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6.3 Berechnung der Re exion |
133 |
(1)
(3)
(2)
a)
(1‘ ) |
(2‘ ) |
|
(3‘ ) |
b)
Abbildung 6.79: Re exionskoe zient gro• er 1 fur• negative Inhomogenitaten•
(a)und kleiner 1 fur• positive Inhomogenitaten• (b) kommt aufgrund des seitlichen Versatzes des re ektierten Schallstrahls (schra ert) im Vergleich zum erwarteten geometrisch re ektierten Schallstrahls (grau) zu Stande. Durch den seitlichen Versatz kann im Fall einer negativen Inhomogenitat• (a) mehr Amplitude (vgl. (3) zu (1)) und im Fall einer positiven Inhomogenitat•
(b)weniger Amplitude (vgl. (3') zu (1')) gemessen werden.
als Amplitudenverhalnis• eine Zahl gro• er als 1 und damit ein Re exionskoe zient von gro• er 1. Mit anderen Worten gesagt, es kann mehr Amplitude beim seitlich versetzten re ektierten Schallpro l gemessen werden, als durch eine geometrische Re exion erwartet wird. Deswegen gibt es bei der Re exion von inhomogenen ebenen Schallwellen an einer Platte fur• spezielle Einfallswinkel Re exionskoe zienten gro• er 1. An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, dass ein Re exionskoe zient von gro• er 1 nicht den grundlegenden Energieerhaltungssatz der Physik verletzt [30, 152].
Ein analog durchgefuhrter• Amplitudenvergleich der Re exion von inhomogenen ebenen Wellen mit positiver Inhomogenitat• zeigt, dass durch den seitlichen Versatz weniger Amplitude (3`) gemessen werden kann, als geo-
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6 REFLEXION |
metrisch erwartet (1`) wird (Abbildung 6.79 b). Dementsprechend kommt es zu Re exionskoe zienten von kleiner 1.
6.3.6Berechnung der nichtgespiegelten Re exion
Zur Berechnung der nichtgespiegelten Re exion einer ebenen inhomogenen Druckwelle an einer einseitig mit Wasser und anderseitig mit Vakuum im Kontakt stehenden Platte, wird ein paralleles Zweiplattensystem mit einer Senderund einer Empfangerplatte• betrachtet (Abbildung 6.80).
Empfänger
Empfängerplatte
Flüssigkeit
Senderplatte
Sender
Abbildung 6.80: Flussigkeitsgef•ulltes• Zweiplattensystem mit Senderplatte und Empfangerplatte• zur Berechnung der nichtgespiegelten Re exion.
Der Zwischenraum der beiden Platten ist mit einer Flussigkeit• gefullt•. Eine auf der Senderplatte erregte Lambleckwelle erzeugt aufgrund des Modenkonversionsprozesses eine inhomogene Druckwelle in die Flussigkeit•. Das verallgemeinerte Snellius-Descartes Brechungsgesetz besagt, dass die Projektionen der Betrage• der Realteile und der Imaginarteile• der bei der Brechung und Re exion beteiligten Wellenzahlen auf die Brechungslinie gleich sein mussen• [30, 146, 147]. Mit Hilfe der Abbildung 6.81 und den Winkelfunktionen konnen• die Gleichungen
kLamb;real = sin Lamb kf;real |
|
kLamb;imag = cos Lamb kf;imag |
(125) |
hergeleitet werden.
Hiebei steht kLamb;real fur• den Realteil und kLamb;imag fur• den Imaginarteil• des Lambleckwellenvektors. Sowohl der Realteil als auch der Imaginarteil•
6.3 Berechnung der Re exion
z
x
135
z‘ |
k |
f,real |
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x‘ |
k |
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f,imag |
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k |
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Lamb,real |
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k |
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Lamb,imag |
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z
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z‘ |
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x‘ |
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k |
f,real |
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x |
ΘLambΘ Lamb |
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k |
Lamb,real |
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z
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z‘ |
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x‘ |
x |
ΘLamb |
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k |
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Lamb,imag |
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k |
ΘLamb |
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f,imag |
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Abbildung 6.81: Bei der Re exion von inhomogenen Schallwellen an der fest - ussig• Grenz ache• mussen• die Projektionen der Betrage• der Realteile und der Imaginarteile• der beteiligten Wellenzahlen auf die Brechungslinie gleich sein. Dies besagt das verallgemeinerte Snellius-Descartes Brechungsgesetz.
des Lambleckwellenvektors sind in Richtung der Platte gerichtet, da sich die Lambwelle in dieser Richtung ausbreitet und in dieser Richtung auch gedampft• wird (Abbildung 6.81). kf;real und kf;imag sind der Realteil und der Imaginarteil• des Wellenvektors der Druckwelle in der Flussigkeit•. Da es sich bei der Druckwelle um eine inhomogene ebene Welle handelt, zeigt der Realteil des Wellenvektors in die Ausbreitungsrichtung der Druckwelle und der Imaginarteil• des Wellenvektors steht senkrecht zum Realtteil des Wellenvektors (Abbildung 6.81) (vgl. Kapitel 2.2.2). Die Materialdampfung• innerhalb der Platte und der Flussigkeit• wird in diesen beiden Gleichungen vernachlassigt•.
Die in die Flussigkeit• durch Modenkonversion abgestrahlte inhomogene Druckwelle kann im Koordinatensystem x`-z` (Abbildung 6.81), deren z`-Achse in Ausbreitungsrichtung der inhomogenen Druckwelle gerichtet ist, mit der
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6 |
REFLEXION |
Gleichung |
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(x`; z`; t) = A0 e kf;imag x` ei(kf;real z` ! t) |
(126) |
beschrieben werden. A0 ist hierbei die Amplitude, e kf;imagx` beschreibt den exponentiellen Abfall der ebenen Wellenfront in positiver x`-Richtung und ei(kf;realz`) !t beschreibt die Ausbreitung einer ebene Welle in z`-Richtung.
Die inhomogene Druckwelle in der Flussigkeit• kann ebenso durch die Gleichung
(x; t) = A0 e kLamb;imag x ei(kLamb;real x ! t) |
(127) |
in dem Koordinatensystem x-z beschrieben werden (Abbildung 6.81). Dieses Koordinatensystem ist fur• die Berechnung der nichtgespiegelten Re e- xion gunstiger,• da der Realteil kLamb;real und der Imaginarteil• kLamb;imag der Lambwelle durch die Global-Matrix-Methode berechnet werden konnen•.
Die auf die Empfangerplatte• eintre ende inhomogene Druckwelle wird an dieser re ektiert. Dies lasst• sich mittels der Gleichung
(x; t)Reflexion = jR(k)j ei'(k) A0 e kLamb;imag x ei(kLamb;real x ! t) (128)
beschreiben. Hierbei ist jR(k)j der Betrag des Re exionskoe zient und '(k) dessen Phase. Die Gleichung 128 lasst• sich umschreiben zu
(x; t)Reflexion = jR(k)j A0 e kLamb;imag x ei(kLamb;real x+'(k) ! t): (129)
Gema• Gleichung 129 wird die Phase der re ektierten Druckwelle gegenuber• der Phase der einfallenden Druckwelle in +x-Richtung um
kLamb;real V erschiebung = '(k) |
(130) |
verschoben. Leitet man beide Seiten der Gleichung 130 nach kLamb;real ab, dann erhalt• man fur• die Verschiebung
V erschiebung = |
@'(k) |
: |
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@kLamb;real |
Da es bei der Re exion von inhomogenen Schallwellen an der fest - ussigen• Grenz ache• unter den sogenannten Lambwinkeln zu einer Phasenverschiebung im Re exionskoe zienten kommt, wie das folgende Beispiel ausfuhrlich•
6.3 Berechnung der Re exion |
137 |
zeigen wird, wird das re ektierte Schallpro l in Ausbreitungsrichtung verschoben.
Als Beispiel soll eine Glasplatte der Dicke von 1 mm betrachtet werden. Die Glasplatte steht einseitig im Kontakt zu Wasser. Auf der Platte wird die antisymmetrische Lambwellengrundmode angeregt. Unter dem Einsatz der Global-Matrix-Methode (Kapitel 3.2.3) kann die komplexe Wellenzahl
kLamb = (2614; 7 i 90; 0) 1=m |
(132) |
berechnet werden.
Um den Betrag und die Phase des Re exionskoe zienten und die nichtgespiegelte Verschiebung zu veranschaulichen, werden im Folgenden diese mit den Gleichungen 122 und 131 berechnet. Fur• die Berechnungen werden die Materialparameter aus der Tabelle 6.12, eine Glasplattendicke von 1 mm und eine Anregungsfrequenz von 1 MHz angenommen. In der Abbildung 6.82 ist der Betrag des Re exionskoe zienten, in Abbildung 6.83 die Phase des Re exionsko zienten und in Abbildung 6.84 die nichtgespiegelte Verschiebung gegen den Einfallswinkel aufgetragen. Der Einfallswinkel kann mit der Gleichung 124 mit dem Realteil der Lambwellenzahl verbunden werden. Fur• den Imaginarteil• der Lambwellenzahl wird in den Berechnungen der konstante Wert 90,9 Neper/m verwendet.
Der Betrag des Re exionskoe zienten zeigt zwei Maxima (Abbildung 6.82). Bei einem Einfallswinkel von 15,96° liegt das erste Maximum mit einem Re-exionskoe zienten von R=1,129. Unter diesem Winkel kommt es zur Anregung der symmetrischen Lambwellengrundmode S0. Das zweite Maximum liegt bei einem Einfallswinkel von 38,04° und hat einen Re exionskoe - zienten von R=2,08. Bei diesem Einfallswinkel wird die antisymmetrische Lambwellengrundmode auf der Platte angeregt.
Die Phase des Re exionskoe zienten zeigt in unmittelbarer Nachbarschaft der antisymmetrischen Lambwellenanregung bei 38; 04 eine Phasensprung von + auf (Abbildung 6.83). Der Phasenubergang• bei der Anregung der symmetrischen Lambwellenanregung um 15; 96 betragt• 0,294 rad auf 0,187 rad.
Aufgrund des steilen Phasenubergangs• in unmittelbarer Nachbarschaft der antisymmetrischen Lambwellenanregung bei 38; 04 kann dort die nichtgespiegelte Verschiebung mit 6000 m berechnet werden (Abbildung 6.84). Eine Erhohung• der Diskretisierung der Phasenberechnung und eine anschlie ende Berechnung der Verschiebung fuhrt• zu einem Anstieg der berechneten Ver-
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6 |
REFLEXION |
2.2 |
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A0 |
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2 |
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1.8 |
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1.6 |
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|R| |
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1.4 |
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1.2 |
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S0 |
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1 |
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0.8 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
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Einfallswinkel in ° |
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Abbildung 6.82: Der Betrag des Re exionskoe zientens an einer Glasplatte mit einseitigem Flussigkeitskontakt• ist uber• den Einfallswinkel der einfallenden inhomogenen Schallwelle aufgetragen. Es sind deutlich zwei Maxima fur• die Anregung der symmetrischen Lambwellengrundmode (15; 96 ) und die Anregung der antisymmetrischen Lambwellengrundmode (38; 04 ) zu sehen.
schiebung (Abbildung 6.85). Fur• eine unendlich feine Diskretisierung nimmt die berechnete Verschiebung einen unendlichen Wert an.
Aus der Schlierenoptischen Aufnahme der Schallausbreitung in der Wellenleiterstruktur bei einer kontinuierlichen Anregung wird eine nichtgespiegelte Re exion von
dLamb;A0 = 8 mm |
(133) |
gemessen (Abbildung 6.86).
Die Diskrepanz zwischen dem unendlichen nichtgespiegelten Verschiebungswert der Berechnung und dem endlichen Messwert in der Schlierenaufnahme kann mit der idealen Annahme der Theorie begrundet• werden. Die inhomogene ebene Wellentheorie geht von unendlich ausgedehnten ebenen Wellen aus. In der Versuchsanordnung wird eine inhomogene ebene Wellen durch die Abstrahlung der Lambwelle erzeugt. Hierbei lauft• die Lambwelle in die Flussigkeit• und regt dort eine inhomogene Druckwelle an. Diese ist auf-
6.3 Berechnung der Re exion |
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Phase von R
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3 |
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A0 |
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2 |
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1 |
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S0 |
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0 |
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−1 |
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−2 |
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−3 |
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−4 0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
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Einfallswinkel in ° |
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Abbildung 6.83: Die Phase des Re exionskoe zientens an einer Glasplatte mit einseitigem Flussigkeitskontakt• ist uber• den Einfallswinkel der einfallenden inhomogenen Schallwelle aufgetragen. Bei der Anregung der antisymmetrischen Lambwellengrundmode (38; 04 ) kommt es zu einem steilen Phasenubergang• von + zu .
grund der Entstehung ab der Flussigkeitsober• ache• nicht unendlich ausgedehnt. Somit ist eine unendlich ausgedehnte ebene inhomogene Welle als eintre ende Welle bei der Re exion nicht in der Schlierenmessung gegeben.
6.3.7Berechnung der gespiegelten Re exion
Bei der gespiegelten Re exion ist der Einfallswinkel und der Ausfallswinkel gleich gro . Es gibt keinen seitlichen Versatz zwischen der Einfallsstelle und der Austrittsstelle, wie bei der nichtgespiegelten Re exion. Aus dem Realteil der Lambwellenzahl der angeregten antisymmetrischen Lambwellengrundmode
kLamb;real = 2614; 7 1=m |
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(134) |
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kann uber• die Gleichung |
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Lamb = arcsin |
kLamb;real |
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kf |
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6 REFLEXION |
Verschiebung in m
6000
A0
5000
4000
3000
2000
1000
0 |
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−10000 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
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Einfallswinkel in ° |
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Abbildung 6.84: Die seitliche nichtgespiegelte Verschiebung der re ektierten inhomogenen Schallwelle ist uber• den Einfallswinkel der einfallenden inhomogenen Schallwelle aufgetragen. Bei der Anregung der antisymmetrischen Lambgrundmode (38; 04 ) kommt es zu einer deutlichen seitlichen Verschiebung.
der Abstrahlwinkel bzw. der Lambwinkel Lamb berechnet werden. Hierbei ist kLamb;real der Realteil der Lambwellenzahl und kf die Wellenzahl der angeregten Druckwelle in die Flussigkeit•. Der Lambwinkel betragt• fur• die Abstrahlung der antisymmetrischen Lambwellengrundmode auf Glas in Wasser
Lamb;Berechnung = 38 ; |
(136) |
wobei die Wellenzahl der Druckwelle im Wasser kf = 42451 1=m ist. Hierbei wird eine Anregungsfrequenz von 1 MHz und eine Schallgeschwindigkeit im Wasser von 1480 m/s zur Berechnung herangezogen.
Der Lambwinkel ist aufgrund der parallelen Zweiplattenanordnung der Wellenleiterstruktur (Abbildung 6.80) gleich dem Einfallswinkel und gleich dem Re exionswinkel.
Um die Lambwinkelberechnung mit den Schlierenaufnahmen zu vergleichen, wird in der Schlierenaufnahme der kontinuierlichen Schallanregung (Abbildung 6.62) der Schallausbreitungsweg unter dem Lambwinkel von 38° ein-
6.3 Berechnung der Re exion |
141 |
Verschiebung in m
10000
A0
8000
6000
4000
2000
0 |
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−2000 0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
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Einfallswinkel in ° |
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Abbildung 6.85: Eine Erhohung• der Diskretisierung bei der Berechnung der Phase des Re exionskoe zienten fuhrt• zu einer Erhohung• der berechneten nichtgespiegelten Verschiebung.
gezeichnet (Abbildung 6.87).
Der Vergleich zwischen den eingezeichneten berechneten Einfallsund Re-exionswinkel und der Schlierenaufnahme im Hintergrund zeigt eine naher•-
•
ungsweise Ubereinstimmung zwischen der Berechnung und der Schlierenmessung (Abbildung 6.87).
6.3.8Zusammenfassung der Re exionsberechnungen
Wenn inhomogene ebene Schallwellen aus einer Flussigkeit• auf eine fest-ussigen• Grenz ache• tre en, kann es unter speziellen Bedingungen zu einer nichtgespiegelten Re exion kommen. Nichtgespiegelte Re exion bedeutet hierbei einen seitlichen Versatz der re ektierten Schallwelle gegenuber• der geometrisch gespiegelten Re exion. Die laterale Verschiebung kann physikalisch erklart• werden durch eine starke Phasenanderung• des Re exionsko- e zienten. Auf dem Festkorper• wird in diesem Fall durch den Einfall der inhomogenen Schallwelle eine Rayleighoder eine Lambwelle erzeugt, die die eintre ende Schallwelle weitertransportiert und wieder in die Flussigkeit• abstrahlt.
142 |
6 REFLEXION |
8mm
Abbildung 6.86: Aus der Schlierenaufnahme der Schallausbreitung innerhalb der Wellenleiterstruktur bei einer kontinuierlichen Anregung kann ein seitlicher Versatz von 8 mm gemessen werden.
Zur Berechnung des seitlichen Versatzes der nichtgespiegelten Re exion wird die inhomogene ebene Wellentheorie verwendet. Diese bietet sich an, da es sich bei der einfallenden Schallwelle um eine inhomogene Welle handelt, die im Experiment durch die Modenkonversion von einer Lambwelle erzeugt wird. Mathematisch kann die laterale Verschiebung durch die Ableitung der Phase des Re exionskoe zienten bezuglich• des Einfallswinkels bzw. des Realteils des Wellenvektors, der parallel zur Platte gerichtet ist, beschrieben werden.
Mit Hilfe der Transfer-Matrix-Methode wird der Re exionskoe zient einer Platte mit einseitigem Flussigkeitskontakt• bestimmt. Am Beispiel einer Edelstahlplatte wird die Abhangigkeit• des Betrags des Re exionskoe zienten von dem Einfallswinkel und dem Inhomogenitatskoe• zienten diskutiert.
Berechnungsergebnisse der gespiegelten und der nichtgespiegelten Re exion werden mit einer Schlierenoptischen Aufnahme der Schallausbreitung im Wellenleiter verglichen.