1 семестр / экзамен / задачи к билетам

1 Найти

lim

.

2 x−x2

→0

Билет №1.

2.

f (x)

e

по целым положительным

Написать разложение функции

=

степеням x до членов 2 порядка с остаточным членом в форме Лагранжа.

3.

Найти интеграл ∫

(x +2x ln x)dx

.

2 + x2 ln x

Билет №2.

−

1.

Найти

lim

1+ x

1−3x

.

3

3

1+

2x −

1− x

x→0

1. Найти lim

3

27 + x

−3

27

− x

.

3

x +2

x

4

x→0

Билет №5.

−1

.

1.

Найти lim

1+2sin x

x→0

ln(1+2tg3x)

2.

Написать разложение функции f (x) = ln(cos x) по целым положительным

3.

Исследовать асимптотическое поведение функции

= ∙ .

степеням

x до членов 4 порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Билет №6.

1.

Найти lim

ln(1 +2x − 3x2 + 4x3 )

.

x→0

ln(1 − x +2x2 − 7x3 )

2.

Исследовать непрерывность функции f (x) =

2

x −1

.

x2 − x4

3.

Исследовать на экстремум функцию y =

x4

.

x3 −1

1. Найти lim

π

tg2x tg

− x .

4

x→

π

4

sin(

x − π / 6) .

Билет №8.

1.

Найти lim

x→π/6

3 −2 cos x

2.

Исследовать непрерывность функции

f (x) =

sin x

sin x

dx

3.

Найти интеграл ∫

.

cos x

1. Найти lim

ln(1 +2x − 3x2 + 4x3 )

.

x→0

ln(1 − x +2x2 − 7x3 )

Билет №11.

3

−1

1.

Найти lim

1+2x

1+3x

= , =

x

3.

Найти интеграл2

∫arcsin x dx .

x→0

2

e

−1

2.

Найти и

функции, заданной параметрически

.

x +1

2.

( ) = ln(1 + ) с ( )

=

− 0.5

Билет №13.

2

, → 0

.

1. Сравнить бесконечно малые:

(x →1)

α (х)= ln x, β (x)=1−

x

и

Вычислить производную второго порядка от неявно заданной функции y( x)

2

2

2

y''

x

3

+ y

3

= a

3

,

=

?

xx

3.

Найти интеграл ∫ln(x 2 +1)dx .

1.

Найти

lim ln x ln(1 − x)

Билет №14.

= ln(1 +

)

3.

Найти интеграл

∫2+3√ +1

.

x→1−0

2 .

2.

Найти направления выпуклости и точки перегиба графика функции

tgx −sin x .

Билет №15.

1.

Найти lim

x→0

x3

2.

Найти вторую производную функции, заданной параметрически

x = arcsin t,

y =

1 − t2

,

y''

=

?

arccos x

xx

3.

Найти интеграл ∫

dx .

1 − x

Найти lim ex sin x − x − x

2

Билет №16.

1.

( > 0)

x→0

∫

> ln 1 +

sin x

− x

(

2

)

2.

Доказать неравенство

.

3.

Найти интеграл

xdx

.

1 − x4

Билет №17.

1.

Найти lim

ex −cos x − x

,

∫

(x

=

x→0

ln(1

+ x)

−sin x

2

(спираль Архимеда ( ( )- полярные координаты).

2.Найти и 2 , если

3.

Найти интеграл

+3)sin xdx

1+5х

Билет №18.

x2 −х−7

1.

Найти

2

lim

x→∞ х2 +2x−15

1

Вариант №19.

1.

Найти

2x +1

sin πx

limx→1

3x

2−0.01 , используя понятие дифференциала.

5

2.

Найти приближенно

3.

Найти интегралы: ∫

2+03.01

x cos2 x dx

Билет №20.

1.

Найти lim

(

2n3

+1 −5n2 ).

n → ∞ 2n2 +3

5n +1

2. Разложить многочлен

P(x) = x5 − 2x4 + x3 − x2 + 2x −1по степеням x −1.

1 Найти

lim

.

→0

Билет №21.

3. Найти интеграл ∫

(x +2x ln x)dx

.

2 + x2 ln x