Лекции и пособия / Расчёты при растяжении-сжатии

6

Раздел 1. РАСЧЁТЫ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ

Вэтом разделе рассматриваются расчёты на прочность и жёсткость при растяжении и сжатии. Растяжение и сжатие возникает: в опорных стержнях, поддерживающих какие либо конструкции (сооружения, плоские и пространственные рамы, ─ в целом эти системы называют стержневыми системами); в стержнях ферм (фермы − это системы из прямолинейных стержней, соединённых по концам шарнирами); в элементах конструкций, имеющих вид прямого бруса постоянного или переменного сечения и нагруженных продольной нагрузкой. Например, как прямой брус при действии растягивающей силы рассматривают болты

ивинты, применяемые в механических соединениях; трос подъёмного механизма; как прямой брус изображают следующие элементы, воспринимающие продольную нагрузку: колонны зданий и оборудования, фабричные трубы, столбчатые фундаменты, которые сжаты собственном весом и верхней нагрузкой.

При составлении схем расчёта при растяжении и сжатии учитываются геометрия всей системы, вид внешнего воздействия, и способ присоединения (или опирания). Если присоединение фактически препятствует смещению и повороту, то на схеме изображается так называемая жёсткая заделка. Если опора не позволяет линейного перемещения, а поворот частей системы относительно друг друга происходит, то такое соединение называют шарнирным и на расчётной схеме изображается шарнир.

По количеству имеющихся опор схемы для расчёта могут быть как статически определимыми (количество опорных связей равно количеству уравнений равновесия), так и статически неопределимыми (количество опорных связей превышает количество уравнений равновесия). Ввиду этого в данном пособии рассматривается решение следующих задач, которые задают в курсовой работе и в расчётно-графических заданиях по сопротивлению материалов.

Задача 1. Подбор размеров сечения стержней стержневой системы. Задача 2. Подбор размеров сечения стержней фермы.

Задача 3. Проектный расчёт ступенчатого бруса.

Задача 4.Проектныйрасчётступенчатогостатическинеопределимогобруса. Задача 5.Проектныйрасчётстержневойстатическинеопределимойсистемы. Задача 6. Проверочный расчёт ступенчатого бруса.

Задача7.Проверочныйрасчётступенчатогостатическинеопределимогобруса.

Вкаждой из названных задач необходимо выполнить расчёт на прочность, в ходе которого всегда требуется знать значение внутренней продольной силы N, так как в случае растяжения и сжатия в поперечных

7

сечениях бруса возникают только продольные силы, которые и позволяют оценить сопротивление бруса внешним воздействиям.

Известно, что в общем случае нагружения в поперечном сечении бруса могут возникать шесть разных внутренних усилий, но при решении задач изображают и вычисляют только те усилия, которые не равны 0. Так, при растяжении и сжатии по виду внешних сил видно, что в сечении возникает лишь продольная сила N.

Выполним вычисление продольной силы N на примере бруса с нагрузкой общего вида: в начальном сечении бруса покажем сосредоточенную силу Р и по всей длине распределённую нагрузку интенсивности q (рис. 1.1, а). Введём правило знаков нагрузки: принимаем за положительное то направления, которое вызывает растяжение.

а

б

в

г

Рис. 1.1

Значения продольной силы вычисляют методом сечений, выполняя последовательно правило РОЗУ: Разрезать, Отбросить, Заменить, Уравновесить. Выполним разрез бруса на расстоянии z от свободного края (это будет текущее сечение) и изобразим правую часть (рис. 1.1, б). В текущем сечении поставим силу N. Если изобразить силу N от сечения, то она растягивает отсечённую часть бруса. Такое направление продольной силы принято считать положительным. Заметим, что, поставив силу N в текущем сечении, мы произвели замену воздействия отброшенной части

8

бруса на оставленную. Составим уравнение равновесия. Как известно, для пространственного тела имеем шесть уравнений равновесия, но при растяжении-сжатии из шести уравнений равновесия только одно не превращается в тождество 0=0, − это сумма проекций всех сил на продольную ось бруса:

Как видно, продольная сила N в сечении равна алгебраической сумме проекций на ось z всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Получается закономерность: положительная внешняя нагрузка создаёт положительную продольную силу.

Принято изображать график изменения N вдоль оси, который называют эпюрой N. Этот график удобен, так как наглядно показывает изменение силы вдоль бруса и определяет опасное сечение: опасным является сечение, в котором продольная сила принимает максимальное значение (определяется максимальная растягивающая и максимальная сжимающая силы). Эти значения являются расчётными значениями силы и необходимы для составления условия прочности.

Для построения эпюры N вычислим значения силы в начале бруса

(при z = 0) и в конце (при z = l). Получим граничные значения продольной силы: N(0) P, N(l) ql P. Отложив эти значения от базисной

(нулевой) линии, проведённой под брусом, соединим значения согласно с (1.2) наклонной прямой и получим эпюру N. При положительных значениях нагрузки, показанной на чертеже бруса, она выглядит нарастающей от свободного края по линейному закону (рис. 1.1, в). Реальная нагрузка вносит свои коррективы: подставляя значения реальной нагрузки в формулу (1.2), можно получить функцию продольной силы и построить эпюру N для любого грузового участка расматриваемого бруса. С другой стороны, формула (1.2) позволяет проследить закономерности функции N, связанные с видом и направлением внешней нагрузки:

на участке, где интенсивность распределённой нагрузки q 0, продольная N =const, и на эпюре N – прямая, параллельная оси;

на участке с распределённой нагрузкой, где q≠0, продольная N изменяется линейно, и на эпюре N – наклонная прямая, причём при q>0 продольная сила растёт, при q < 0 продольная сила уменьшается.

Заметим следующие методические приёмы при нахождении силы N:

9

1.Силу N в сечении лучше предполагать положительной (т. е. направленной от сечения). Это удобно, так как получив её значение, автоматически указывается знак «+» при растяжении и знак «–» при сжатии, что особенно важно при расчёте бруса из материала, не одинаково работающего на растяжение и сжатие.

2.Определение продольной силы для бруса с заделкой удобно выполнять, рассматривая отсечённую часть со стороны свободного края, так как приэтом не обязательно определение опорных реакций.

Расчёт элементов деталей машин и механизмов ведётся в пределах упругих деформаций, поэтому используют условие прочности по

допускаемым напряжениям, общий вид которого имеет вид σ σ . Согласно этому условию напряжения σ не должны превышать допускаемого напряжения σ . При растяжении-сжатии нормальные

напряжения в поперечном сечении бруса σ равномерно распределены по площади (см. рис. 1.2) и определяются как отношение продольной силы к площади сечения:

В рассматриваемых ниже задачах имеются, во-первых,стержни, в которых площадь сечения F и продольная сила вдоль оси постоянны, и, вовторых, ступенчатый брус, имеющий несколько грузовых участков с разной площадью сечения F и различным характером нагрузки. Для первых стержней условие прочности по допускаемым напряжениям записываем как

а для ступенчатого бруса условие прочности принимает вид

Нужно помнить, что для пластичных материалов (например, для малоуглеродистых низколегированных сталей) имеем одинаковые

допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, т. е. σр = σ c = σ , а для хрупких материалов (например, для чугуна) допускаемые напряжения

материалов составляем одно условие прочности, а для хрупких − два условия.

По условию прочности возможно выполнение трёх видов расчёта на прочность:

10

проектный расчёт (это определение размеров сечения);

проверочный расчёт (вычисление напряжений и проверка прочности);

определение несущей способности (нахождение величины нагрузки).

Врассматриваемых ниже задачах рассмотрены два первых вида

расчёта.

При работе реальных систем длина стержня или его части изменяется, что вносит свои особенности в обслуживание и сохранение работоспособности всей системы, поэтому в задачах предусмотрено вычисление деформаций и проверка жёсткости. Величина изменения длины стержня (рис.1.2, а), называемая абсолютной деформацией l, вычисляется как

где E – модуль продольной упругости (или модуль Юнга), для стали и чугуна Е=2∙105МПа, для алюминиевых сплавов Е=0,65 105МПа; величина

EF называется жёсткостью сечения при растяжении-сжатии.

За счёт деформации стержня происходит поступательное перемещение δ поперечных сечений стержня в продольном направлении. Поясним вычисление перемещений δ на нашем примере (рис. 1.1, г). Перемещение заделки δА равно 0, т. е. δА=0, а свободный край бруса переместился на величину деформации всего бруса, которую найдём по

(1.6):

Здесь выражение, полученное после интегрирования, показывает, что имеем функцию 2-го порядка по отношению переменной z (это результат действия распределённой нагрузки), значит, величина перемещения текущего сечения, задаваемого абсциссой z, изменяется вдоль бруса по квадратичной зависимости от z, ─ по квадратичной параболе.

При расчёте ступенчатого бруса для вычисления перемещений отдельных (так называемых характерных) сечений необходимо знать абсолютные деформации грузовых участков бруса, определяемые формулой (1.6). При этом перемещение i-го сечения будет равно перемещению (i-1)-го плюс деформация li i-го участка:

11

Используя полученные значения перемещений, строят эпюру δ, которая наглядно показывает изменение продольных перемещений вдоль бруса и позволяет выбрать его наибольшее значение δmax. Для бруса, изображённого на рис. 1.1, эпюра δ будет криволинейной, для которой нужно правильно изобразить форму кривой. Для определения угла наклона касательной к кривой перемещений, возьмём производную от функции перемещений (1.7), с учётом (1.6) получим

Как видно, угол наклона касательной к кривой перемещений повторяет закон изменения силы N , поэтому эпюра N всегда позволяет определить наклон кривой δ: так в рассматриваемом примере сила N растёт от свободного края к заделке, поэтому угол наклона касательной увеличивается к заделке, ивыпуклость обращенавверх (рис. 1.1,г).

Нужно заметить, что согласно с (1.8), функция перемещений δ(z) на порядок выше функции N (z):

на участке бруса, где N=const и эпюра N – прямая, параллельная оси, на эпюре перемещений δ будет наклонная прямая;

там, где на эпюре N – наклонная прямая, на эпюре перемещений δ ─ кривая 2-го порядка (парабола), изогнутость которой и определяется согласно (1.8) по значениям силы N .

Для обеспечения нормальной работы конструкции необходимо,

чтобы значение δmax не превышало допускаемого перемещения δ , в

таком случае говорят, чтобы выполнялось условие жёсткости, которое имеет вид:

Это условие позволяет выполнять те же три вида расчётов, что и условие прочности. Поэтому, когда оно для рассматриваемого элемента не соблюдается, по нему определяют требуемые величины.

Для правильного контроля работы конструкций надо знать, какие напряжения возникают не только в осевом направлении, но и на любом наклонном к оси. Если стержень разрезать двумя поскостями (рис. 1.2, а): плоскостью 1-1, перпендикулярной оси и плоскостью 2-2, наклонённой к поперечному сечению под углом α, далее выделить полученную часть стержня (рис. 1.2, б) и рассмотреть её равновесие по уравнению (1.1), − то получим в наклонном сечении напряжения pα , параллельные σ и равные

pα σcos . Разложим вектор напряжения pα на нормаль и касательную к

12

наклонному сечению и получим, что при растяжении-сжатии в наклонных сечениях возникают и нормальные σα , и касательные τ напряжения (см.

рис. 1.2, б), равные

Формулы (1.10) показывают, что наибольшие нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях, а наибольшие касательные ─ на площадках под углом α 450 , на которых касательные и нормальные

напряжения одинаковы по величине: τα=450 τmax σ2 , σα 450 σ2 .

а

б

Рис. 1.2

Этот факт позволяет обьяснить реальное сопротивление растяжению и сжатию разных материалов. Рассмотрим широко распространённые конструкционные материалы: сталь и чугун. Сталь, как пластичный материал, при сжатии деформируется за счёт сдвига, и наибольший сдвиг получает от наибольших касательных напряжений под углом α 450 , при достижении этими напряжениями величины предела текучести стали при сдвиге τт (т. е. при τα=450 =τТ ) наблюдается интенсивный сдвиг по этому

направлению, а образец принимает бочкообразную форму (рис. 1.3, а). Известно, что предел текучести стали при сдвиге τт составляет приблизительно 0,6 от предела текучести при растяжении-сжатии σт. Отсюда понятно, что при τα=τт образец не разрушается ни от сжимающих

напряжений в поперечном сечении σ FP , которые меньше предела текучести σT (т. е. образец не раскалывается), ни от растягивающих

13

большую пластичную деформацию сдвига, приводящую к бочкообразной форме. При дальнейшем увеличении напряжений деформация сдвига наростает с большой скоростью, образец сплющивается, − это говорит о том, что допускать предел текучести для стальных конструкций опасно.

При сжатии чугунного образца (рис.1.3, б) наблюдается хрупкий скол по плоскости под углом α 450 к оси. Объяснить такое разрушение можно тем, что чугун хорошо сопротивляется сжатию и слабо растяжению. Образец разрывается от действующих под углом α=450 к оси бруса растягивающих напряжений, достигших предела прочности на

направлению этих напряжений и наклонена под -450 к оси бруса. Для закрепления знаний о напряжениях при расчёте ступенчатого бруса можно предусмотреть вычисление напряжений под углом α=450 к оси бруса по

(1.10).

Задача 1. Подбор размеров сечения стержней стержневой системы

В плоской стержневой системе (рис. 1.4, а) абсолютно жёсткий брус АB имеет три опорных стержня и несёт нагрузку известной величины.

Требуется:

1.С помощью уравнений равновесия определить усилия в опорных стержнях.

2.Подобрать площади поперечного сечения стержней из условия прочности по допускаемым напряжениям, если допускаемое напряжение

14

размеры сечений, принимая два стержня круглого и один квадратного сечений.

Исходные значения: l 2 м; q 15 кН/м; P 2ql; стержни 1, 2

круглого сечения, стержень 3 – квадратного.

Решение 1. Определение продольных усилий в опорных стержнях

Опорные стержни 1, 2, 3 имеют (рис. 1.4, б) по концам шарниры. При действии внешних сил на жёсткий брус АВ эти стержни деформируются (т.е. изменяют длину) и за счёт деформаций шарниры B и C перемещаются: на рис. 1, в для шарнира С показано новое положение С1,

при котором соединяемые элементы (брус АВ и стержень 2) поворачиваться друг относительно друга, и край С получил горизонтальное и вертикальное перемещения. Эти перемещение края С произошли от горизонтального и вертикального воздействия со стороны

бруса АB. Обозначим их как RСx и RСy и покажем эти усилия на рис. 1.4, г.

Законченный поворот стержня 2 говорит о том, что для него соблюдается условие равновесия мом С2 0. Запишем его:

направленная в противоположную сторону вектора RC .

Очевидно, для стержня, имеющего по концам шарниры, будут всегда верны эти рассуждения, и, используя их, будем сразу направлять реакции вдоль такого стержня.

Замечание 1: стержень, имеющий по концам шарниры, может быть только либо растянут, либо сжат.

Для подбора размеров сечений небходимо знать, какое внутреннее усилие возникает в каждом из стержней 1, 2, 3. Внутренние усилия определяют методом сечений. Например, разрежем стержень 2 в какомлибо месте и рассмотрим одну, пусть, нижнюю часть (рис. 1.4, д). Она нагружена реакцией R2 (это внешняя для стержня нагрузка) и силой N2

(это внутреннее для стержня усилие). Равновесие возможно, если N2 R2

(рис. 1, д). В виду этого можно обозначать реакции опорных стержней как N1, N2, N3 (рис. 1.4, б) и направлять их вдоль стержней.

15

Заметим, что для условия прочности важно знать направление продольной силы, которая оценивается знаком: если сила N направлена от проведённого сечения и растягивает стержень, то она считается положительной, если сжимает, то она направлена к сечению и в её цифровом значении ставится знак «–».

Чтобы автоматически при расчёте получить правильный знак N , поставим для всех стержней направление усилий N1, N2, N3

положительное, т. е. растягивающее.

а

б

Рис. 1.4