книги / 41

4.3. ОДНОМЕРНАЯ БИНОМИАЛЬНАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ БИОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, НЕ ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ НОРМАЛЬНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ

Единственным предположением, которому должны соответствовать эмпирические данные при проведении одномерной биномиальной классификации, является хотя бы приближенное их подчинение нормальному закону [110,140,159]. При невыполнении данного предположения или при неизвестном типе распределения результаты любого из изложенных методов одномерной классификации будут некорректными. Несмотря на это авторы отдельных методик идентификации пола при создании последних, тем не менее, использовали одномерный дискриминантный анализ [17]. Для уменьшения числа случаев ошибочной идентификации пола по рентгенологическим показателям левой кисти, обусловленных анормальностью распределений биометрических данных, авторы указанной работы разработали дополнительные эмпирические критерии достоверности результатов классификации. В частности, по мнению данных исследователей, практически достоверная диагностика мужского пола имеет место, если выполнено одно из условий:

-в достоверно мужской интервал попали значения 4 или более биометрических показателей;

-разность количества значений биометрических показателей, попавших в вероятно мужской и вероятно женский интервалы, более или равна 14.

Схожие критерии были предложены и для остальных категорий интервальной шкалы диагностики пола [17].

В связи с этим следует отметить, что одновременное использование при классификации пола сразу всех биометрических показателей идентифицируемого объекта мало влияет на увеличение точности идентификации. Это связано с тем, что диагностические критерии по своей сути являются размерными показателями одного органа (идентифицируемого объекта) и, как правило, тесно коррелированы между собой. Это означает, например, что подъязычная кость, характеризующаяся большой общей длиной, вероятнее всего, также отличается большой величиной и других ее размерных характеристик. Именно поэтому для успешной одномерной биномиальной классификации необходим и достаточен лишь один биомет-

193

рический показатель, характеризующейся наибольшей точностью классификации пола. Одновременное использование нескольких количественных показателей идентифицируемого объекта возможно только в рамках многомерного дискриминантного анализа, алгоритм которого помимо прочего предусматривает исключение из дискриминирующих и классифицирующих функций тесно коррелирующих между собой переменных [13,121]. Введение же в рамках одномерной классификации пола дополнительных критериев достоверности, подобных использованным в анализируемой работе [17], приведет не столько к увеличению точности метода идентификации, сколько к снижению его чувствительности.

Таким образом, выраженное несоответствие биометрических данных нормальному распределению является противопоказанием к использованию методов одномерной биномиальной классификации нормально распределенных показателей.

К сожалению, при проведении судебно-медицинских антропологических исследований иногда приходится иметь дело с непрерывными биометрическими величинами, не подчиняющимися нормальному распределению. Выходом из этой ситуации является создание специфических математических моделей проведения одномерной биномиальной классификации, предусматривающих названную особенность распределения количественных данных.

Одним из возможных решений задач подобного рода является аппроксимация имеющихся биометрических данных каким-либо из существующих теоретических распределений, для которого можно рассчитать функцию плотности. Одномерный дискриминантный анализ применим при большинстве таких распределений. Метод одномерной биномиальной классификации в том виде, в каком он изложен в разделе 4.2, может быть использован только при подчинении биометрических данных логнормальному распределению. Данное распределение очень удобно тем, что путем преобразования каждого значения биометрического показателя по формуле y = ln x

доступен переход к нормальному распределению с возможностью использования всех статистических свойств последнего, в том числе и в плане определения интервальных оценок его параметров [112]. Естественно, что перед применением такого подхода необходимо убедиться в хорошем соответствии количественных данных тому типу непрерывного распределения, статистические свойства которого будут использованы при решении задачи классификации.

194

Радикальным решением задачи одномерной биномиальной классификации любых непрерывных биометрических величин является использование неравенства Чебышева, доказанное в теории вероятностей [85]. В терминах статистической совокупности оно имеет следующую трактовку: для любой выборочной совокупности доля значений, попадающих в интервал х ± ks будет равна, по крайней

мере, 1−1/ k 2 , где k – любое число, большее 1 [78]. Ценность неравенства Чебышева заключается в том, что оно будет верно для любого частотного распределения данных. Это позволило нам предложить универсальную интервальную шкалу диагностики пола, верную для любой совокупности биометрических данных независимо от формы кривой распределения (табл. 31).

Таблица 31 Универсальная шкала диагностики пола по показателю х

Примечание. * - х1 и s1 - оценки среднего и стандартного отклонения показателя в выборочной совокупности женщин, х2 и s2 - в совокупности мужчин, причем x1 < х2 .

Таким образом, предложенная универсальная шкала диагностики пола позволяет формулировать количественные вероятностные выводы о половой принадлежности классифицируемых объектов.

Еще одно преимущество универсальной шкалы по сравнению с одномерным дискриминантным анализом характеризуется тем, что при ее использовании максимальная ошибка идентификации пола известна заранее. Поэтому применение универсальной шкалы не требует последующего определения точности классификации с помощью кросс-проверки, что позволяет использовать для разработки

195

методик судебно-медицинской идентификации весь имеющийся в распоряжении исследователя объем биометрических данных.

Изложенное делает целесообразным применение универсальной шкалы диагностики пола в судебно-антропологических исследованиях, основанных на использовании биометрических показателей, не подчиняющихся нормальному распределению.

Важно подчеркнуть, что ценой универсальности предложенной диагностической шкалы явилось довольно значительное снижение точности классификации пола (табл. 32).

Таблица 32

Характеристика результатов различных методов одномерной идентификации пола по признаку М16 подъязычной кости

В этой связи единственным показанием к использованию универсальной шкалы при проведении антропологических исследований, посвященных разработке методов идентификации пола, следует считать отсутствие нормальности распределения исходных биометрических данных.

196

ГЛАВА 5. ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ

5.1. ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ ПРИ СУДЕБНОМЕДИЦИНСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ЛИЧНОСТИ

Дискриминантный анализ лежит в основе большинства методов многомерной классификации объектов судебно-медицинского экспертного познания. Так, из 13 случайно отобранных оригинальных исследований, посвященных судебно-медицинской классификации идентифицируемых объектов и опубликованных журналом «Су- дебно-медицинская экспертиза» в течение 2001-2006 гг., результаты 11 (85%) работ основывались на данных дискриминантного анализа. При этом в 2 (18%) из них использовалось несколько методов дискриминантного анализа.

Вструктуре многомерных статистических методов дискриминантный анализ является разделом, включающим в себя методы классификации многомерных наблюдений в ситуации, когда исследователь обладает априорной информацией о распределении классифицирующих (дискриминирующих) признаков. Априорная информация должна быть представлена выборками из альтернативных совокупностей (классифицируемых групп).

Вотличие от одномерных методов дискриминантный анализ позволяет проводить как биномиальную, так и полиномиальную классификацию. При этом наиболее изучен случай, когда известно, что распределение признаков в каждой из классифицируемых групп наблюдений нормально, но отсутствует информация о параметрах этих распределений. Предположение о нормальности распределения признаков реализовано в параметрических методах дискриминации. Наряду с этим существуют менее известные непараметрические методы дискриминации, не требующие знаний о точном функциональном виде распределений и позволяющие решать задачи дискриминации на основе незначительной априорной информации о классифицируемых группах. Существующие методики су- дебно-медицинской идентификации личности основаны на наиболее изученных параметрических методах дискриминации.

Всудебно-медицинской антропологии применяются все основные направления дискриминантного анализа: биномиальная дискриминация, линейный дискриминантный анализ Фишера и канонический дискриминантный анализ.

197

5.2. ДИСКРИМИНАНТНЫЙ АНАЛИЗ ПРИ БИНОМИАЛЬНОЙ КЛАССИФИКАЦИИ НА ОСНОВЕ ГРУППОВЫХ ЦЕНТРОИДОВ

Дискриминантный анализ на основе групповых центроидов, являясь инструментом реализации многомерной биномиальной классификации, позволяет разграничить принадлежность идентифицируемых объектов по множеству признаков к одной из двух взаимоисключающих групп и в судебно-медицинских антропологических исследованиях применяется практически только в целях разработки способов идентификации пола. Именно это, вероятно, является причиной того, что данный алгоритм дискриминантного анализа по частоте уступает линейному анализу Фишера (р = 0,046). Например, по выборочным данным, биномиальная дискриминация на основе групповых центроидов применялась лишь в 3 (27%) исследований, в то время как линейный дискриминантный анализ Фишера

–в 8 (73%).

Втерминах математической статистики задачу многомерной биномиальной классификации на основе дискриминантного анализа можно изложить следующим образом [26].

Пусть имеются две генеральные совокупности X и Y, имеющие n - мерный нормальный закон распределения с неизвестными, но равными ковариационными матрицами. Из них взяты обучающие

Целью классификации является отнесение новых наблюдений, гипотетическая совокупность которых представлена матрицей Z, либо к X, либо к Y (единичное наблюдение представлено строкой матрицы Z).

Тогда алгоритм многомерной биномиальной дискриминации включает выполнение следующих этапов:

198

1. Определяют векторы выборочных средних

2. От матриц X и Y переходят к матрицам центрированных величин XC и YC путем определения xij − x j и yij − y j .

3. Определяют оценки ковариационных матриц Sx и Sy :

7.Рассчитывают оценки векторов значений дискриминантной функции для матриц исходных данных Ux = Xa, U y = Ya.

8.Вычисляют средние значения оценок дискриминантной функции (групповые центроиды)

9. Определяют константу C = 12 (ux + uy ).

Дискриминантную функцию для нового наблюдения, подлежащего дискриминации, получают, решив уравнение

uz = z1a1 + z2a2 +K + zk ak .

При uz ≥ C новое наблюдение, подлежащее дискриминации, от-

носят к совокупности Х, при uz < C - к совокупности Y.

В целях демонстрации практического использования изложенного алгоритма приводим следующий пример.

Известно, что для любого плода переход на внеутробное существование сопровождается изменениями со стороны всех систем органов. Особенно ярко указанные изменения проявляются у недо-

199

ношенных новорожденных, у которых развивается широкий спектр реакций адаптационного и патологического характера [11]. Одной из таких реакций у недошенных новорожденных является первоначальная гиперплазия экстрамедуллярной кроветворной ткани, происходящая в течение первых часов после рождения. Это делает потенциально возможной идентификацию живорожденности недоношенных плодов по степени кроветворной активности печени в зависимости от ее соответствия гестационной норме. Иными словами данная проблема формулируется как задача классификации недоношенных новорожденных и недоношенных мертворожденных плодов по группе биометрических показателей, включающей ли- нейно-весовые показатели развития плода и показатель кроветворной активности печени.

Пусть априорная информация о распределении показателей дискриминируемых совокупностей представлена случайными выборками из них объемом n1 = n2 = 5 (табл. 33). Нужно идентифицировать принадлежность к одной из двух анализируемых групп трупа недоношенного ребенка массой 980 г, длиной 35 см и показателем кроветворной активности печени, равным 53,211.

Таблица 33 Исходные данные о распределении биометрических показателей

Решение задачи дискриминации:

1. Запишем исходные данные в виде матриц Х и Y:

11 Все примеры главы 5 сконструированы для демонстрации описываемых методов дискриминантного анализа и не отражают реальных результатов соответствующих исследований (подробнее см. [11,53]).

200