книги / 41

2.3.МНОГОМЕРНЫЙ КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

Всовременной судебно-медицинской антропологии чаще всего приходится оперировать с многофакторными статистическими связями, выражающими статистическую зависимость идентифицируемого параметра от группы идентифицирующих признаков. Среди судебно-медицинских исследований, основанных на корреляцион- но-регрессионном анализе, многомерная модель последнего использовалась в 7 (58%) статьях (95% доверительный интервал: 2885%).

Математической моделью многомерного корреляционного анализа является генеральная совокупность k признаков, совместное распределение которых задано плотностью k-мерного нормального

ной матрицы Σ легко получить симметрическую и неотрицательно определенную корреляционную матрицу

Показателем меры линейной зависимости х1 от (x2 ,K, xk ) слу-

жит множественный коэффициент корреляции или его квадрат – множественный коэффициент детерминации, определяемый по формуле

где R - определитель этой матрицы; R11 - алгебраическое дополнение элемента r11 корреляционной матрицы R4.

4 В матричном исчислении алгебраическим дополнением Aij элемента aij

ром Mij элемента aij определителя матрицы n-го порядка называется опре-

делитель матрицы (n – 1)-го порядка, полученной из данной матрицы вычеркиванием ее i-й строки и j-го столбца.

51

Частным коэффициентом корреляции компонент х1 и х2, измеряющим тесноту связи между х1 и х2 после устранения влияния компонент (x3 , x4 K, xk ), является величина

где R11,R12 и R22 - алгебраические дополнения соответствующих

элементов матрицы R.

Изложенное можно пояснить на трехмерной модели корреляционного анализа.

Для нормальной распределенной трехмерной генеральной совокупности с признаками (х1, х2 , х3 ) корреляционная матрица пред-

ставлена квадратной матрицей третьего порядка

где ρij - коэффициенты парной корреляции между соответствую-

щими переменными. Определитель матрицы равен

1ρ12 ρ13

R3 = ρ21 1 ρ23 = 1+ ρ12 ρ23 ρ31 + ρ13 ρ21ρ32 −1ρ13 ρ31 − ρ31 ρ32 1

−1ρ12 ρ21 −1ρ23ρ32 = 1+ 2ρ12 ρ23ρ13 − ρ132 − ρ122 − ρ232 .

Вычислим алгебраические дополнения определителя матрицы

R3 :

52

Отсюда находим, в частности, коэффициенты ρ1/ 23 множественной и ρ12 / 3 частной корреляции

ρ23/1 частной корреляции вычисляются аналогично.

Выборку объема n из k-мерной генеральной совокупности Х можно представить в виде матрицы Х (2). В этом случае точечные оценки вектора математических ожиданий матрицы Х представле-

1 n ны k-мерным вектором выборочных средних xl = n ∑i=1 xil ,

l = 1,2,K,k . Несмещенной оценкой ковариационной матрицы Σ является матрица S (3).

Оценкой корреляционной матрицы (ρlj ) тогда служит матрица

Учитывая, что показателем тесноты связи между переменными является среднее произведение нормированных отклонений, мат-

рицу R можно выразить также как R = 1 Z T Z , n

53

Используя матрицу выборочных коэффициентов корреляции, получаем формулы для расчета точечных оценок коэффициентов множественной и частной корреляции

Остальные выборочные коэффициенты r2 /13 , r3/12 множественной и r13/ 2 , r23/1 частной корреляции вычисляются аналогично.

Проверка значимости множественного коэффициента детерминации ρ2 осуществляется помощью F-распределения:

При превышении F-статистики ее критического значения нулевая гипотеза ρ 2 = 0 отвергается с вероятностью ошибки, равной α.

Статистическая значимость частных коэффициентов корреляции проверяется на основании t-распределения с v = n − k степенями свободы

Значимость парных, множественных и частных коэффициентов корреляции зависит от объема выборок [13,114]. Приведенные критерии значимости основываются на допущениях линейного регрессионного анализа относительно требований нормальности распределений и постоянства дисперсий остатков для множества значений каждой независимой переменной (подробнее см. раздел 3.2). Исследования методом Монте-Карло показали, что нарушение этих условий не является критичным, если размеры выборки не слишком малы, а отклонения от нормальности не очень большие [13].

54

Интервальные оценки для значимого множественного коэффициента корреляции находятся также с помощью преобразования

Р.А. Фишера (6) с дисперсией, приблизительно равной sz2 = 1 для n

достаточно больших значений n [26].

Для демонстрации трехмерной модели корреляционного анализа продолжим исследование возможности гистометрической идентификации гестационного возраста. Пусть целью исследования будет определение возможностей идентификации гестационного возраста одновременно по двум гистометрическим показателям селезенки: диаметру лимфоидных узелков и толщине стенок центральных артерий. В терминах математической статистики названная цель представляет собой задачу определения коэффициента множественной корреляции гестационного возраста с указанными гистометрическими структурами фетальной селезенки.

Введем условные обозначения: y – гестационный возраст, недель; х – диаметр лимфоидных узелков селезенки, мкм; z - толщина стенок центральных артерий селезенки, мкм.

Выборка в количестве 99 наблюдений из трехмерной генеральной совокупности Х была представлена матрицей

с вектором точечных оценок математических ожиданий

55

Рис. 4. Взаимозависимость гестационного возраста и гистометрических показателей фетальной селезенки (n = 99). По оси X – диаметр лимфоидных узелков, мкм; по оси Z – толщина стенок центральных артерий, мкм; по оси Y – гестационный возраст, недель.

56

Итак, точечные оценки дисперсий и стандартных отклонений

sz2 = 5,553; sz = 2,356.

Получаем оценку корреляционной матрицы (ρlj )

Используя матрицу выборочных коэффициентов корреляции, определим точечные оценки коэффициентов множественной и частной корреляции

Проверим значимость множественного коэффициента детерминации:

Для определения интервальных оценок рассчитаем статистику Р.А. Фишера (6)

zr = 0,5ln 0,731+1 = 0,930 1− 0,731

Тогда 95% доверительный интервал для zr задается выражением 0,729 < zr < 1,131,

откуда получаем интервальные оценки ρ и ρ 2 : 0,619 < ρ < 0,807; 0,384 < ρ 2 < 0,651,

которые позволяют утверждать, что доля общей дисперсии показателя гестационной динамики, которую можно прогнозировать по

57

показателям диаметра лимфоидных узелков и толщины стенок центральных артерий фетальной селезенки, с 95% вероятностью находится в пределах 38,6—65,5%.

Проверим значимость частных коэффициентов корреляции с

При v = n − k степенях свободы соответствующие вероятности ошибочного принятия альтернативной гипотезы ρ ≠ 0 составляют

p = 1,153 10−8 для ryx / z и p = 9,298 10−7 для ryz / x .

Определим интервальные оценки частных коэффициентов корреляции

0,379 < ρ yx / z < 0,662;

0,301 < ρ yz / x < 0,610;

и детерминации

0,144 < ρ yx2 / z < 0,439;

0,091 < ρ yz2 / x < 0,372.

Частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного коэффициента корреляции и служит показателем линейной связи между двумя случайными переменными независимо от влияния остальных случайных переменных. Например, сравним модули коэффициентов парной корреляции диаметра лимфоидных узелков с гестационным возрастом (ryx = 0,633) и аналогичной частной

корреляции при фиксированном показателе толщины стенок центральных артерий (ryx / z = 0,537). Неравенство ryx < ryx / z означает,

что взаимозависимость между диаметром лимфоидных узелков и гестационным возрастом частично обусловлена воздействием на эту пару показателя толщины стенок центральных артерий.

Кроме частного коэффициента корреляции существует также еще один показатель уникальности взаимозависимости между данной независимой переменной и результативным признаком, называемый получастным коэффициентом корреляции (semi-partial correlation) [13].

58

2.4. РАНГОВАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Корреляционный анализ возможен при выполнении трех условий: линейность взаимосвязи, нормальность распределения и количественный характер признаков. В судебно-медицинской антропологии эти условия выполняются далеко не всегда. По выборочным данным доля судебно-медицинских антропологических исследований с использованием корреляционного анализа, в которых изучались взаимосвязи с ранговыми показателями, составила 8% (95% доверительный интервал: 0-39%). В этих случаях использование методов классического корреляционного анализ либо неэффективно, либо не применимо.

Поэтому для изучения тесноты связей между неколичественными признаками, а также количественными признаками с непрерывными неизвестными или не подчиняющимися нормальному закону распределениями применяются методы ранговой корреляции.

Под рангом наблюдаемого значения хi признака х называется номер этого наблюдения в ранжированном ряду х1 ≤ х2 ≤ K ≤ хn

при условии, что неравенства - строгие. Если в ранжированном ряду встречаются одинаковые члены, то в качестве одинаковых рангов берется средняя арифметическая соответствующих номеров.

Пусть имеется выборка объема n из непрерывно распределенной двумерной генеральной совокупности (x,y): (x1, y1 )K(xn , yn ). Если

выборка упорядочена по х, то ей соответствует следующая матрица

в которой первая строка состоит из рангов наблюдений х, а вторая – из рангов у.

Очевидно, что детерминированной (функциональной) положительной связи между х и у соответствует подстановка

детерминированной отрицательной связи - подстановка

59

Остальные возможные подстановки получаются при той или иной степени связи, являющейся собственно стохастической. Количество таких подстановок равно n − 2.

Для измерения степени связи между х и у используются понятия инверсии (беспорядка) и порядка. Если Ri > Rj, но в ранжированном ряду Ri стоит слева от Rj, то такая локализация называется инверсией между элементами перестановки Ri и Rj второй строки подстановки. Если при том же расположении Ri < Rj, то считают, что элементы Ri и Rj инверсии не образуют или образуют порядок [26].

В качестве меры связи принимают разность между суммами чисел порядков N и Q, образованных элементами второй строки подстановки. Учитывая, что общее количество различных подстановок составляет n!, можно определить вероятности получения перестановок с заданной мерой связи. Например, в таблице 3 приведены расчеты для подстановок из трех элементов.

В теории доказывается, что сумма числа порядков N и инверсий Q равна сумме номеров перестановки, т.е. 1+ 2 +K + n = n(n +1) / 2, а распределение вероятностей симметрично относительно центра SK, равного нулю.

Коэффициент ранговой корреляции Кендалла определяется нормированием случайной величины SK путем ее деления на n(n −1) / 2:

При больших объемах n можно использовать нормальный закон распределения rK с математическим ожиданием, равным нулю и

60