Konspekt_Tv_2020_ch_3
.pdf
Закон распределения (ряд распределения или многоугольник) для ДСВ,
функция распределения как для дискретной, так и для непрерывной СВ,
плотность распределения для непрерывной СВ являются самыми полными характеристиками СВ. Однако, во многих задачах можно ограничиться только несколькими числовыми характеристиками такими как, например,
среднее ожидаемое значение, среднее отклонение от этого среднего значения и т.д.
2.3.1. Математическое ожидание
Пример 2.4. В результате n испытаний СВ приняла значение x1 - n1 раз,
значение x2 - n2 раза,…, значение xk -nk раз. В математической статистике значения, которые принимает СВ называются выборкой, а n – объѐмом
выборки: Найдѐм среднее арифметическое всех
полученных значений. Оно называется средним выборочным значением и
обозначается ̅̅̅̅̅̅ :
̅̅̅̅̅̅ = |
|
= ∑ |
|
|
(2.9) |
|
|
||||
Но величина |
⁄ это относительная частота появления события { |
}, |
|||
которая является оценкой вероятности этого события. Поэтому средним ожидаемым значениям СВ по определению является следующая величина:
Определение. 2.4. Математическим ожиданием ДСВ называется
величина: |
|
∑ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
(2.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Определение .2.5. Математическим ожиданием непрерывной СВ |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
называется величина: |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
(2.11) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{ }, то это |
||
Замечание. |
В дальнейшем будем считать, если есть выражение |
||||||||||||
значит вычисляется среднее значение для { }
Свойства математического ожидания
1.M C =C; |
(2.12) |
Т.е. математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.
Доказательство: можно считать, что в этом случае СВ принимает только одно значение С с вероятностью единица. МС=С
2. M (CX) =C МX |
; |
(2.13) |
Таким образом, постоянную можно выносить за знак математического ожидания (за знак усреднения).
Доказательство: Если случайная величина X принимает значение |
|
, то СX принимает значение с с вероятностью . Поэтому |
|
∑ |
∑ |
3 |
. М(X +Y ) = МX + МY; |
|
|
|
(2.14) |
|
|
|
|||
4. Если случайные величины |
независимы |
, то |
|
||
М(X Y ) = МX МY. |
(2.15) |
||||
Замечание. Определение независимости СВ будет дано через несколько лекций, там же будет и доказано это свойство.
Пример 2.4 Рассмотрим две случайные величины X и Y со следующими законами распределения
X |
-1 |
1 |
|
|
|
p |
0,5 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
Y |
-100 |
100 |
|
|
|
p |
0,5 |
0,5 |
|
|
|
Найти математические ожидания случайных величин X и Y.
Решение: MX = -1 0,5 + 1 0,5=0; |
MY = -1 |
0,5 + 100 0,5=0. |
Вывод: Математические ожидания у этих величин равны, но из законов распределения видно насколько эти величины различны.
В теории вероятностей вводятся характеристики, которые характеризуют средние отклонения (разброс) СВ от их средних значений. Это дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
2.3.2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Определение. 2.6. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания:
|
|
DX = M (X – MX) 2 |
(2.16) |
Вероятностный смысл дисперсии: Дисперсия равна среднему значению квадрата разброса случайной величины от еѐ математического ожидания.
Поэтому вводят определение среднего квадратического отклонения:
|
√ |
|
|
(2.17) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Эта величина характеризует среднее отклонение СВ от математического ожидания.
Формула для вычисления дисперсии дискретной случайной величины:
DX = ∑ |
(2.18) |
Формула для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины:
DX =∫ |
– |
(2.19) |
Замечание. С целью сокращения числа вычислений дисперсию чаще вычисляют по вычислительной формуле:
Вычислительная формула для дисперсии:
. |
(2.20) |
Вывод формулы:
Величина |
вычисляется по следующим формулам: |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
∫ |
|
, |
(2.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
для дискретной и непрерывной СВ соответственно.
Свойства дисперсии |
|
|||||||||
1. |
Дисперсия постоянной величины равна нулю: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.22) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|||||||||
2. |
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя |
|||||||||
его в квадрат: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Если случайные величины X и Y |
независимы |
, то: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. Определение независимости СВ будет дано через несколько лекций, там же будет и доказано это свойство.
Следствие 1. |
DX |
Следствие 2. |
( |
) |
. (для независимых X,Y)
Свойства среднеквадратического отклонения:
1.
2.
3.
Достоинством |
является тот факт, что оно имеет ту же размерность, |
что и X. |
|
2.3.3. Моменты случайной величины
Определение.2.7. Моментом k-ого порядка с.в.X называется
Определение.2.8 Абсолютным моментом k-ого порядка с.в. X называется .
Определение. 2.9.Центральным моментом k-ого порядка с.в. X называется .
В свете этого определения дисперсия – это центральный момент второго прядка.
Определение .2.10. Абсолютным центральным моментом k-ого порядка с.в. X называется .
2.3.4. Ассимметрия и эксцесс
Среди моментов высших порядков особое значение имеют нормированные моменты третьего и четвѐртого порядка и, соответственно, коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Определение.2.11. Коэффициентом асимметрии |
) с. в. называется |
|||
величина: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.25) |
|
|
|
|
|
Если |
) |
, то влияние значений случайной величины, меньших |
||
, более значительно, чем влияние еѐ больших значений и плотность
(многоугольник) распределения более пологий слева от |
. Если |
, то преобладает влияние положительных значений |
, и кривая |
распределения более полога справа (см. рисунок 2.10). |
|
Рис. 2.10. Геометрическая интерпретация коэффициента |
Рис.2.11. Геометрическая интерпретация |
|||||
асимметрии |
. |
|
|
|
коэффициента эксцесса . |
|
Определение.2.12. Коэффициентом эксцесса (эксцессом) |
) с.в. X |
|||||
называется величина |
|
|
|
|||
|
) |
|
|
. |
|
(2.26) |
|
|
|
|
|||
Нормировка этого коэффициента выбрана таким образом, что для |
||||||
нормального закона |
, так что все остальные распределения |
|
||||
сравниваются с нормальным: более островершинные имеют |
, а |
|||||
распределения с более плоской вершиной (например, равномерное) |
имеют |
|||||
. (см. рисунок 2.11). |
|
|
|
|||
Коэффициенты асимметрии и эксцесса служат чувствительными показателями, позволяющими сравнивать некоторое неизвестное (например, эмпирическое – т.е. оценку неизвестного распределения) распределение с нормальным: чем существеннее отличаются от нуля, тем значительнее распределение отличается от нормального, для
которого |
. |