ИДЗ3
.pdf
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральноегосударственноеавтономноеобразовательноеучреждениевысшегообразования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙТОМСКИЙПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ»
Школа базовой инженерной подготовки Отделение общетехнических дисциплин
Растяжение-сжатие, кручение, изгиб
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 3
Вариант 70716
по дисциплине:
МЕХАНИКА
Исполнитель: |
|
|
|
студент группы |
5А07 |
Сергеев Алексей Сергеевич |
01.12.2021 |
Руководитель: |
Черемискина Мария Сергеевна |
|
|
преподаватель |
|
Томск – 2021
ЗАДАЧА 3.1. ТЕМА: РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ.
Металлический ступенчатый стержень находится под действием сосредоточенных сил. Величины нагрузок, продольные и поперечные размеры стержня приведены в табл. 3.1. Физико-механические характеристики материала стержня: Е=2·105 МПа; [Δl]=3·10-4 мм; [σ]=160 МПа. Длину а, во всех вариантах принять равной 2м.
Для заданной схемы стержня требуется:
1.В масштабе изобразить длины стержня.
2.Определить реакцию опоры.
3.Составить аналитические выражения и построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, изменения абсолютной длины.
4.При превышении допускаемых значений (допускаемого напряжения [σ]) на любом из участков стержня, произвести перерасчет параметров стержня.
Исходные данные: схема стержня предоставлена на рисунке 1.
Сосредоточенная сила Р1=13 кН;
Сосредоточенная сила Р2=21 кН;
Сосредоточенная сила Р3=30 кН;
Площадь поперечного сечения стержня А = 190 мм2;
Рис. 1 Схема стержня
Рис. 2 Схема стержня в KOMPAS
Рис. 3 Стержень, загруженный внешними продольными силами; эквивалентная схема нагружения стержня; эпюры продольных сил нормальных напряжений и перемещение свободного конца стержня.
Находим реактивную силу R из уравнения равновесия:
∑ = 0
− − 2 + 1 + 3 = 0= − 2 + 1 + 3 = −21 + 13 + 30 = 22 кН
Знак «+» означает, что произвольное направление R выбрано верно.
Применяем метод сечений, оставляя левую и отбрасывая правую часть бруса. Для определения продольных сил разделим стержень на три участка.
Участок 1:
∑ = 0 − + 1 = 0
1 = = 22 кН
Участок 2:
∑ = 0 − − 2 + 2 = 0
2 = + 2 = 22 + 21 = 43 кН
Участок 3:
∑ = 0
− − 2 + 1 + 3 = 0
3 = + 2 − 1 = 22 + 21 − 13 = 30 кН
Определение нормальных напряжений
Нормальные напряжения, действующие в сечениях каждого участка, определим из условия прочности:
|
|
|
|
22∙103 |
|
|
|
|
||
|
= |
1 |
|
= |
|
|
|
= 57 МПа |
|
|
2 |
2∙190∙10−6 |
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
2 |
= |
43∙103 |
= 226 МПа |
это значение превышает допустимое, |
||||
|
−6 |
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
190∙10 |
|
|
|
|
||
необходим перерасчет. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
30∙103 |
|
|
|
|
|
|
= |
3 |
|
= |
|
|
|
= 53 МПа |
|
|
|
3 |
3∙190∙10−6 |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
Условие прочности: ≤ [ ]
Необходимо увеличить площадь второго участка.
2 |
≤ [ ]; |
2 |
≥ |
2 |
; |
2 |
≥ |
43∙103 |
= 269 мм2 |
|
2 |
|
160∙10−6 |
||||||||
|
|
|
|
|
Принимаем площадь А2=269 мм2 и производим перерасчет.
|
|
|
43 |
∙ 103 |
|
= |
2 |
= |
|
|
= 160 МПа |
|
|
|
|||
2 |
|
|
269 |
∙ 10−6 |
|
|
|
|
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений.
Определение деформации стержня
Перемещение произвольного сечения бруса равно изменению длины участка, заключенного между этими сечениями и заделкой.
∙= Δl =
Принимаем для стали E=2∙105 Мпа.
1 = 1 = 0 (м)
2 = 1 + 1 = 57∙106∙6 = 171 ∙ 10−5(м) 2∙1011
|
|
= |
|
+ |
|
|
= 171 ∙ 10−5 + |
160∙106∙4 |
= 491 ∙ 10−5(м) |
|
|||||
3 |
2 |
11 |
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2∙10 |
|
|
|
||
|
|
= |
|
+ |
|
|
+ |
|
= 171 ∙ 10−5 + 491 ∙ 10−5 + |
53∙106∙8 |
= 703 ∙ 10−5(м) |
||||
4 |
2 |
3 |
11 |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2∙10 |
|
|
ЗАДАЧА 3.2. КРУЧЕНИЕ
Металлический ступенчатый вал находится под действием сосредоточенных скручивающих моментов. Величины нагрузок, продольные размеры вала и соотношения размеров поперечных сечений приведены в табл. 3.
Для заданной схемы вала, требуется:
1.Составить аналитические выражения и построить эпюру крутящего момента.
2.В масштабе изобразить длины вала на каждом силовом участке и построить эпюры распределения максимальных касательных напряжений по длине.
3.Построить эпюру абсолютных углов закручивания по длине вала.
Обязательно требуется соблюдать пропорции продольных размеров вала, размеров сечений при построении эпюр напряжений, а также, величин на эпюрах. Для стали принять во всех вариантах G=8·104 МПа. Длину а, во всех вариантах принять равной 2м.
Исходные данные: схема стержня представлена на рисунке 4.
Расстояние а=2 м;
внешний сосредоточенный момент М1 =490 Нм;
внешний сосредоточенный моментов М2 =200 Нм;
внешний сосредоточенный моментов М3 = 250 Нм;
внешний сосредоточенный моментов М4 = 380 Нм;
параметры поперечного сечения d=h=46 мм;
соотношение параметров вала d/D=0,5;
h/b=1,4;
Из уравнения равновесия находим величину и направление реактивного момента в опоре M5.
Рис. 4 Схема
Рис. 5 Схема стержня в KOMPAS
Рис. 6 Расчетная схема вала в масштабе по длине, эпюры внутренних крутящих моментов, касательных напряжений и угла поворота свободного конца вала.
∑ = 0
М5 − М1+М2−М3+М4 = 0 М5 = М1−М2+М3−М4 = 490 − 200 + 250 − 380 = 160 (Нм)
Определим геометрические размеры сечения вала
= 0.5 = 46∙100.5−3 = 92 ∙ 10−3м
= 1.4 = 46∙101.4−3 = 32.8 ∙ 10−3м
Разобьем вал на силовые участки:
1 = 5 = 160 (Нм)
|
= |
− = 160 − 250 = −90 (Нм) |
||
2 |
5 |
3 |
|
|
|
= |
− − = 160 − 250 − 490 = −580 (Нм) |
||
3 |
5 |
3 |
1 |
|
|
= |
− |
− + = −160 − 250 − 490 + 200 = −380 (Нм) |
|
4 |
5 |
3 |
1 |
2 |
Найдем напряжения кручения по формуле:
= ;
Где – полярный момент сопротивления или момент сопротивления сечения кручению.
Полярный момент сопротивления для прямоугольного сечения:
= ∙ 2 6
Полярный момент сопротивления для кольцевого сечения:
= |
∙ 3 |
[1 − ( |
|
4 |
|
|
) ] |
||
|
|
|||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
Полярный момент сопротивления для сплошного круга:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
○ = |
∙ 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
160∙6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= 13.8 (МПа) |
||||||||
|
|
|
−3 |
|
|
−3 2 |
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
32.8∙10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
∙(46∙10 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−90∙6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= −7.8 (МПа) |
|||||||
|
|
32.8∙10 |
−3 |
∙(46∙10 |
−3 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−580∙16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 = |
3 |
|
= |
|
|
|
|
|
= −3.8 (МПа) |
|
|
|||||||
○ |
|
|
|
|
−3 |
3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3.14∙(92∙10 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3′ = |
|
|
|
|
|
|
|
−580∙16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −4 (МПа) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
46∙10−3 4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3.14∙(92∙10−3)3∙[1−( |
|
|
) |
] |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
92∙10 |
−3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−380∙16 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 = |
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −2.7 (МПа) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
46∙10−3 4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3.14∙(92∙10−3)3∙[1−( |
|
|
) |
] |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
92∙10 |
−3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим повороты сечения для каждой части стержня, где крутящие моменты и жесткости постоянны по длине:
∙= ∙
формула действительна только для части стержня постоянного сечения по длине l. G=8·104МПа – модуль упругости II – рода;
Полярный момент инерции для прямоугольного сечения:
|
= |
∙ 3 |
= |
32.8∙463∙10−12 |
= 266052 ∙ 10−12 (м4) |
|
|
||||
|
12 |
12 |
|
||
|
|
||||
Полярный момент инерции для кольцевого сечения:
|
∙ |
4 |
|
4 |
3.14∙(92∙10 |
−3 4 |
|
|
−3 |
4 |
||
= |
|
∙ [1 |
− ( |
|
) ] = |
) |
[1 |
− ( |
46∙10 |
) ] = 6590260 ∙ 10−12 (м4) |
||
32 |
|
32 |
|
92∙10−3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полярный момент сопротивления для сплошного круга:
○ = |
∙ 4 |
= |
|
3.14∙924∙10−12 |
= 7029606 ∙ 10−12(м4) |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
32 |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поворот сечения В относительно А: |
|||||||||||||
|
|
|
∙2 |
|
160∙2 |
|
|
|
|||||
|
= |
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
= 0.015; |
|||
∙ |
|
8∙1010∙259563∙10−12 |
|||||||||||
/ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поворот сечения C относительно B: |
|||||||||||||
|
|
|
∙4 |
|
−90∙4 |
|
|
|
|||||
|
= |
|
2 |
|
|
|
= |
|
|
= −0.017; |
|||
∙ |
|
8∙1010∙266052∙10−12 |
|||||||||||
/ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поворот сечения D относительно C: |
|||||||||||||
|
|
|
∙8 |
|
−580∙8 |
|
|
|
|||||
|
= |
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= −0.008; |
|
∙ ○ |
8∙1010∙7029606∙10−12 |
||||||||||||
/ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поворот сечения E относительно D: |
|||||||||||||
|
|
|
∙2 |
|
−580∙2 |
|
|
|
|||||
|
= |
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= −0.002; |
|
∙ |
8∙1010∙6590260∙10−12 |
|
|||||||||||
/ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поворот сечения F относительно E: |
|||||||||||||
|
|
|
∙4 |
|
−380∙4 |
|
|
|
|||||
|
= |
|
4 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= −0.003; |
|
∙ |
8∙1010∙6590260∙10−12 |
|
|||||||||||
/ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По вычисленным значениям углов определяются повороты всех сечений относительно неподвижного сечения A: