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Dispersionsund der Dampfungsdiagramme• von Lambwellen haben sich die Transfer-Matrix-Methode und die Global-Matrix-Methode etabliert. In dieser Arbeit wird die Global-Matrix-Methode fur• ein Mehrschichtsystem mit Abstrahlungsdampfung,• Materialdampfung• und Viskositatsd•ampfung• implementiert. Die Tranfer-Matrix-Methode wird im Kapitel 6 fur• die Herleitung der Re exionskoe zienten verwendet. Die Global-Matrix-Methode ist eine numerische Methode. Fur• ein Mehrschichtsystem ohne Dampfung• mussen• reelle Nullstellen der charakteristischen Determinanten gefunden werden. Diese liefern die Wellenzahl der im Mehrschichtsystem ausbreitungsfahigen• Lambwellenmoden. Fur• ein Mehrschichtsystem mit Abstrahl- ungs-, Materialund Viskositatsd•ampfung• mussen• im komplexen Wellenzahlenraum Minima gesucht werden. Der Realteil der gefundenen Wellenzahlen kann mit der Phasengeschwindigkeit der ausbreitungsfahigen• Lambwellenmoden verknupft• werden. Der Imaginarteil• beschreibt den Dampfungs•- koe zienten.

Die Abstrahlungsdampfung,• die Materialdampfung• und die Viskositatsd•ampf•- ung werden fur• die Festkorper•-Flussigkeit•-Kombination Glas - Wasser berechnet und diskutiert. Dispersionsmessungen mit Laseranregung werden mit dem Ergebnis der Global-Matrix-Methode verglichen. Ferner werden Laser-Doppler-Vibrometeraufnahmen der Lambwellenanregung von einem Einphasenwandler gemacht und diese der Beugungstheorie gegenubergestel•- lt.

Folgende neuen Ergebnisse konnen• diesem Kapitel entnommen werden:

•Bei technisch ublichen• Festkorper• - Flussigkeit• - Kombinationen (z. B. Glas - Wasser oder Aluminium - Wasser) tragt• die Abstrahlung von Druckwellen in die Flussigkeit• hauptsachlich• zur Dampfung• bei. Die Materialdampfung• und Viskositatsd•ampfung• konnen• in erster Naher•- ung vernachlassigt• werden.

•Ein Vergleich der Dispersionsmessungen und -berechnungen zeigt eine

•

gute Ubereinstimmung zwischen Messungen und Theorie.

• Die Laser-Doppler-Vibrometeraufnahmen der Lambwellenanregung

•

durch einen Einphasenwandler zeigt einen Ubergang zwischen Nah-

•

feldbeugung und Fernfeldbeugung. Die errechnete Ubergangslange• zwischen den beiden Beugungsregionen xF 2; 4 mm stimmt mit den Laser-Doppler-Aufnahmen uberein•.

2,4 mm

6 mm

•

Abbildung 3.31: Die Ubergangsweglange• zwischen Nahund Fernfeld von 2,4 mm und die Apertur des Einphasenwandlers von 6 mm sind in die Laser-Doppler-Vibrometeraufnahme eingezeichnet. Das Abstrahlungspro l

•

des Einphasenwandlers zeigt einen Ubergang zwischen einer Abstrahlung einer parallelen Wellenfront im Nahfeld und einer kreisformige• Wellenfront im Fernfeld.

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4Ausbreitung

4.1Ausbreitung von Rayleighund Lambwellen

4.1.1Grundlagen der Ausbreitung

Die Ausbreitung von Rayleighund Lambwellen wird durch die Phasengeschwindigkeit und den Abstrahlungskoe zienten beschrieben. In der Literatur sind sowohl theoretische als auch experimentelle Arbeiten zum Ein-uss von Flussigkeit• auf die Ausbreitung von Rayleighund Lambwellen vorzu nden [33, 34, 81{90]. Die gebrauchlichste• Berechnungsmethode basiert auf der elastischen Potentialtheorie. Mittels der Beschreibung der Wellenausbreitung durch elastische Potentiale konnen• uber• die entsprechenden Randbedingungen die Phasengeschwindigkeit und der Abstrahlungskoe zient von Rayleigh und Lambwellen fur• isotrope Substrate berechnet werden [33, 34, 82, 83, 86, 88]. Fur• anisotrope Substrate wird die Partialwellentechnik verwendet [91, 92]. Ferner wurden die Storungstheorie• [93], akustische Impedanzansatze• [84, 94, 95], ein Naherungsansatz• [87], die Normal-Moden- Theorie [23, 96{98] oder ein Energieansatz [99] hergeleitet und angewandt.

In der Literatur ist keine zusammenhangende• vollstandige• Untersuchung des Ein usses von einer nichtviskosen Flussigkeitsschicht• bzw. eines Flussigkeits•- halbraums auf die Ausbreitung von Rayleighund Lambwellen vorzu nden. Es lassen sich nur einzelne Vero• entlichungen nden, die einzelne Teilaspekte behandeln. Der Ein uss einer Flussigkeitsschicht• auf die Rayleighwellengeschwindigkeit wurde erstmals von Biot untersucht [82]. Erwing diskutiert nur den Ein uss einer nichtviskosen Flussigkeitsschicht• auf die Rayleighwellengeschwindigkeit und der Fall einer in einer Flussigkeit• eingetauchten Platte [83]. Viktorov behandelte den Ein uss von einer nichtviskosen Flussigkeitsschicht• und eines nichtviskosen Flussigkeitshalbraumes• auf die Rayleighwellenausbreitung und den Ein uss eines nichtviskosen Flussigkeits•- halbraums auf die Lambwellenausbreitung [34]. Jedoch wurde hierbei der Abstrahlungskoe zient nicht ausfuhrlich• betrachtet. Qi untersuchte den Ein uss der viskosen Dampfung• und der Warmeleitung• auf gedampfte• Rayleighleckwellen in Grenzschichten [77]. Wu und Zhu berechneten den Ein-uss von Flussigkeitsschichten• auf die Phasengeschwindigkeit von Lambwellen [100, 101].

In diesem Kapitel wird der Ein uss einer nichtviskosen Flussigkeitsschicht• und eines nichtviskosen Flussigkeitshalbraums• auf die Phasengeschwindigkeiten und die Abstrahlungskoe zienten von Rayleighund Lambwellen mittels der Potentialtheorie erstmals detailliert untersucht. Da fur• viele

Tabelle 4.7: Materialparameter zur Berechnung der Ausbreitungsparameter fur• die Festkorper•-Flussigkeit•-Kombination Glas - Wasser.

Sensorund Aktoranwendungen die antisymmetrische Lambwellengrundmode im unteren Frequenz-Plattendicke-Produktbereich verwendet wird [8,

•

102, 103], wird dieser Abschnitt genauer diskutiert. Um die Anderung der Phasengeschwindigkeit und des Abstrahlungskoe zients an einem praktischen Beispiel zu verdeutlichen, werden diese fur• die Festkorper•-Flussig•- keitKombination Glas-Wasser berechnet. Die den Berechnungen zugrundeliegenden Materialparameter sind in der Tabelle 4.7 vorzu nden.

4.1.2Rayleighwelle mit Flussigkeitshalbraum•

Die charakteristische Gleichung zur Beschreibung der ausbreitungsfahigen• akustischen Ober achenwellen• an der Grenz ache• zwischen einem Festkorperhalbraum• und einem Flussigkeitshalbraum• kann mit Hilfe der Potentialtheorie hergeleitet werden. Hierbei wird als Grenzbedingung ein ste-

•

tiger Ubergang zwischen Normalauslenkung und Normalspannung und ein Verschwinden der Tangentialspannung an der Grenz ache• festussig• angesetzt (vgl. Kapitel 2.4.1). Hierdurch erhalt• man die Gleichung 64. Diese Gleichung besitzt acht Nullstellen auf acht Riemannschen Flachen• [42]. Die Wellenzahl, die zur reellen Nullstelle gehort,• beschreibt mit der Kreisfrequenz die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Scholtewelle [36, 43]. Die zwei komplex konjugierten Wellenzahlennullstellen, deren Wellenzahlrealteile etwas geringer als die Wellenzahl der freien Rayleighwelle sind, stellen die Rayleighleckwelle dar [36, 42]. Der Realanteil kann mittels Gleichung 94 mit der Phasengeschwindigkeit und deren Imaginarteil• durch Gleichung 95 mit dem Abstrahlungskoe zienten in Verbindung gebracht werden. Ein Kontakt zu einem Flussigkeitshalbraum• fuhrt• zu einem leichten Anstieg der Phasengeschwindigkeit der Rayleighleckwelle. Demnach ist diese immer leicht gro• er als die Phasengeschwindigkeit der freien Rayleighwelle. Je gro• er das Dichteverhaltnis• zwischen der Flussigkeit• und dem Substrat ist, desto gro• er ist die Geschwindigkeitszunahme [86]. Fur• den Fall eines Glashalbraums und eines Wasserhalbraums an dessen Zwischen ache• eine Rayleighleckwelle lauft,• hat diese fur• eine Anregungsfrequenz von 1 MHz eine Phasengeschwindigkeit von

und einen Abstrahlungskoe zienten von

Die freie Rayleighwellengeschwindigkeit betragt• fur• Glas

•

An diesem Beispiel ist ersichtlich, dass die Anderung der Phasengeschwindigkeit deutlich geringer als 1 Prozent ist. Der Abstrahlungskoe zient liegt in einem Bereich, indem schon nach einigen Zentimetern Laufstrecke die Rayleighleckwelle ihre Energie vollstandig• in die Flussigkeit• abgestrahlt hat.

4.1.3Rayleighwelle mit Flussigkeitsschicht•

Ist der Substrathalbraum mit einer Flussigkeitsschicht• bedeckt, dann kann durch die Verwendung der elastischen Potentialtheorie eine charakteristische Gleichung hergeleitet werden. Hierbei muss als Randbedingung die Normalauslenkung und die Normalspannung an der festussigen• Grenz ache• die gleichen Werte besitzen. Ferner muss an der Grenz ache• Flussigkeit•- Vakuum die Normalspannung bzw. im Fall einer Flussigkeit• der Flussig•- keitsdruck verschwinden [82]. Diese fuhrt• zur charakteristischen Gleichung

q

hierbei ist l = kf2 k2 und h ist die Hohe• der Flussigkeitsschicht• [88].

Die Rayleighwellengleichung fur• einen Halbraum mit Flussigkeitsschicht•- bedeckung wurde von Biot erstmals publiziert [82]. In den ersten Vero• entlichungen von Viktorov be ndet sich ein Vorzeichenfehler in dessen Gleichung [34, 86]. Dieser wurde zu einem spateren• Zeitpunkt von ihm korrigiert [88].

Abhangig• vom Verhaltnis• der Wellenlange• zur Flussigkeitsschicht• gibt es eine oder mehrere reelle Nullstellen. Es gibt keine komplexen Nullstellen, wie im Fall einer Rayleighwelle im Kontakt mit einem Flussigkeitshalbraum•. Zu begrunden• ist dies durch die endliche Hohe• der Wasserschicht. Die Rayleighleckwelle erzeugt eine Druckwelle unter dem Rayleighwinkel in der

•

Uber den gesamten Wasserschichthohenbereich• existiert die Rayleighwellengrundmode (Abbildung 4.32). Die Rayleighwellengrundmodengeschwindigkeit beginnt bei einer Schichtdicke von 0 mm mit der freien Rayleighwellengeschwindigkeit und nahert• sich fur• eine gro e Schichtdicke asymptotisch der Scholtewellengeschwindigkeit an. Fur• gro• ere Wasserschichthohen• kann es zur Ausbreitung von hoheren• Rayleighwellenmoden kommen. Die Phasengeschwindigkeiten der hoheren• Rayleighwellenmoden starten mit der Scherwellengeschwindigkeit im Substrat und nahern• sich fur• gro e Wasserschichthohen• der Schallausbreitungsgeschwindigkeit in der Flussigkeit• an. Das Einsetzen von hoheren• Moden fur• gro• ere Wasserschichthohen• ist der Tangensfunktion in der Gleichung 105 zuzuschreiben und hangt• von der Schichthohe• h, der Wellenzahl kf der Schallwelle in der Flussigkeit• und der Wellenzahl k der Rayleighwelle ab.

4.1.4Lambwelle mit Flussigkeitshalbraum•

Zur Berechnung der Ausbreitung von Lambwellen bei einem Kontakt mit einem Flussigkeitshalbraum• wird die Global-Matrix-Methode herangezogen, welche ausfuhrlich• im Kapitel 3 Dispersion beschrieben wird.

Zur Verdeutlichung wird das Dispersionsdiagramm und das Dampfungs•- diagramm einer Glasplatte mit einem Kontakt zu einem Wasserhalbraum auf der einen Seite und einem Kontakt zu einem Vakuumhalbraum auf der anderen Seite berechnet. Um die Ausbreitung von transversalen Schallwellen im Wasserhalbraum zu unterdrucken,• wird der transversalen Schallgeschwindigkeit der Wert 0,0001 m/s zugewiesen. Der Vakuumhalbraum wird durch das Nullsetzen der Dichte des Halbraums simuliert. Das Dispersionsdiagramm und das Dampfungsdiagramm• sind in den Abbildungen 4.33 und 4.34 dargestellt.

Wie im Dispersionsdiagramm einer freien Platte ohne Flussigkeitskontakt• (Abbildung 2.5) existiert eine antisymmetrische (A0) und eine symmetrische Lambleckwellenmode (S0) (Abbildung 4.33). Ferner gibt es eine weitere Mode, die Quasi-Scholte-Plattenmode (QSP) genannt wird. Die Quasi- Scholte-Plattenmode existiert uber• den gesamten Frequenz-Plattendicke-- Produktbereich und nahert• sich fur• gro e Frequenz-Plattendicke-Produkte der Schallgeschwindigkeit der Flussigkeit• asymptotisch an. Bei Vernachlassigung• von Materialdampfung• der Platte und Viskositatd•ampfung• der Flussigkeit• besitzt sie keine Dampfung•. Ab einem Frequenz-Plattendicke-- Produktbereich ist die Ausbreitung einer antisymmetrischen Lambleckwelle moglich•. Ihre Phasengeschwindigkeit ist verglichen mit der Phasengeschwindigkeit der freien antisymmetrischen Lambwellengrundmode der Platte leicht

Tabelle 4.8: Vergleich der Phasengeschwindigkeiten der antisymmetrischen Lambwellengrundmode (A0) in einer Glasplatte fur• einen Kontakt zu einem Wasserhalbraum.

Wie aus den Dispersionsdiagrammen fur• eine Wasserbelegung von 0,1 mm, 0,25 mm und 0,5 mm hervorgeht (Abbildung 4.35 - 4.37), fuhrt• ein Anstieg der Wasserschichthohe• zu einer Verringerung der Phasengeschwindigkeit der antisymmetrischen Grundmode. Dieses Verhalten ist fur• hohere• Wasserschichthohen• und gro e Frequenz-Plattendicke-Produkte starker• ausgepragt• als fur• kleine Wasserschichthohen• und kleine Frequenz-Plattendicke- Produkte. Die Abnahme der Phasengeschwindigkeit mit zunehmenden Wasserschichtdicke bestatigt• altere• Berechnungen aus der Literatur [100, 101]. Mit zunehmender Wasserschichthohe• kommt es zu einer Verschiebung der Grenzfrequenz-Plattendicken-Produkte von hoheren• Moden zu niedrigeren Frequenz-Plattendicken-Produkten. In dem Dispersionsdiagramm (Abbildung 4.37) ist deutlich eine sogenannte Modenabsto ung [104] zu erkennen. An den Absto ungsbereichen der Moden kann es zu Modenuberg•angen• von symmetrischen in antisymmetrischen Moden und umgekehrt kommen [105].

4.1.6Diskussion der Ausbreitung von Rayleighund Lambwellen

Fur• eine Rayleighwelle im Kontakt mit einem Flussigkeitshalbraum• (Abbildung 4.38 a)) erhalt• man eine geringe Zunahme der Rayleighwellenge-

schwindigkeit (vRayleigh,Flussigkeit• = 3104 m/s) verglichen zu dem Fall ohne Flussigkeitskontakt• (vRayleigh,frei = 3100 m/s). Eine mogliche• Erklarung• der Zunahme der Rayleighwellengeschwindigkeit konnte• die Anwesenheit einer zusatzlichen• Federkraft von Seiten der Flussigkeit• an der festussigen• Grenz ache• sein. Diese ist bei der freien Ober ache• nicht vorhanden. Eine zusatzliche• Stei gkeit aufgrund der zusatzlichen• Federkraft der Flussigkeit• fuhrt• zu einer Zunahme der Phasengeschwindigkeit der Rayleighwelle an der festussigen• Grenz ache• . Desweitern kann ein Abstrahlungskoe zient ( Rayleigh = 69,6 Neper/m) berechnet werden, da die Rayleighwelle eine Druckwelle in den Flussigkeitshalbraum• abstrahlt und auf diese Weise Energie verliert. Ist der Festkorperhalbraum,• auf dem die Rayleighwelle lauft,• mit einer Flussigkeitsschicht• bedeckt (Abbildung 4.38 b)), dann fallt• die Rayleighwellengeschwindigkeit mit steigender Flussigkeitsschichtdicke• auf die Scholtewellengeschwindigkeit ab (Berechnungsergebnisse in Abbildung