Однородные системы линейных уравнений. Структура общего решения. Условие существования нетривиального решения.

Однородной системой линейных уравнений называется система, все правые части которой равны нулю одновременно.

Структура общего решения:

запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце:

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система:

Выразим базисные переменные через свободную переменную:

Ответ: общее решение: 

Тривиальное решение – все неизвестные равны нулю, общее решение представляет собой набор значений неизвестных.

Если ранг матрицы равен количеству переменных, то существует только тривиальное решение