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In beiden Schlierenbilderfolgen wandert ein ortlich• begrenztes Wellenpaket im Zick-Zack-Weg durch die Wellenleiteranordnung (Abbildungen 6.63 - 6.67 und Abbildungen 6.68 - 6.72). Bei jeder Re exion an einer Platte wird eine Lambwelle angeregt, die wiederum teilweise ihre Energie in die angrenzende Flussigkeit• abstrahlt und teilweise als Lambwelle auf der Platte lauft•. Ferner kommt es zu einer geometrisch gespiegelten Re ektion der einfallenden Druckwelle an der Plattenober ache• . Diese Aufspaltung der Energie der angeregten Lambwelle in den Abstrahlungsprozess und in das Laufen der Lambwelle auf der Platte fuhrt• zu einem Empfangssignal am Empfangswandler (vgl. Abbildung 6.59), welches aus mehreren Wellengruppenpaketen besteht. Auf diese Weise kann die Entstehung der Wellengruppen im Empfangssignal visualisiert werden. Fur• ein zeitlich langeres• elektrisches Anregungssignal, wie z. B. 5 Sinuszyklen statt 2 Sinuszyklen, ist die in der Wellenleiteranordnung sich ausbreitende Wellengruppe raumlich• ausgedehnter (Abbildungen 6.63 - 6.67 und Abbildungen 6.68 - 6.72). Dies ist zu begrunden• mit der Tatsache, dass das angeregte Lambwellenpaket auf der Platte durch die erhohte• Zyklenzahl der Anregung auch raumlich• ausgedehnter ist und dadurch auch raumlich• ausgedehnter in die Flussigkeit• abstrahlen kann.

6.2.4Zusammenfassung der Schlierenmessungen

Mit Hilfe des Schlierenverfahrens wurde die Schallwellenausbreitung innerhalb eines akustischen Wellenleitersensors, der in Wasser eingetaucht ist, visualisiert.

Folgende neuen Erkenntnisse konnen• aus den Schlierenbilder entnommen werden:

•Die Schlierenaufnahmen zeigen , dass es sich beim Schallausbreitungsweg durch die Flussigkeit• um einen Zick-Zack-Weg handelt. Damit werden fruhere• Interpretationen des Messsignals und Simulationen bestatigt•.

•Bei der Schallwellenausbreitung innerhalb der Wellenleiterstruktur handelt es sich um einen mehrfach hintereinander ablaufender Prozess der Lambwellenerzeugung, der Abstrahlung von Druckwellen in die angrenzende Flussigkeit• und der geometrischen Re ektion der einfallenden Druckwelle an der Plattenober ache• . Das Empfangssignals von zeitlich getrennten Wellengruppen des Wellenleitersensors wird durch eine visualisierende Messung geklart•.

•Bei der ersten Re exion in der Wellenleiteranordnung kommt es zu einer nichtgespiegelten Re exion (Abbildung 6.62).

Folgende Erkenntnisse konnen• aus den Schlierenbilder entnommen werden, die zur Sicherung weitere detaillierte Untersuchungen benotigen:•

•In den Schlierenoptischen Aufnahmen der Schallausbreitung innerhalb der Wellenleiterstruktur sind Interferenzmuster, wie z. B. wei e Streifen, zu erkennen. Es wird vermutet, dass diese aufgrund von Interferenzen zwischen der Abstrahlung der anregten Lambwellenmode und einer weiteren angeregten akustischen Welle zu Stande kommen.

•Bei der zweiten und dritten Re exion in der Wellenleiteranordnung kann keine klare Aussage uber• die Re exionsart (gespiegelte Re exion oder nichtgespiegelte Re exion) getro en werden (Abbildung 6.62). Fur• eine eindeutige und gesicherte Aussage sind weitere Untersuchungen notig•.

6.3Berechnung der Re exion

6.3.1Grundlagen der Re exion

Die Re exion von ebenen Schallwellen an der Grenz ache• von zwei Medien ist eine sehr gut bekannte physikalische Fragestellung. [21, 22, 60, 120]. An dieser Stelle soll der Spezialfall der Re exion an einer ebenen festussigen• Grenz ache• genauer betrachtet werden. Tri t eine Schallwelle aus einer Flussigkeit• auf die Ober ache• eines Festkorpers,• dann konnen• innerhalb des Festkorpers• longitudinale und transversale Schallwellen angeregt werden. Ferner wird die eintre ende longitudinale Schallwelle aus

•

der Flussigkeit• wieder zuruck• re ektiert. Uber die Randbedingungen eines

•

stetigen Ubergangs der Normalspannung und der Normalauslenkung und des Verschwindens der Scherspannung an der Grenz ache• eines Festkorpers• und einer nichtviskosen Flussigkeit• kann der Re exionskoe zient hergeleitet werden [60, 121]

Der Re exionskoe zient an der festussigen• Grenz ache• besitzt ein au ergewohnliches• Verhalten bei drei verschiedenen Einfallswinkeln. Fur• den sogenannten longitudinalen kritischen Winkel wird innerhalb des Festkorpers• bei der Schallbrechung nur eine longitudinale Schallwelle erzeugt. Es wird keine transversale Schallwelle im Festkorper• angeregt. Die longitudinale Schallwelle breitet sich parallel zur Ober ache• aus. Ferner gibt es einen transversalen kritischen Winkel, bei dem sich die angeregte transversale

Schallwelle im Festkorper• ebenso parallel zur Grenz ache• ausbreitet. Fallt• eine Schallwelle aus der Flussigkeit• unter einem dritten kritischen Winkel auf das Substrat ein, dann werden Rayleighwellen auf der Ober ache• des Substrates erzeugt. Der longitudinale und der transversale kritische Winkel sind in der homogenen ebenen Wellentheorie durch einen Anstieg des Betrags des Re exionskoe zienten auf den Wert 1 gekennzeichnet. Beim Rayleighwinkel steigt der Betrag des Re exionskoe zienten in der homogenen ebenen Wellentheorie ebenso auf den Wert 1 an [22, 60]. In der ebenen inhomogenen Wellentheorie ist der Betrag des Re exionskoe zienten fur• den Rayleighwinkel gro• er 1 [29]. Im Gegensatz zu den beiden anderen kritischen Winkeln durchlauft• die Phase des Re exionskoe zienten an dieser Stelle jedoch einen Sprung um den Wert von 2 [29, 60]. Dieser Phasensprung ist verantwortlich fur• eine seitliche Verschiebung des re ektierten Strahls [120, 122, 123]. In der Akustik wird dieser Vorgang nichtgespiegelte Re exion genannt [29, 124{128].

6.3.2Nichtgespiegelte Re exion

Die nichtgespiegelte Re exion von Schallwellen an der festussigen• Grenz-ache• wurde 1950 erstmals von Arnold Schoch theoretisch vorhergesagt und 1952 von ihm experimentell bestatigt• [120, 129]. Dieses physikalische Phanomen• war damals aus der Optik schon bekannt und wird dort Goos- Hanchen•-E ekt genannt [130, 131]. Analog hierzu wird in der Literatur die nichtgespiegelte Re exion von Schallwellen an der festussigen• Grenz ache• als Schoche ekt bezeichnet [132{134]. Der E ekt einer nichtgespiegelten Re-exion tritt jedoch nicht nur in der Akustik oder der Optik auf, sondern kann auch in der Quantenmechanik oder in der Plasmaphysik beobachtet werden [135].

Unter dem klassischen Schoche ekt an der festussigen• Grenz ache• versteht man die laterale Verschiebung eines einfallenden gau formigen• Schallstrahls einhergehend mit einem Minimum oder einer Nullstelle innerhalb des re ektierten Schallstrahls (Abbildung 6.73). Ferner ist an einer Seite des re ektierten Schallfelds ein exponentieller Abfall ersichtlich [122].

Analytische Berechnungen, Finite Elemente Berechnungen und Experimente zeigen, dass der Schoche ekt durch die Anregung und die Modenkonversion von Rayleighwellen in Druckwellen der Flussigkeit• erklart• werden kann. Der einfallende Schallstrahl erzeugt unter dem Rayleighwinkel eine

•

Rayleighwelle auf dem Substrat. Die koharente• Uberlagerung der geometrisch gespiegelten Re exion und des modenkonvertierten Schalldruckfelds der Rayleighleckwelle fuhren• zum Schoche ekt [122, 136{144] (Abbildung

6.74). Hierbei besitzt das modenkonvertierte Schalldruckfeld eine gegenphasige Phasenlage bezuglich• der Phasenlage des geometrisch gespiegelten Schalldruckfelds (Abbildung 6.74).

Wenn die Dicke des Substrates in der Gro• enordung der akustischen Wellenlange• ist, dann konnen• sich Lambwellen auf dem Substrat ausbreiten. Theoretische und experimentelle Untersuchungen zeigen, dass fur• den Fall einer Platte als Substrat auch eine seitliche Verschiebung sowohl in der Re-exion, als auch in der Transmission fur• spezielle Einfallswinkel zu beobach-

•

ten sind (Abbildung 6.75). Ahnlich, wie beim Schoche ekt an der festussig• Grenz ache,• werden fur• spezielle Schalleinfallswinkel Lambmoden auf der Platte angeregt. Die Modenkonversion der angeregten Lambwelle fuhren• zusammen mit der geometrischen Schallre exion oder des geometrischen Schalldurchgangs zu einer seitlichen Verschiebung des re ektierten oder des transmittierten Schallstrahls [81, 121, 124, 125, 145] (Abbildung 6.75).

6.3.3Berechnungsverfahren

Zur Berechnung der Re exion an der fest - ussigen• Grenz ache• konnen• verschiedene Verfahren angewandt werden. Das am hau• gsten benutzte Verfahren ist die Berechnung mit der homogenen ebenen Wellentheorie. Hierbei

•

wird das einfallende Schallpro l durch die Uberlagerung einer unendlichen Anzahl von homogenen ebenen Wellen beschrieben. Die homogenen ebenen Wellen besitzen dabei unterschiedliche Amplituden, Wellenzahlen und Ausbreitungsrichtungen. Die ortliche• Schallfeldverteilung des einfallenden Schallstrahls wird durch eine Fouriertransformation in den Wellenzahlenraum transformiert (Gleichung 119). Durch eine Multiplikation der Schallfeldverteilung im Wellenzahlraum mit den jeweiligen Re exionskoe zienten und einer inversen Fouriertransformation kann die Schallfeldverteilung des re ektierten Schallstrahls berechnet werden (Gleichung 120) [121, 124, 125]

.

In den Gleichungen 119 und 120 sind UE und UR die Schallwechseldruckverteilung des einfallenden und des re ektierten Schallstrahls und V (kx) die Fouriertransformierte der einfallenden Schallfeldverteilung. Es wird die

Schallfeldverteilung an der Plattenober ache,• hier die x-Richtung, berechnet. kx ist der Wellenvektor parallel zur Plattenober ache• und i ist die imaginare• Einheit.

Ein weiteres hau• g verwendetes Verfahren ist die Berechnung der Re exion mittels der inhomogenen ebenen Wellentheorie. Die Eigenschaften von inhomogenen ebenen Wellen ist in Kapitel 2.2.2 genauer erklart•. Das einfallende Schallpro l wird hierbei beschrieben durch unendlich viele inhomogene ebene Wellen, die unterschiedliche Amplituden und Inhomogenitatskoe• zienten besitzen, aber durch die gleiche Wellenzahl in die gleiche Raumrichtung laufen. Wiederum kann durch eine Fouriertransformation in den Wellenzahlenraum, einer Multiplikation mit den jeweiligen Re exionskoe zienten und eine Rucktransformation• das Schallpro l des re ektierten Schallstrahls berechnet werden [29, 146, 147]. Weiterhin gibt es andere Berechnungsverfahren, wie zum Beispiel die Normal-Moden-Theorie [96, 97], die komplexe Punktquellenmethode [128, 148, 149], die Abstrahlungsmoden-Theorie [150] oder die Finite-Elemente-Methode [142, 144]. Diese werden jedoch nicht hau• g eingesetzt, da sie sehr komplex oder/und sehr rechenaufwandig• sind.

In dieser Arbeit soll zur Berechnung der Re exion die inhomogene ebene Wellentheorie angewandt werden. Diese ist naheliegend, da die einfallende ebene Welle von der Abstrahlung von Lambwellen stammt, und es sich hierbei um eine inhomogene Welle handelt. Die Beschreibung der Re exion mittels der inhomogenen ebenen Wellentheorie vereinfacht die Re exionsberechnung erheblich, da das Schallwellenpro l im Wesentlichen durch eine einzige inhomogene ebene Welle beschrieben werden kann, die fur• die nichtgespiegelte Re exion verantwortlich ist [28]. Die Beschreibung des Schallwellenpro ls durch eine Superposition von unendlich vielen inhomogenen Wellen mit Hilfe eines Laplacetransformationsansatzes oder eines Laguerre- Polynom-Ansatzes ist nicht notwendig [28, 151].

6.3.4Re exionskoe zient

Zur Berechnung der Re exionskoe zienten einer Platte mit Flussigkeits•- kontakt auf einer und Vakuumkontakt auf der anderen Plattenseite wird die Transfer-Matrix-Methode verwendet. Auf der Vakuumseite herrscht die Randbedingung der Spannungsfreiheit vor. Auf der Flussigkeitsseite• muss die Normalauslenkung und die Normalspannung zwischen Platte und Flus•- sigkeit stetig ineinander ubergehen•. Die Scherspannung an der festussigen• Grenz ache• einer Platte mit nichtviskoser Flussigkeit• muss zu Null werden. Die Parallelauslenkung kann beliebig sein. Diese Randbedingungen lassen sich in der Transfer Matrix Formulierung (siehe Formel 80) zusammenfassen

Dicke von 1 mm fur• einen Wasserkontakt bei einer Anregungsfrequenz von 1 MHz berechnet. Die Materialparameter sind in der Tabelle 6.12 vorzu nden. Der Betrag des Re exionskoe zienten ist in Abbildung 6.76 gegen den imaginaren• Anteil der Wellenzahl kimag und den Einfallswinkel der Druckwelleaufgezeichnet.

A0

S0

Abbildung 6.76: Betrag des Re exionskoe zienten einer Edelstahlplatte mit einseitigem Wasserkontakt in Abhangigkeit• des Einfallswinkels der Druckwelle aus der Flussigkeit• und des imaginaren• Anteils der Wellenzahl auf der Platte. Zwei Maxima der Anregung der symmetrischen Lambwellengrundmode (S0) der antisymmetrischen Lambwellengrundmode (A0) sind zu sehen.

Zwischen dem Einfallswinkel der Druckwelle , dem Realteil der Wellenzahl der Lambleckwelle kreal und dem Realteil der Wellenzahl der Druckwelle im Wasser kf;real gilt die Beziehung:

Der Re exionskoe zient besitzt uber• den Einfallswinkelbereich von 0° bis 90° und einen Inhomogenitatsbereich• von -1000 1/m bis 1000 1/m zwei steile Maxima (Abbildung 6.76). Erhoht• man die Diskretisierung der Re-exionskoe zientenberechnung, dann nehmen die Betrage• der Maxima zu. Bei unendlich feiner Diskretisierung sind an diesen Stellen Polstellen vorzu-nden. Den Polstellen des Re exionskoe zienten konnen• Moden von Lambleckwellen zugewiesen werden [30, 146, 147]. Beim Maximum im unteren

Tabelle 6.12: Materialparameter und Schallgeschwindigkeiten fur• die Re e- xionsberechnungen bei Raumtemperatur.

Winkelbereich von 16° wird die symmetrische Lambwellengrundmode (S0) angeregt. Fur• das Maximum im oberen Winkelbereich von 40° wird die antisymmetrische Lambwellengrundmode (A0) erzeugt.

Die genauere Betrachtung der Re exionsmaxima fur• die antisymmetrische Lambwellengrundmodenanregung zeigt einen Anregungsbereich um den Einfallswinkel von 40° (Abbildung 6.77).

35

30

25

20

|R|

15

10

5

0

Θ in °

Abbildung 6.77: Betrag des Re exionskoe zienten einer Edelstahlplatte mit einseitigem Wasserkontakt in Abhangigkeit• des Einfallswinkels der Druckwelle aus der Flussigkeit•.

Um diesen Winkel herum kann fur• unterschiedliche Inhomogenitaten• der einfallenden Druckwelle unterschiedlich e zient die antisymmetrische Lambwellengrundmode angeregt werden (Abbildung 6.78). Fur• negative Inhomogenitaten• gibt es ein Anregungsgebiet mit einem Betrag des Re exionsko-

e zienten deutlich gro• er als 1 (Abbildung 6.78).

kimag in 1/m

Abbildung 6.78: Betrag des Re exionskoe zienten einer Edelstahlplatte mit einseitigem Wasserkontakt in Abhangigkeit• des imaginaren• Anteils der Wellenzahl auf der Platte.

Der Re exionskoe zient von gro• er 1 soll an dieser Stelle mit der Abbildung 6.79 erklart• werden. In Abbildung 6.79 a) fallt• eine inhomogene ebene Welle mit einer negativen Inhomogenitat• auf eine Platte ein. Auf der Platte kommt es aufgrund des passenden Einfallswinkels zu einem seitlichen Versatz des re ektierten Schallpro ls aufgrund einer Lambwellenanregung auf der Platte. Das seitlich verschobene Schallpro l ist in Abbildung 6.79 a) durch eine Schra ur gekennzeichnet. Die zu erwartende geometrische Re exion ist in Abbildung 6.79 a) mit grauer Farbe eingezeichnet. Betrachtet wird nun die Amplitude, die im einfallenden Strahlpro l mit (1) gekennzeichnet ist. Im Falle einer zu erwartenden geometrischen Re exion wird die Amplitude (1) auf die Amplitude (2) des geometrisch re ektierten Schallpro ls und auf die Amplitude (3) des seitlich versetzten re ektierten Schallpro ls abgebildet. Vergleicht man die Amplitude des geometrisch re ektierten Schallpro ls (2) mit der Amplitude des einfallenden Schallpro ls (1), dann erhalt• man ein Verhaltnis• von 1 und damit ein Re exionskoe zient von 1. Vergleicht man nun jedoch die Amplitude des seitlich versetzten re ektierten Schallpro ls

(3) mit der Amplitude des einfallenden Schallpro ls (1), dann erhalt• man