Теория игр Контрольная работа Вариант 3

1.Для платежной матрицы определить нижнюю и верхнюю цену игры, минимаксные стратегии и оптимальное решение игры и седловую точку.

Краткая теория:

Матрица P = (a_ij ), i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_i и B_j , называется платежной матрицей.

Обозначим через α_i , наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии A_i для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т.е.:

Среди всех чисел (i=1, 2…m) выберем наибольшее. Назовем  нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Следовательно:

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией.

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию B_j , он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим

Среди всех чисел B_j ; выберем наименьшее и назовем β верхней ценой игры или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно:

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры α = β = v называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность — оптимальным решением, или решением игры.

Пара чистых стратегий Ai и Bj дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент aij , является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой.

Решение.

Определим нижнюю цену игры.

Таким образом

- нижняя цена игры

Определим верхнюю цену игры.

Таким образом

- верхняя цена игры.

следовательно, эта игра имеет решение в минимаксных стратегиях.

Минимаксные стратегия – столбец 1 (В1), строка 2 (А2).

Оптимальное решение – пара чистых стратегий (A2, B2), эта же пара стратегий и образует седловую точку.

2.Определите, решается ли игра в чистых стратегиях. Если решается, найдите решение (стратегии игроков и цену игры). Игра задана платежной матрицей .

Решение.

Сравним нижнюю и верхнюю цены игры. Если они совпадают, т.е. α = β = v, то это значит, что игра имеет решение в так называемых "чистых", минимаксных стратегиях.

Определим нижнюю цену игры.

Таким образом - нижняя цена игры

Определим верхнюю цену игры.

Таким образом - верхняя цена игры.

Следовательно, это игра решается в чистых стратегиях.

Минимаксные стратегии: B1, В3. (Столбцы, содержащие цену игры 6)

Максиминные стратегии: А2, A3. (Строки, содержащие цену игры 6)

3.Найдите решение игры в смешанных стратегиях. Игра задана платежной матрицей .

Краткая теория:

Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В таком случае можно получить оптимальное решение, случайным образом чередуя чистые стратегии.

Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий A1, A2, ..., Am с вероятностями p1, p2, ..., pi, ..., pm причем сумма вероятностей равна 1:

Смешанные стратегии игрока А записываются в виде матрицы:

или в виде строки  = (p1, p2, ..., pi, ..., pm). Аналогично для игрока B.

Решение.

Решить игру означает для каждого игрока найти оптимальную стратегию.

Определим нижнюю цену игры.

Таким образом

- нижняя цена игры

Определим верхнюю цену игры.

Таким образом

- верхняя цена игры.

Следовательно, платежная матрица не содержит седловой точки. Это значит, что игра не имеет решения в чистых минимаксных стратегиях, но она всегда имеет решение в смешанных стратегиях.

Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А.

Если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B₁, то средний выигрыш  составит:

C другой стороны, если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B₂, то средний выигрыш составит:

Приравняв левые части уравнений, получим:

А с учетом того, что , имеем:

Отсюда найдем оптимальную частоту стратегии (раскрываем скобки и выносим общим множитель ):

Подставляем значения:

Теперь вычислим цену игры, подставив значения в вышеприведенную формулу

Теперь найдем оптимальную стратегию для игрока B.

Теперь вероятность обозначим через .

Если предположить, что игрок "A" будет пользоваться чистой стратегией A₁, то средний выигрыш  составит:

Поскольку цена игры  нам уже известна и учитывая, что q₁ + q₂ = 1, то оптимальная частота стратегии B₁ может быть найдена как:

Подставим наши значения:

Отсюда

В итоге получаем следующие оптимальные стратегии:

Для игрока А

Для игрока В

Это и есть решение игры.