Konspekt_TV_2020_ch_1

Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике.

Авторы: Лохвицкий М.С., Синева И.С.

3 семестр 2020/2021 учебный год.

Лектор – Лохвицкий Михаил Сергеевич

1.События и вероятность

1.1.События. Основные определения.

Определение. Событие - любой исход опыта, который может произойти или не произойти.

Определение. Элементарными событиями называются неразложимые и взаимоисключающие исходы опыта.

Определение. Событие наз. достоверным, если при данных условиях оно обязательно наступит. Обозначение события: Ω.

Определение. Событие наз. невозможным, если при данных условиях оно наступить не может. Обозначение Ø.

Определение. Два события наз. несовместными, если в одном опыте они не могут произойти вместе.

Определение. Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Определение. Несколько событий наз. равновозможными, если из условий симметрии нет оснований считать, что ни одно из них является более возможным.

Определение. Суммой событий А и В называется событие С=А+В,

состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т.е. или А, или В, или А и В вместе).

Определение. Произведением событий А и В называется событие С=АВ,

состоящее в наступлении двух событий (т.е. А и В вместе).

Определение. Противоположным событию А (отрицание события А)

называется событие Ā, происходящее тогда и только тогда, когда А не происходит.

Геометрическая интерпретация операций над событиями показана в следующей таблице:

Сумма (объединение)

Произведение (пересечение)

Свойства:

1.А+В =В+А

2.АВ =ВА

3.(A+ B) C= AC +BC

Леммы де Моргана

4.̅̅̅̅̅̅̅̅̅= ̅ ̅

̅̅̅̅̅ ̅

Решить задачи 1.1. (Ответы выбрать из следующих: А, Ā, Ω, Ø).

1.А+А =

2.АА =

3.А+ Ω =

4.А Ω =

5.А Ø =

6.А+ Ø=

7.А+ Ā =

8.А Ā =

9.Ø =

10.̅=

11.̅=

1.2.Вероятность

Определение. Вероятность – число, характеризующее степень возможности события:

Р(Ω)=1; Р(Ø)=0:

0≤ Р(А) ≤1

Оценкой вероятности является относительная частота появления события в большом числе испытаний:

Классическое определение вероятности. Если исходы опыта образуют

полную группу несовместных равновозможных событий, то вероятность вычисляется по формуле

Р(А)=

Где n – общее число возможных исходов опыта, m – число исходов опыта, в которых происходит событие А.

1.3.Задачи на классическое определение вероятности.

Пример 1. 1. Подбрасываем правильную монетку:

а. Событие Г= { }; Ц ={ } . P( Г) = 1/2; P( Ц ) = 1/2

б. Монетку подбрасываем два раза. Определить вероятности событий

Возможные исходы опыта: ГГ; ГЦ; ЦГ; ЦЦ.

P( Б ) = 3/6 = 1/2;

Пример 1.3. Колода из 36 карт. Из колоды вынимают одну карту. Найти вероятности: а). вытянуть даму пик; б). вытянуть туз; в). вытянуть карту пиковой масти.

Определение. Сочетаниями из n элементов по k называются группы по k

элементов, взятых из данных n элементов, и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний определяется по формулам:

Полезное свойство:

Пример 1.4..

Определение. Перестановками из n элементов называются группы по n

элементов, и отличающиеся друг от друга порядком хотя бы двух элементов.

Число перестановок определяется по формуле:

Определение. Размещениями из n элементов по k называются группы по k элементов, взятых из данных n элементов, и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом или порядком элементов

Число размещений определяется по формулам:

Пример 1.5. В группе 30 человек, из них 20 юношей и 10 девушек. Преподаватель вызывает к доске двух человек из списка студентов случайным образом. Какова вероятность, что это а) юноши, б) девушки,

в) юноша и девушка.

Решение. Общее число возможных исходов

Замечание. Число m в пункте в) можно было вычислить иначе:

.

Задача 1.2. Спортлото, выбираются 6 цифр из 49. Какова вероятность а) максимального выигрыша (угадать все 6 цифр): б) угадать 5 цифр из 6: в) угадать 4 цифры из 6.

1.4.Аксиоматика теории вероятностей

Определение 1. Множество Ω={ } всех возможных исходов

данного опыта (наблюдения, эксперимента) называется пространством элементарных событий, а сами исходы - элементарными событиями.

Впримере 1.1б: Ω={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}.

Впримере 1.5. Ω={все возможные пары студентов },

Пример 1.6. В соревнованиях по биатлону фиксируется время t,

за которое спортсмен прошѐл дистанцию, и количество

попаданий (или наоборот - промахов) при стрельбе n раз. Тогда

Замечание. Здесь и в дальнейшем вероятности, стоящие в знаменателе, не равны нулю.

Задача 1.3. В классической схеме общее число исходов опыта равно n. Из них m исходов благоприятны событию А, k исходов опыта благоприятны В, e исходов благоприятны и А и В (т.е. благоприятны АВ). Запишите выражения для вероятностей . Покажите, что равенство (1.3) для классического определения вероятности выполняется.

Рисунок.1.1. Схема к задаче 2. Общее число исходов опыта n.

Замечание. Задача 1.3. показывает, что для классической схемы условная вероятность вычисляется по формуле (1.3), и эта формула по определению 5 обобщается на любые события.

Следствие 1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго события, вычисленную при условии, что первое событие произошло:

Следствие 2. Для трѐх событий:

Р(А) Р(В/А) Р(С/АВ)

Т.е. вероятность произведения событий равна вероятности одного из них, умноженную на вероятность второго события, вычисленную при условии, что первое событие произошло, умноженную на вероятность третьего события, вычисленную при условии, что первые два события произошли.

Замечание. Аналогичные формулы верны для n событий.

Пример 1.7. Рассматриваются 4 кубика, на которых изображены буквы М, М, А, А. Кубики случайным образом вкладывают в коробку в линию. Какова вероятность, что получится слово «МАМА».

Решение. P(A/MAM) =

Определение 6. Два события называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность другого, т.е.

(Т.е. условная вероятность равна безусловной).

Задача 1.4. Показать, что если Р(А)>0, P(B)>0 и А не зависит от В, то В не зависит от А.

Теорема умножения для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

Задача 1.5. Докажите, что, если для событий А и В выполняется равенство (1.6) , то эти события независимы. (Следовательно, это равенство можно принять за эквивалентное определение независимости событий).

Теорема сложения для совместных независимых событий.

Доказательство. Подставив (1.6) в формулу (1.1) получим теорему (1.7).

Пример 1.8. В колоде 36 карт, по 9 карт каждой масти. Событие А состоит в том, что наудачу вытянутая карта – король; событие В – в том, что она трефовой масти. Тогда исходя из равновозможности вынуть любую

карту из колоды получаем:

т.е. события А и В независимы.

Добавим в колоду ещё одну специальную карту - «джокера», который может заменить собой любую нужную карту, и подсчитаем вероятности:

т.е. теперь

события А и В оказались зависимыми.