книги / 37

Следует подчеркнуть, что класс Х объектов не является множеством в силу парадокса Рассела, а также вследствие возможного существования граничных объектов, для которых не ясно, обладают они свойством φ или нет. В судебно-медицинской практике подобная ситуация часто возникает при описании категориальных признаков, таких, как элементы словесного портрета, цветовые и тактильные характеристики изучаемых объектов и т.д.

Например, не всегда ясно, можно ли назвать конкретный рот большим, губы тонкими, а данную печень плотной. Тем не менее, всегда возможно охарактеризовать некоторые типичные объекты, без сомнения обладающие свойством φ. Такие объекты принято называть прототипами. В общем случае говорят, что группировка объектов, задаваемая с использованием некоторого свойства и допускающая граничные элементы, имеет размытые границы

неопределенность [23]. Первые философские статьи, посвященные нечеткости, были опубликованы только в первой половине прошлого столетия [115,151]. Выраженный интерес к проблеме нечеткости появился лишь после основания теории нечетких множеств. В этой связи в настоящем разделе будет приведен краткий обзор основных понятий теории нечетких множеств [157].

Существует несколько способов здания множеств. Одним из них является задание с помощью характеристической функции, определяемой следующим образом.

Пусть U – универсальное множество, х – элемент U, а φ - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество А универсального множества U, элементы которого удовлетворяют

принимающая значение 1, если х обладает свойством φ, и 0 – в противном случае.

Нечеткое множество отличается от обычного тем, что для элементов х из U нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства φ. В связи с этим нечеткое подмножество А универсального множества U определяется как множество упорядоченных пар А mА (х) / х , где mА (х) - характеристическая

функция принадлежности, принимающая значения на некотором упорядоченном множестве L, представляющим собой шкалу истинностных значений [13]. Обычно в качестве наименьшего и наибольшего элементов шкалы L полагают значения, равные 0 и 1 соответственно, что объясняется естественностью и прозрачностью

означает, что х совсем не обладает свойством φ. Остальные элементы х нечеткого подмножества А обладают свойством φ частично.

Таким образом, функцию принадлежности нечеткого множества можно определить как обобщение характеристической функции обычного множества. Верхняя граница функции принадлежности называется высо то й нечеткого множества, а

Нечеткое множество нор мально , если его высота равна 1. Если

верхняя граница функции принадлежности меньше 1, то нечеткое множество называется субно р мальным .

элементы которого представляют собой отношение суммарной площади трупных пятен к поверхности тела, выраженное в процентах. Нечеткое множество А «разлитые трупные пятна» можно определить следующим образом:

А 0/ 0 0/10 0,2/ 20 0,5/ 30 0,7 / 40 1/ 50 .

множества равна 1, т.е. множество является нормальным, а точкой перехода служит элемент 30 .

В приведенном примере использован прямой метод задания

методы задания функции принадлежности используются для признаков, измеряемых в количественных шкалах [13]. Для категориальных признаков используются групповые прямые методы, когда группе экспертов предъявляют конкретный объект, и каждый из них должен определить, обладает объект свойством φ или нет. Тогда в качестве mА (х) принимаются доли утвердительных

ответов, данных группой экспертов для каждого объекта из множества U. Для ситуаций с отсутствием элементарных

измеримых свойств объектов разработаны косвенные методы определения значений функции принадлежности [13].

В настоящее время многие исследователи считают, что нечеткость не может быть устранена из способов объяснения человеком окружающего мира, поскольку всякая попытка истолковать общее описание с необходимостью ведет к использованию нечетких понятий, так как точное описание содержит излишнее количество деталей [70]. Это составляет известный пр инцип неопр еделенн о сти, описанный основателем нечеткой логики Л.А. Заде [158]. Данный принцип постулирует, что увеличение точности ведет к увеличению количества информации, содержательность которой убывает до такого момента, пока точность и содержательность не станут взаимно исключающими характеристиками. Принцип неопределенности показывает, что нечеткость необходима для передачи содержательной информации.

Типичной характеристикой нечеткости является ее непрерывность. Это означает, что если какой-то объект обладает нечетким свойством, а другой мало отличается от него, то он тоже обязан иметь это же свойство [115]. Иными словами, малые отличия между объектами не могут вести к резкому различию в определении, обладает или нет каждый из них нечетким свойством. Переход от обладания нечетким свойством к необладанию является гладким.

Рассмотрим в качестве примера свойство «быть малым натуральным числом». Очевидно, что число 0 является малым, число 1 также является малым и т.д. Процесс формирования данной последовательности может быть формализован записью

Φ(x) Φ(x 1) ,

где Φ(x) - заданное характеристическое свойство.

Однако подобный тип рассуждений не дает ответа на вопрос, где заканчивается последовательность объектов, обладающих характеристическим свойством? При этом интуитивно очевиден тот факт, что существуют числа, например, 999999999, которые точно не являются малыми. Вместе с тем, указанное выше индукционное правило неизбежно приводит нас к противоречию, что и данное число тоже малое:

Φ(0) Φ(1) Φ(999999999) .

Важно, что изложенное противоречие не может быть разрешено средствами классической логики. Причем это было известно еще в античности, когда возникли такие парадоксы, как falacros (лысый человек) и sorites (куча) [24,70].

Указанные парадоксы представляют собой последовательности силлогизмов, начинающиеся с истинного утверждения и заканчивающиеся ложным. Напомним вкратце один из них.

Человек без волос или только с одним волосом – лысый. То же верно для человека с двумя волосами и т.д. Следовательно, все люди – лысые.

Данный парадокс возникает тогда, когда свойство «быть лысым» понимается точно, т.е. исключая его нечеткость.

Математическая теория нечеткости наиболее успешно представлена нечеткой логикой [159-161]. Нечеткая ло гика является результатом градуированного подхода к формальным логическим системам [70]. Благодаря градуированному подходу, нечеткая логика обеспечивает разрешимость таких классически неразрешимых проблем как древние парадоксы falacros и sorites [70]. На примере малых чисел предлагаемое нечеткой логикой решение названных проблем состоит в допущении, что импликация

Φ(x) Φ(x 1)

не вполне убедительна, т.е. является истинной только в некоторой степени, близкой к 1, в частности, 1 e , где e 0 . При таком допущении все названные выше парадоксы импликации исчезают. Нечеткая логика предлагает также решения и других классических парадоксов, например, парадокса лжеца (liar) [24,70].

В заключение нужно отметить важнейшее отличие между неопределенностью и нечеткостью. Для неопределенности принципиальной является возможность появления некоторой группы событий в результате реализации определенного комплекса условий. При этом у нас нет достаточных знаний для определения, какое именно из них наступит. Нечеткость относится к способу описания самого события и не рассматривает вопрос, появляется оно или нет. В действительности обычно приходится иметь дело с обеими гранями недетерминированности одновременно.

1.3. ВЕРОЯТНОСТЬ И МЕТОДЫ ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Веро ятно сть понимается как численная мера неопределенности относительно появления некоторого случайного события. При этом термин «вероятность» применим лишь к таким

случайным событиям, в отношении которых возможна объективная оценка доли случаев их появления [23]. Существуют три определения вероятности: классическое, геометрическое и статистическое. Каждое из них в действительности является не определением, а скорее методом вычисления вероятности.

Классическое определение вероятности осуществимо только при вполне определенных и сильно ограниченных условиях [23]. Указанные ограничения сводятся к предположению равновозможности (равновероятности) и несовместимости анализируемых событий. При этом под равновозможностью понимается объективное свойство изучаемых явлений, основанное на их реальной симметрии. Несо вместимыми называются события, одновременное осуществление которых при данном

равновозможности является вычисление вероятностей выпадения какой-либо грани при подбрасывании симметричной кости. Данная вероятность очевидно равна отношению 1/ n, где n – число граней кости. Указанное определение вероятности соответствует интуитивным представлениям о том, что исходом подбрасывания может явиться выпадение только какой-либо одной грани, причем вероятности выпадения каждой грани равны (вследствие предположения о симметричности кости), а сумма вероятностей выпадения всех граней равна 1. Поэтому превалирование частоты выпадения какой-то грани над таковой других граней при многочисленных подбрасываниях позволяет сделать вывод о нарушении свойства симметрии.

В теории вероятностей события, аналогичные таковым в примере с подбрасыванием симметричной кости, называются элеме нтарными . Наряду с элементарными рассматриваются также события, состоящие из нескольких определенных элементарных событий. Таковым, например, является выпадение нечетного количества очков при подбрасывании симметричной кости.

Пусть событие А – некоторый исход испытания и

- конечная система всех равновозможных, единственно возможных и попарно несовместимых элементарных исходов этого испытания

препятствием для широкого применения классического метода вычисления вероятностей. Именно по этой причине азартные игры, для которых указанное требование выполнимо, долгое время служили почти единственной моделью изучения классической вероятности. В этой связи закономерными явились попытки обобщения понятия вероятности для случаев бесконечного множества исходов. При этом по-прежнему сохранялось требование равновероятности событий.

Общая задача указанного типа может быть сформулирована следующим образом. Предположим, что случайные точки равномерно распределены в некоторой области. Тогда вероятность попадания в произвольную часть данной области пропорциональна ее площади (длине или объему) и не зависит от расположения и формы последней. Отсюда искомая вероятность равна отношению «благоприятной» площади к площади всей области. Указанный метод вычисления вероятности получил название геометрического.

Принято считать, что начало изучению геометрических вероятностей положил французский ученый Жорж Бюффон (17071788 гг.) в своей знаменитой «задаче об игле» [7,152]. Однако по данным Б.В. Гнеденко, впервые задача вычисления геометрических вероятностей была поставлена Д. Арбутнотом (1667-1735) в выполненном им в 1692 г. английском переводе книги Х. Гюйгенса «О расчетах в азартных играх» и опубликованным на 41 год ранее первой публикации Ж. Бюффона [23]. Дальнейшие исследования теории геометрических вероятностей сопровождались формулированием широкого ряда новых задач и нахождением их интересных решений.

Серьезное влияние на совершенствование понятия геометрической вероятности оказал французский математик Жозеф Луи Бертран (1822-1900), который в своей книге «Исчисление вероятностей» («Calcul des probabilities»), изданной в 1889 г., на удачно подобранных примерах показал, что логически понятие геометрической вероятности не выдерживает критики [93]. Играя на неопределенности терминологии, Ж. Бертрану для одной и той же задачи удалось получить несколько различных ответов. В качестве основной мишени им была избрана широко известная в настоящее время задача о проведении наудачу хорды внутри круга

[23].

Покажем парадоксальность определения геометрической вероятности на более простом примере. При выборе случайной точки на интервале (0,1) вероятность выбрать число, меньшее ½, равна 50%. Однако, если все числа данного интервала возвести в квадрат и равномерно выбирать из этих квадратов, то указанная вероятность увеличится до 65,6% [93]. Конечно, первый ответ, т.е. 50%, более естественный. Но в других задачах выбор между естественными и неестественными решениями может оказаться гораздо сложнее.

Критика Бертрана привлекла пристальное внимание математиков к общим вопросам логического обоснования теории вероятностей, были выявлены многие другие парадоксы, связанные с вычислением геометрических вероятностей, в т.ч. и иные решения задачи Бертрана [93,112]. Важнейшим следствием приложенных усилий явилось осознание того, что выбор между естественными и неестественными методами вычисления геометрических вероятностей не всегда возможен на основе лишь логических рассуждений без учета практики. Кроме того, изучение задач подобного типа привело к возникновению очень интересного раздела математики, получившего название интегральной геометрии [163]. Именно на базе аналитического аппарата интегральной геометрии был разрешен парадокс Бертрана и другие, более сложные теоретические задачи. Сейчас интегральная геометрия приобретает все возрастающее значение во многих областях науки, в том числе и в медицине, в частности, для восстановления трехмерных фигур по их двумерным сечениям.

В патоморфологии и судебной медицине геометрическое определение вероятности нашло самое широкое применение при обосновании ответа на вопрос, каким образом и в какой степени трехмерная структура определенного объема ткани может отражаться в ее плоских сечениях (гистологических срезах). В настоящее время все судебно-медицинские приложения системной гистостереометрии базируются на важнейшем принципе геометрической вероятности: доля общего объема, которую занимают изучаемые структуры, равна части площади, занимаемой этими структурами на представительных срезах [7,107].

Другим перспективным приложением геометрического определения вероятности являются медико-криминалистические трасологические и антропологические исследования, основанные

на сопоставлении, совмещении, наложении и репераже признаков на изображениях объектов. Именно геометрическое определение может составить базу для теоретического обоснования вероятности положительной идентификации исследуемого объекта в зависимости от конкретного количества совпадений существенных особенностей последнего с таковыми сравниваемого аналога.

Как уже упоминалось, классическое определение вероятности события предполагает конечность и равновозможность числа элементарных исходов. Наложение указанных ограничений приводит к тому, что при переходе от простейших примеров к рассмотрению более сложных задач классическое определение вероятности наталкивается на принципиально непреодолимые трудности. В частности, на практике приходится иметь дело с бесконечным числом возможных исходов. Кроме того, даже при ограниченном количестве исходов вероятности последних, как правило, не равновероятны, что делает невозможным использование геометрического метода определения вероятности. В этой связи был замечен и теоретически обоснован другой способ оценки неизвестной вероятности случайного события, получивший название статистического.

Пусть производится n однотипных испытаний, одним из исходов которых является данное событие А. Отношение числа появлений m события А к общему числу испытаний n называется о тно сительно й часто то й события А. При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т.е. при числе испытаний n относительная частота m / n колеблется около некоторого постоянного числа р. При этом большие отклонения

Для случаев с конечными и равновозможными исходами испытаний оказалось, что р соответствует классическому определению вероятности. Данный эмпирический факт впоследствии нашел глубокие основания в теореме Бернулли [23].

Теор ема Бер нулли . Пусть m – число наступлений события А в n независимых испытаниях и р есть вероятность наступления события А в каждом из испытаний. Тогда, каково бы ни было ε 0,