Попов - весь практикум по геометрии

Глава III

c D

a

b

Рис. 3.21

В силу однозначности разложения вектора по базису получаем следующую систему:

С другой стороны: MN SC MN SC 0. Найдем SC :

SC a b c.

тогда n 13 .

Найденные значения подставляем в выражение (19) и получаем следующее разложение MN :

104

§3.4. Четвертое основное векторное соотношение

§3.4. Четвертое основное векторное соотношение

i 1

Центроидом многогранника (многоугольника) назовем точку, являющуюся центроидом всех его вершин.

Приведем некоторые примеры центроидов.

1. Центроидом отрезка А1 А2 является его середина F , так как

FA1 FA 2 0 (рис. 3.22).

Рис. 3.22

Центроидом ∆ A1 A2 A3 (рис. 3.23) является точка пересечения его медиан.

Действительно, учитывая свойство медиан треугольника (MF 12 FA1 )

и свойство диагоналей параллелограмма ( MF MK ) , получим

Теорема 4. (Признак центроида системы точек). Точка F явля-

ется центроидом точек A1 , A2 , , An тогда и только тогда, когда для любой точки O пространства имеет место равенство:

105

Глава III

K

Рис. 3.23

Итак, формула (2) справедлива при n 2 . База индукции доказана.

2. Допустим, что точка М — центроид точек А1 , А2 , Ак и выполняется равенство (2):

106

§ 3.4. Четвертое основное векторное соотношение

Тем самым доказан индукционный шаг. Из пунктов 1 и 2 доказательства, на основе принципа математической индукции следует, что формула (2) справедлива для любого n N .

Достаточное условие. Пусть для системы точек А1 , А2 , , Аk , Ak 1 выполняется равенство (2), где О — произвольная точка про-

странства. Докажем, что точка F есть центроид данной системы точек, т. е. выполняется условие (1). Используя правило треугольника сложения векторов и формулу (2), имеем:

Соотношение (2) называется четвертым основным векторным соотношением.

Задача 3 . 1 8 . Доказать, что медианы тетраэдра пересекаются в одной точке F , которая делит каждую медиану в соотношении 3:1, считая от вершины. Доказать, что точка F — центроид

тетраэдра.

Медианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий его вершину с центроидом противолежащей грани.

Пусть SABC — тетраэдр, SM1 и AM2 — его медианы, где M1 — центроид грани ABC, M2 — центроид грани SBC (рис. 3.25).

107

Глава III

б) Так как М1М2 ║ AS , то внутренние накрест лежащие углы при

108

§ 3.4. Четвертое основное векторное соотношение

в) Рассмотрим медианы SM1 и BM3 тетраэдра SABCD , где M3 — центроид грани ASC . Пусть SM 1 BM 3 F . Аналогично рассуждая, как в пунктах а) и в), получим:

Аналогично доказываем, что медиана CM4 , где M4 — центроид грани ASB , тоже проходит через точку F .

Итак, все четыре медианы тетраэдра пересекаются в одной точке F . г) Из равенств (5) и (6), кроме того, следует, что:

1)точка F делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины тетраэдра;

2)отрезок, соединяющий два центроида граней тетраэдра, параллелен соответствующему ребру тетраэдра (т. е. ребру, соединяющему несовпадающие вершины рассматриваемых граней) и равен 1/3 длины этого ребра.

Сложив эти равенства почленно и, учитывая, что M1 , M 2 , M3 , M 4 — центроиды граней (используем равенство (2)), получим:

грани, AB a, AC b, AD c, BD p, BC m,CD n (рис. 3.26).

109

Глава III

Рис. 3.26

По признаку (2) центроида имеем

Откуда, учитывая, что а а2 , получим:

110

Следствие. Если длины всех ребер тетраэдра равны а, т. е. тетраэдр правильный, то

(рис. 3.27). Эти треугольники могут лежать как в одной плоскости, так и в разных плоскостях (пространственная модель). Пусть G и G1 — соответственно точки пересечения медиан этих треугольни-

ков. Доказать, что GG1 13 (AA1 BB1 CC1 ).

•

•

Рис. 3.27

Точка G1 — центроид ∆ А1В1С1 . Поэтому на основе четвертого основного векторного соотношения имеем

Используя правило треугольника сложения векторов, находим

111

Глава III

GA1 GB1 GC1 (GA GB GC) (AA1 BB1 CC1).

Векторный метод решения задач позволяет делать глубокие обобщения, в чем можно убедиться на примере решения следующей задачи.

Задача 3 . 2 1 . Доказать, что сумма квадратов расстояний ка- кой-нибудь точки окружности до вершин вписанного правильного треугольника есть величина постоянная, не зависящая от положения точки на окружности.

Традиционное решение этой задачи есть, например, в работе [36, с. 208—211]. Однако с помощью векторов решить ее можно намного проще. Приведем решение [4].

Пусть правильный ∆ АВС вписан в окружность (О, R ) с центром O и радиусом R , а M — произвольная точка на окружности (рис. 3.28).

Рис. 3.28

112

§ 3.4. Четвертое основное векторное соотношение

Сложив равенства (13) почленно и учитывая соотношение (12),

Итак, сумма квадратов искомых расстояний не зависит от положе-

ния точки М на окружности, а зависит только от ее радиуса R . Такое решение задачи намного короче и легче традиционного. Но

преимущество его не только в этом, а в большей общности рассуждений. Действительно нетрудно обобщить эту задачу на следующие случаи:

а) Приведенное доказательство справедливо и для точки М сферы, описанной вокруг треугольника так, что ее центр совпадает с центром треугольника.

б) Нетрудно обобщить эту теорему и для случая, когда в окружность или сферу вписан не треугольник, а любой правильный многоугольник.

в) Многоугольник может быть и не обязательно правильным, но симметричным относительно центра О.

г) Задачу можно обобщить и для описанных правильных многоугольников.

д) Можно и дальше продолжать обобщение задачи: рассматривать многоугольник (многогранник) не обязательно правильный или симметричный относительно точки О, а окружность (сферу), не обязательно вписанную или описанную, важно лишь, чтобы сумма векторов

OA i равнялась нулевому вектору, т. е. точка О — центроид точек

А1 Аn .

113