregung von Druckwellen in der angrenzenden Flussigkeit• bei einer dominanten vertikalen Auslenkung [6, 8, 10]. Theoretische und experimentelle Untersuchungen zeigen, dass nach einer Laufstrecke von 10 akustischen Wellenlangen• ca. 90 % der Energie einer Rayleighwelle in die Flussigkeit• ausgekoppelt ist [10, 34]. Das verbleibende elektrische Signal auf der Verzogerungsleitung• oder im Resonator ist zu gering, um es auswerten zu konnen•.

In dieser Arbeit wird genau dieser E ekt, namlich• die Anregung von Druckwellen in der angrenzenden Flussigkeit,• erstmals genutzt, um Schichten innerhalb von ussigkeitsgef•ullten• Rohren und Behaltnissen• zu detektieren.

7.2Berechnungsverfahren

•

7.2.1 Ubersicht uber• die Berechnungsverfahren

Zur Berechnung des Ein usses von Schichten auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit von akustischen Ober achenwellen• konnen• verschiedenartige Verfahren eingesetzt werden. Diese unterteilen sich in numerische Verfahren, analytische Verfahren und Systembeschreibungsansatze• [154]. Ein ubliches• numerisches Verfahren ist die Finite Elemente Methode [154]. Als analytisches Verfahren haben sich die elastische Potentialtheorie fur• isotrope Festkorper,• die Partialwellentheorie fur• anisotrope Festkorper• und die Storungstheorie• durchgesetzt [6, 20, 50, 154]. Fur• den Systembeschreibungsansatz greift man auf die Theorie der linearen zeitinvarianten Systeme aus der Systemtheorie zuruck• [154]. Jedes Berechnungsverfahren besitzt Vorteile und Nachteile,

•

die in einem Ubersichtsartikel von Gerhard Fischerauer zusammengefasst und diskutiert worden sind [154]. Je nach dem Anwendungsgebiet muss das jeweils passende Berechnungsverfahren ausgewahlt• werden.

In dieser Arbeit werden die Berechnungsergebnisse der Biegewellentheorie, der Storungstheorie,• der Finiten-Elemente-Methode und der Global-Matrix- Methode miteinander verglichen. Hinter jedem Berechnungsverfahren stehen unterschiedliche theoretische Ansatze,• die von verschiedenartigen Randbedingungen ausgehen. Ferner werden bei manchen Verfahren Naherungen• getro en, die die Gultigkeit• des jeweiligen Verfahrens eingrenzen.

7.2.2Biegewellentheorie

Ist die Plattendicke dP latte viel kleiner als die akustische Wellenlange• der Lambwelle auf der Platte (dP latte << ), dann kann die Phasengeschwindigkeit v der antisymmetrische Lambwellengrundmode durch

r

B

v = (137)

M

beschrieben werden [6, 155{157]. Hierbeit ist die akustische Wellenlange• der Lambwellen, B die e ektive Biegestei gkeit und M die Masse der Platte bezogen auf eine Einheits ache• . Eine ausfuhrliche• Herleitung dieser Gleichung ist im Anhang Kapitel A.5 vorzu nden.

Eine Schicht der Masse pro Einheits ache• m auf der Platte fuhrt• zu einer Zunahme der Gesamtmasse des Systems. Analog zur Gleichung 137 kann man die neue Phasengeschwingkeit vSchicht mit der Gleichung

eingefuhrt• [6, 72]. Hierbei ist f die Anregungsfrequenz, v die Phasengeschwindigkeit der akustischen Ober achenwelle• ohne angelagerte Schicht,P latte die Dichte der Platte, jGj der Betrag des komplexen Schermoduls und d die Schichthohe•. Die Gro• e A lasst• sich berechnen mit

hierbei sind uin0 die zur Plattenober ache• parallele Verschiebungskomponente und uout0 die zur Plattenober ache• senkrechte Verschiebungskomponente der Lambwelle an der Ober ache• der Platte.

R beschreibt das Verhaltnis• der Dehnung der Schicht in Schichthohenrichtung• zu der Dehnung der Schicht parallel zur Schichtgrenz ache• . Fur• akustisch dunne• Schichten ist die Dehnung parallel zur Schichtober ache• dominant (R << 1). Fur• akustisch dicke Schichten ist die Dehnung senkrecht zur Schichtober ache• bzw. in Schichthohenrichtung• dominant (R >> 1)[6, 72]. Um akustisch dunne• Schichten handelt es sich bei sehr dunnen• und harten Schichten mit einer Schichtdicke, die deutlich kleiner als die akustische Wellenlange• ist, und einen gro en Betrag des komplexen Schermoduls besitzt. Bei akustisch dicken Schichten ist die Schichdicke gro• er gleich der akustischen Wellenlange• und / oder der Betrag des komplexen Schermoduls ist gering.

Im Fall von akustisch dunnen• Schichten kann uber• den Ansatz der Storungs•- theorie die relative Geschwindigkeitsanderung• fur• elastische und viskoelastische Schichten berechnet werden. Hierbei haben elastische Schichten nur ein reelles Elastizitats•- und Schermodul. Viskoelastische Schichten besitzen hingegen ein komplexes Elastizitats•- und Schermodul [6, 72].

Die relative Phasengeschwindigkeitsanderung• vv fur• elastische Schichten lasst• sich mit der Tiersten-Gleichung

beschreiben [6, 50, 72, 158]. In Gleichung 144 sind ! die Kreisfrequenz, k die Wellenzahl, P der durchschnittliche Leistungs uss pro Einheitsbreite,Schicht die Schichtdichte, uin0 und uout0 die zur Plattenober ache• jeweils parallele und senkrechte Verschiebungskomponente an der Ober ache• der Platte und v die Lambwellengeschwindigkeit.

Im Falle der Anwendung der Tiersten-Gleichung auf Lambwellen kann der durchschnittliche Leistungs uss pro Einheitsbreite durch

beschrieben werden [23, 50]. Hierbei ist vg die Gruppengeschwindigkeit,P latte die Plattendichte, h die Plattendicke, uin und uout die zur Plattenober ache• jeweils parallele und senkrechte Verschiebungskomponente in der Platte.

Fur• dunne• viskoelastische Schichten mit komplexem Schermodul (G = G0 + j G00) kann Gleichung 144 mit der Annahme von E 4G0 [72] umgeschrieben werden zu [6, 72]:

Ist die Schicht akustisch dick (R 1), dann sind die obigen Gleichungen zur Berechnung der relativen Geschwindigkeitsanderung• nicht mehr gultig•. Stattdessen kann die relative Geschwindigkeitsanderung• und die Dampf•- ungsanderung• mit der Gleichung

berechnet werden [72]. Die relative Geschwindigkeitsanderung• ist mit dem Imaginarteil• und die Dampfung• pro Wellenzahl mit dem Realteil der Gleichung 147 verbunden. Der erste Summand auf der rechten Seite der Gleichung 147 wird durch die Dehnung bzw. eine Biegung der Schicht in Richtung der Flachennormalen• der Platte verursacht. Beim zweiten Summanden handelt es sich um eine Dehnung bzw. eine longitudinale Kompression der Schicht in der Ausbreitungsrichtung der Lambwelle. In Gleichung 147 ist vv die relative Phasengeschwindigkeitsanderung,• die Dampfungs•anderung,• k die Wellenzahl, i die imaginare• Einheit, ! die Kreisfrequenz, K das Kompressionsmodul, G das Schubmodul und d die Dicke der Schicht. Die Parameter 1, 3, c1 und c3 lassen sich beschreiben mit den Gleichungen

Im Simulationsschritt Preprocessing wird ein Rechteck der Breite von 76 mm und der Hohe• von 1 mm de niert, welches die Platte darstellt (Abbildung 7.88). Das Rechteck wird mit der Netzgro• e von 10 Elementen/mm vernetzt. Aus der analytischen Berechnung der Wellenlange• der antisymmetrischen Lambwellengrundmode entspricht das ca. 20 Elementen pro Wellenlange•. Im Handbuch von Ansys® wird fur• akustische Simulationen eine Vernetzungsdichte von 10 - 20 Elementen pro Wellenlange• vorgeschlagen [165]. Das Rechteck wird an den beiden Randern• statisch bestimmt eingespannt. In der Mitte des Rechtecks greifen an den au• eren unteren Knotenpunkten Kraftevektoren• an (Abbildung 7.88). Die laterale Ausdehnung der Angri s ache• stimmt mit der lateralen Ausdehnung eines Einphasenwandlers uberein•. Die Strecke zwischen der Kraftangri s ache• und dem Plattenende wird in drei gleiche Wegstrecken unterteilt. An den au• eren unteren Knotenpunkten der Wegstreckenunterteilung wird die senkrechte Auslenkung zur Plattenober ache• aufgezeichnet (Abbildung 7.88). Fur• die Simulation wird der Elementtyp PLANE 42 ausgewahlt•. Hierbei handelt es sich um ein Element zur Modellierung von zweidimensionalen festen Strukturen. Das Element wird durch 4 Knoten de niert, die jeweils zwei Freiheitsgrade besitzen. Diese Freiheitsgrade sind die Translation in x- und y-Richtung. Als Materialparameter mussen• die Dichte, das Elastizitatsmodul• und die Poissonzahl de niert werden. Zur Simulation der Schicht wird ein neues Rechteck uber• der Platte analog zum ersten Rechteck erzeugt und vernetzt. Die oberen Knotenpunkte der Platte werden mit den unteren Knotenpunkten der Schicht fest verknupft•. Dadurch wird sichergestellt, dass die Normalund die Tagentialauslenkungen, wie auch die Normalund die Tangentialspannungen stetig ubertragen• werden. Die Hohe• der Schicht kann variiert werden.

Im Simulationsschritt Losung• wird eine zyklischer Druck auf die 10 Knotenpunkte der Kraftangri s ache• aufgebracht. Beim Drucksignal handelt es sich um einen Sinusburst mit 5 Zyklen, einer Periodendauer von 1 s und einer Spitze-Spitze-Amplitude von 40 Pa. Nach dem Sinusburstsignal verbleibt das Signal auf dem Wert Null. Zur Berechnung wird die transiente Vollanalyse ausgefuhrt•. Hierbei betragt• die Integrationsschrittweite 1 ns. Mit einer Periodendauer der Anregung von 1 s entspricht dies 1000 Zeitschritten in einer Periode. Eine Schrittweite von 1 ns ist deswegen not-

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wendig, da sich die Anderung der Laufzeit von Lambwellen bei Beschichtung nur im unteren ns-Bereich bewegt.

Im Simulationsschritt Postprocessing werden die y-Auslenkungskoordinaten

•

der zwei Aufzeichnungsknoten zeitlich in einem Diagramm dargestellt. Uber