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•Fur• d= Lamb >> 1 kann eine Rayleighwellenabstrahlung auf der Wandlerseite der Platte gemessen werden (Bereich C von Abbildung 4.53). Die schwache Ruckseitenabstrahlung• ist der Abstrahlung von parasitar• angeregten Volumenwellen zuzuschreiben.

4.4Zusammenfassung der Ausbreitung

In diesem Kapitel wird die Ausbreitung von Rayleighund Lambwellen bei einem Kontakt zu einer Flussigkeitsschicht• und zu einem Flussigkeits•- halbraum behandelt. Mittels der Potentialtheorie und der Global-Matrix- Methode konnen• die Phasengeschwindigkeiten und der Abstrahlungskoe - zient von Rayleighund Lambwellen fur• isotrope Substrate berechnet werden. Ferner werden Schlierenoptische Messungen und Schallfeldmessungen mit einem Membranhydrophon durchgefuhrt•. Die Messergebnisse werden mit den Berechnungsergebnissen der Global-Matrix-Methode verglichen und diskutiert.

Folgende neuen Erkenntnisse konnen• aus diesem Kapitel gewonnen werden:

•Der Einphasenwandler regt auf einer Glasplatte der Dicke von 1 mm die antisymmetrische Lambwellengrundmode an.

•Der Einphasenwandler regt fur• Plattendicken kleiner als die akustische Lambwellenlange• d= Lamb < 1 Lambwellen auf einer Glasplatte an. Ist die Plattendicke gro• er als die akustische Lambwellenlange• d= Lamb > 1 dann wird auf der Wandlerseite der Platte eine Ray-

leighwelle angeregt. Dieses Ergebnis kann aus den Schallfeldmessungen

•

entnommen werden. Der Ubergangsbereich von Lambwellenanregung zur Rayleighwellenanregung ist bei d= Lamb = 1 vorzu nden.

• Abstrahlwinkelmessungen bzw. Phasengeschwindigkeitsmessungen ste-

•

hen in guter Ubereinkunft mit den Berechnungsergebnissen der Global- Matrix-Methode.

95

5Abstrahlung

5.1Grundlagen der Abstrahlung

•

Unter Modenkonversion versteht man im Allgemeinen den Ubergang einer Schwingungsform bzw. Mode in eine andere Schwingungsform bzw. Mode [53]. In dieser Arbeit wird ein Spezielfall der Modenkonversion untersucht. Hierbei erzeugt eine Lambwelle eine Druckwelle in die Flussigkeit• durch eine akustische Brechung. Dieser Vorgang soll im Folgendem Abstrahlung genannt werden und kann vereinfacht durch das Snellius sche Brechungsgesetz beschrieben werden (Gleichung 65 und 66).

5.2Abstrahlung von Rayleighwellen

5.2.1Berechnungsverfahren

In der Literatur sind verschiedene Verfahren zur Berechnung des Abstrahlungskoe zienten von Rayleighwellen zu nden. Diese lassen sich unterteilen in die Anwendung von elastischen Potentialen fur• isotrope Substrate [34, 77, 82], die Nutzung von elastischen Potentialen zusammen mit der linearisierten Navier-Stokes-Gleichung [114], der Anwendung der Partialwellentheorie fur• anisotrope Substrate [91], der akustischen Storungstheorie• [91, 93], der Normal-Moden-Theorie [23, 50], der Nutzung von akustischen Impedanzansatzen• [95] oder die Verwendung von Energieansatzen• [99, 115]. Die Normal Moden Theorie und der Energieansatz fuhren• zu geschlossenen Gleichungen. Hingegen fuhren• die elastische Potentialtheorie und die Partialwellentheorie zu charakteristischen Gleichungen oder Determinanten, deren komplexe Losungen• numerisch berechnet werden mussen•.

In diesem Kapitel wird der Abstrahlungskoe zienten von Rayleighwellen durch den Energieansatz von Salzmann und Dransfeld [99, 115] und der Abstrahlungskoe zient aus der Normal-Moden-Theorie [23, 50] mit dem elastischen Potentialansatz [34, 77, 82] verglichen. Fur• spezielle Festkoper•- Flussigkeit•-Kombinationen werden die Abstrahlungskoe zienten berechnet. Anschlie end folgt eine Diskussion der Ergebnisse.

5.2.2Energieansatz

Die Trajektorie eines Partikels an der Ober ache• des Substrates, auf der sich eine Rayleighwelle ausbreitet, ist eine retrograde Ellipse (Kapitel 2.3.1). Eine elliptische Bewegung besteht aus einer zur Ober ache• normalen und

einer zur Ober ache• parallelen Komponente. Die normale Komponente erzeugt durch die periodische Oszillation der Partikel eine periodische Dichteanderung• in der angrenzenden Flussigkeit• [99]. Dies fuhrt• zu einer Anregung von longitudinalen Schallwellen in der Flussigkeit•. Die zur Ober ache• parallele Komponente der Rayleighwellenauslenkung fuhrt• zu Reibungsverlusten innerhalb der Flussigkeit•. Dieser Vorgang wird durch die Scherviskositat• der Flussigkeit• verursacht.

Unter der Annahme eines gro en Dichteunterschiedes bzw. eines gro en akustischen Impedanzunterschiedes zwischen der Flussigkeit• und dem Substrat last• sich uber• einen Energieansatz eine Gleichung zur Beschreibung der Dampfung• von Rayleighwellen herleiten [99]. Als Ergebnis bekommt man fur• den Dampfungskoe• zienten, aufgrund einer Druckwellenanregung in die angrenzende Flussigkeit,• die Gleichung

hierbei sind f und vf die Dichte und die Schallgeschwindigkeit der Flussigkeit,•s die Dichte des Substrates, vR die Rayleighwellengeschwindigkeit und R die akustische Wellenlange• der Rayleighwelle. Die ausfuhrliche• Herleitung dieser Gleichung zusammen mit einer Herleitungsskizze ist im Anhang A.2.1 vorzu nden.

5.2.3Normal-Moden-Theorie

Der Grundgedanke der Normal-Moden-Theorie ist, dass eine Struktur schwingen kann. Diese Schwingungen werden als akustische Eigenschwingungen bezeichnet. Je nach der Anregung werden die akustischen Eigenschwingungen, auch normale Moden genannt, unterschiedlich stark angeregt. Die Summe der angeregten und gewichteten normalen Moden stellt die angeregte Schwingung dar. Aus diesem Grundansatz kann ein eindimensionales Konzept fur• die Ausbreitung von akustischen Ober achenwellen• an der Ober-ache• eines Substrates oder der Schallausbreitung in Wellenleiterstrukturen entwickelt werden [23, 50]. Diese Theorie wird Normal-Moden-Theorie genannt und hat den entscheidenden Vorteil, dass man fur• den Abstrahlungskoe zienten eine geschlossene Gleichung erhalt• [23].

Wenn eine Flussigkeit• im Kontakt mit der Substratober ache• steht, kommt es zu einer Storung• der Randbedingung der Spannungsfreiheit an der Ober-ache• . Diese Storung• kann mit der Storungstheorie• beschrieben werden [23, 50]. Es gilt die neue Randbedingung, dass die Normalspannung stetig in eine lokale Druckschwankung der Flussigkeit• ubertragen• wird. Ebenso muss

die Normalauslenkung an der Substratober ache• stetig in die Auslenkung der Flussigkeit• an der Flussigkeitsgrenz• ache• ubergehen• [23, 50].

Unter Anwendung der Normal-Moden-Theorie und der Storungstheorie• kann fur• die Abstrahlung von Druckwellen durch Rayleighwellen der Abstrahlungskoe zient

hergeleitet werden [23]. Die ausfuhrliche• Herleitung dieser Gleichung ist im Anhang A.2.2 vorzu nden. Hierbei sind ks die Scherwellenzahl und Zs die akustische Scherimpedanz des Substrates, Zf die akustische Impedanz der Flussigkeit,• R der Rayleighwinkel und fy ein dimensionsloser Parameter. Der dimensionslose Parameter

kann entweder direkt mit den Schallgeschwindigkeiten des Substrates und der Rayleighwellengeschwindigkeit oder mittels Tabellen und Graphen ermittelt werden [23]. In den Gleichungen 111 und 112 sind cR die Rayleighwellengeschwindigkeit, cl die longitudinale Schallwellengeschwindigkeit und cs die transversale Schallwellengeschwindigkeit im Substrat.

5.2.4Elastischer Potentialansatz

Die charakteristische Gleichung der Rayleighleckwelle wurde im Kapitel 2.4.1 Gleichung 64 hergeleitet. Diese Gleichung hat insgesamt acht Losungen,• wobei die kleinste reelle Nullstelle die Scholtewellenlosung• ist (vgl. Kapitel 2.4.1) [42, 43]. Desweiteren ist eine komplexe Nullstelle dieser Gleichung die Losung• der Rayleighleckwelle. In diesem Fall ist die Phasengeschwindigkeit der Rayleighleckwelle gro• er als die Schallgeschwindigkeit in der angrenzenden Flussigkeit•. Dies bedeutet, dass in Gleichung 64 die rechte Seite komplex bleibt. Somit ist diese Gleichung nur durch einen komplexen Wellenvektor k losbar•. Im komplexen k-Raum stellt die Rayleighleckwellenlosung• einen Vektor dar (Abbildung 5.54). Der Realteil der Losung• beschreibt die Phasengeschwindigkeit der Rayleighleckwellen mit der Gleichung 94. Der Ima-

Tabelle 5.9: Vergleich der Rayleighwellenabstrahlungskoe zienten von unterschiedlichen Theorien fur• verschiedene Festkoper•-Flussigkeit•- Kombinationen und einer Rayleighwellenfrequenz von 1 MHz.

ginarteil• der Losung• legt den Abstrahlungskoe zienten mit der Gleichung 95 fest.

k imag

k

k Dämpfung

k Ausbreitung

k real

Abbildung 5.54: Die Rayleighleckwellenlosung• stellt im komplexen k-Raum einen k-Vektor mit einem reellen und einem imaginaren• Anteil dar.

5.2.5Vergleich der Ans•atze

Um die drei Theorien miteinander zu vergleichen, werden die Dampfungs•- koe zienten von Rayleighwellen fur• die Materialkombinationen Glas - Wasser, Aluminium - Wasser und Stahl - Wasser berechnet (Tabelle 5.9). Die zur Berechnung notwendigen Materialparameter sind in Tabelle 5.10 zusammengefasst.

Tabelle 5.10: Materialparameter und Schallgeschwindigkeiten fur• die Berechnungen des Modenkonversionskoe zienten.

Die Berechnungsergebnisse der Abstrahlungskoe zienten von Rayleighwellen der unterschiedlichen Berechnungsverfahren liegen in der gleichen Gro• enordung (Tabelle 5.9). Der relative Unterschied zwischen dem geringsten und dem gro• ten berechneten Wert liegt fur• Glas - Wasser bei 1,2 % fur• Aluminium - Wasser bei 1,1 % und bei Stahl - Wasser bei 7,9 %. Die leicht unterschiedlichen Berechnungsergebnisse sind auf die unterschiedlichen theoretischen Annahmen eines Energieansatzes, eines Normalmodenansatzes und eines elastischen Potentialansatzes zuruckzuf•uhren•. Nur die beiden Formeln fur• den Modenkonversionskoe zient von Rayleighwellen nach dem Energieansatz und dem Normal-Moden-Ansatz lassen sich miteinander vergleichen, da es sich beim Potentialansatz um eine numerische Methode handelt, die keine geschlossene Gleichung liefert. Diese sollen im Folgenden miteinander verglichen werden.

Die Dampfungskoe• zientenformel nach dem Energieansatz (Gleichung 109) lasst• sich unter der Annahme

umschreiben zu

Ebenso lasst• sich die Abstrahlungskoe zientengleichung der Normal-Moden- Theorie (Gleichung 110) umformen zu

Aus den beiden umgeschriebenen Gleichungen ist ersichtlich, dass in beiden Gleichungen die akustische Impedanz der Flussigkeit• Zf , die akustische

Scherwellenimpedanz des Substrates Zs, die Scherwellengeschwindigkeit des Substrates cs und die Frequenz f eingehen. Diese vier physikalischen Gro• en sind das Grundgerust• beider Gleichungen. Die Vorfaktoren der beiden umgeschriebenen Formeln sind voneinander verschieden. Dieser Vorfaktor macht den Unterschied bei den Berechungsergebnissen in Tabelle 5.10 aus.

5.2.6Ergebnisse des Vergleichs der Modenkonversionans•atze fur• Rayleighwellen

Folgende neue Aussagen konnen• dem Unterkapitel der Abstrahlung von Rayleighwellen entnommen werden:

•Die Berechnungsergebnisse der Abstrahlungskoe zienten von Rayleighwellen der unterschiedlichen Berechnungsverfahren (Energieansatz, Normal-Moden-Theorie und elastischer Potentialansatz) liegen in der gleichen Gro• enordung.

•Der Energieansatz und die Normal-Moden-Theorie liefern geschlossene Gleichungen. Hingegen muss bei der Potentialtheorie die Losung• numerisch gesucht werden.

•Der Abstrahlungsprozess von Rayleighwellen wird primar• durch die akustische Impedanz der Flussigkeit• Zf , die akustische Scherwellenimpedanz des Substrates Zs, die Scherwellengeschwindigkeit des Substrates cs und die Frequenz f bestimmt.

•Fur• eine zugige• Berechnung des Abstrahlungskoe zienten wird die Abstrahlungsgleichung des Energieansatzes empfohlen (Gleichung 109), da diese am einfachsten und schnellsten zu berechnen ist.

5.3Abstrahlung von Lambwellen

5.3.1Berechnungsverfahren

In der Literatur sind unterschiedliche Verfahren zur Berechnung des Abstrahlungskoe zienten von Lambwellen vorzu nden. Bei einem der ersten Ansatze• handelt es sich um einen Reihenentwicklungsansatz [87]. Ferner werden akustische Impedanzansatze• [84, 94, 95], die Normal-Moden-Theorie [23], die Partialwellentheorie fur• anisotrope Substrate [92] und die elastische Potentialtheorie bzw. die daraus resultierende Global-Matrix-Methode [74] fur• isotrope Substrate verwendet.

In diesem Kapitel wird die Normal-Moden-Theorie, die zu einer geschlossenen Gleichung fur• den Abstrahlungskoe zieten von Lambwellen fuhrt,• mit der numerischen Global-Matrix-Methode verglichen und diskutiert.

5.3.2Normal-Moden-Theorie

Das Grundkonzept der Normal-Moden-Theorie zusammen mit der Storungs•- theorie wird in Kapitel 5.2.3 beschrieben. Durch die Anwendung beider Theorien kann fur• eine Platte, die auf beiden Seiten mit einer Flussigkeit• im Kontakt steht, der Abstrahlungskoe zient mit der geschlossenen Gleichung

beschrieben werden. Eine ausfuhrliche• Herleitung dieser Gleichung ist im Anhang Kapitel A.3.1 vorzu nden. In Gleichung 116 handelt es sich beiLamb;n;NMT um den Modenkonversionskoe zient der n-ten Lambwellenmode, d um die Dicke der Platte, ! ist die Kreisfrequenz, Zf die akustische Impedanz der Flussigkeit,• juny (d=2)j ist die Normalauslenkung an der Plattenober ache• d/2, Pn der durchschnittliche Leistungs uss und Lamb;n der Lambwinkel der n-ten Lambwellenmode.

Der durchschnittlich Leistungs uss der n-ten Lambwellenmode lasst• sich berechnen mit [50, 97]

In dieser Gleichung ist die Plattendichte, ! die Kreisfrequenz, d die Plattendicke, cgn die Gruppengeschwindigkeit , junyj2 die Verschiebung in y-Richtung und junzj2 die Verschiebung in z-Richtung der n-ten Lambwellenmode. Es wird in die Plattendickenrichtung y integriert.

Die Verschiebungen junyj2 und junzj2 uber• die gesamte Plattendicke (Gleichung 117) und die Verschiebung juny (d=2)j an der Plattenober ache• (Gleichung 116) werden mittels der Gleichungen 40 aus der elastischen Potentialtheorie berechnet.

Die Gruppengeschwindigkeit cgn der n-ten Lambwellenmode kann uber• den Zusammenhang

berechnet werden. Eine ausfuhrliche• Herleitung dieser Gruppengeschwindigkeitsgleichung ist im Anhang Kapitel A.4 aufzu nden. Zur Berechnung der Gruppengeschwindigkeitsdispersionskurven werden die Dispersionskurven aus den beiden Rayleigh-Lamb-Frequenzgleichungen (Gleichungen 48 und 49) nach dem Frequenz-Plattendicke-Produkt abgeleitet und in die Gleichung 118 eingesetzt.

Der Abstrahlungskoe zient (Gleichung 116) hangt• von der Lambwellenart durch die Normalauslenkung der Platte an der Ober ache• juny (d=2)j, des durchschnittlichen Leitungs usses Pn und des Cosinus des LambwinkelsLamb;n ab. Ferner ist die akustische Impedanz der Flussigkeit• Zf , die Frequenz f uber• die Kreisfrequenz ! und die Plattendicke d von Bedeutung. Die starke Abhangigkeit• der Abstrahlung von der Lambwellenart, insbesondere der Lambwellennormalauslenkung, ist experimentell und theoretisch aus der Literatur bekannt [24, 34, 85]. Jedoch erlaubt die Normal Moden Theorie erstmals den Zugang zu diesen physikalischen Gro• en uber• eine geschlossene Formel, die beim Abstrahlungsprozess von Bedeutung sind (Gleichung 116).

Gleichung 116 beschreibt den Abstrahlungskoe zienten einer Platte, die auf beiden Seiten im Flussigkeitskontakt• steht. Fur• die Berechnung der Abstrahlung von einer Platte mit einem nur einseitigen Kontakt zur Flussigkeit• wird die Abstrahlungsgleichung zusatzlich• durch Zwei geteilt.

5.3.3Global-Matrix-Methode

Mit der Global-Matrix-Methode (Kapitel 3.2.3) kann durch die Einfuhrung• einer komplexen Wellenzahl und den entsprechenden Grenzbedigungen der Abstrahlungskoe zient von Lambwellen im Kontakt zu einer Flussigkeit• berechnet werden. Hierbei stellt der komplexe Anteil der numerisch berechneten Wellenzahl den Abstrahlungskoe zienten dar (Gleichung 95). Dieser kann fur• die jeweiligen Moden uber• den Frequenz-Plattendicke-Produktbe- reich als Dampfungsdiagramm• aufgetragen werden.

5.3.4Vergleich der Ans•atze

Sowohl mit der Normal-Moden-Theorie als auch mit dem Global-Matrix- Verfahren werden die Dampfungsdiagramme• fur• die Materialkombinationen