ЛБ1_МЛиТА

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Юго-западный государственный университет»

Факультет фундаментальной и прикладной информатики

Кафедра «Информационная безопасность»

Предмет «Математическая логика и теория алгоритмов»

Лабораторная работа № 1

Вариант 5

Исполнитель:

студент группы ИБ-11б

Гребенникова А.И.

Проверяющий:

профессор, д.физ-мат.н.

Добрица В.П.

Курск 2022

Задача 1. Определите, является ли данное выражение формулой. Если это формула, то выпишите последовательность построения формулы.

Формулой алгебры высказываний называется выражение, составленное из переменных высказываний с помощью операций над высказываниями и обращающееся в конкретное высказывание при подстановке вместо переменных высказываний конкретных высказываний.

Понятие формулы алгебры высказываний в математической

логике определяется следующим образом:

‒ пропозициональная переменная является формулой;

‒ если А и В ‒ формулы, то (А & В), (АВ), (¬А), (АВ),

(АВ), (АВ), (АB), (АВ) ‒ формулы;

‒ других формул, кроме построенных выше конечным числом

их применений, нет.

Простые высказывания имеют сложность 0. Максимальная сложность собственных подформул, увеличенная на 1, является сложностью формулы. (Не хватает отправного условия.)

((Х) (У))(Z) Решение:

Выражение ((Х) (У))(Z) является формулой, т.к выражение записано с логикой предикатов. Последовательность построения данной формулы следующая:

1. X, Y, Z – 0 сложность

2. (Х) (У) – 1 сложность

3. ((Х) (У))(Z) – 2 сложность

Задача 2. Сколькими способами можно расставить скобки в последовательности, чтобы получилась формула. Выписать все возможные получаемые формулы.

А0А1 А0  А1

Решение:

Расставим последовательность операций

(А0¹(А1 ²(А0 ³ А1))) (Как понимать? 1- это операция выполняемая первой? Тогда у Вас записано не то.) Здесь я обозначила операции номерами, чтобы ниже указать порядок их выполнения.

1. (А0А1) (А0  А1) – 312 (А здесь как понимать?) Первой выполняется операция №3 т.е. А0 ³ А1, затем операция №1 А0¹А1 и последним действием операция №2 (А0А1) ² (А0  А1).

2. А0(А1 (А0  А1)) - 321

3. (А0(А1 А0))  А1 - 213

4. А0((А1 А0)  А1) - 231(А здесь как понимать?) Аналогично п. 1 указала порядок выполнения операций.

5. ((А0А1) А0)  А1 - 123

6. (А0А1) (А0  А1) - 132

Задача 3. Выписать все подформулы данной формулы.

Подформулой формулы А называется любое подслово (часть) слова А, которое само являющееся формулой.

(ABC)((DA)C)

Решение:

1. A – сложность 0

2. B - сложность 0

3. C - сложность 0

4. D - сложность 0

5. A - сложность 1

6. C - сложность 1

7. BC - сложность 1 (Не вернно! См. внимательно определение.)

8. DA - сложность 2

9. ABC - сложность 2 (Не вернно! См. внимательно определение.)

10. (DA)C - сложность 3

11. (ABC)((DA)C) – сложность 4; cама формула, является несобственной подформулой. Первые 10 формул, являются собственными подформулами.

(Укажите сложности.)

Задача 4. Указать тип формулы. Доказать сделанный вывод.

(ABC)(DAC)

Решение:

A	B	C	D	AB	(AB) C	DA	(DA) C	(AB) C (DA) C
0	0	0	0	0	1	0	1	0
0	0	0	1	0	1	1	0	1
0	0	1	0	0	1	0	1	0
0	0	1	1	0	1	1	1	0
0	1	0	0	1	0	0	1	1
0	1	0	1	1	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	0	1	0
0	1	1	1	1	1	1	1	0
1	0	0	0	1	0	1	0	0
1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1	0
1	0	1	1	1	1	0	1	0
1	1	0	0	0	1	1	0	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0
1	1	1	0	0	1	1	1	0
1	1	1	1	0	1	0	1	0

Так как у формулы есть значение 0, то она не является тождественно истинной. А так как есть значения 1, то она является выполнимой.

Тождественно истинная формула (тавтология) – формула, в которой при любых значениях входящих в неё переменных высказываний она превращается всегда в истинное высказывание.

Тождественно ложной формулой (противоречием) называется формула, если она ложна, как бы не определились входящие в неё переменные высказываний.

Выполнимой (разрешимой) называется формула, если при определённом наборе значений переменных высказываний она превращается в истинное высказывание.

Опровержимой называется формула, если существует хотя бы один набор переменных, на котором формула превращается в ложь.

Задача 5. С помощью таблиц истинности, а также с помощью эквивалентных преобразований проверить на эквивалентность формулы.

Решение:

Составим таблицы истинности для обеих формул

(ABВAС)

A	B	C	В	AB	ВA	ВAС	AС	ABВAС
0	0	0	1	0	1	1	0	1
0	0	1	1	0	1	1	0	1
0	1	0	0	0	0	0	0	1
0	1	1	0	0	0	0	0	1
1	0	0	1	0	1	1	0	1
1	0	1	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	0	0	0
1	1	1	0	1	1	1	1	1

(BА)C)

A	B	C	B	BА	(BА)C
0	0	0	1	0	1
0	0	1	1	0	1
0	1	0	0	1	0
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	1	0
1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1
1	1	1	0	0	1

Формулы принимают значение 0 на разных наборах значений переменных, поэтому они не эквивалентны.

Применим эквивалентные преобразования:

(К какому виду надо преобразовывать формулы?)

В данном случае я преобразовала формулы к СДНФ и СКНФ.

1. (ABВAС)

(AB)(ВAС)

AB(ВAС)

A(BВAС)

A(((BВ))AС)

AB(AС)

ABС

Данная формула приведена к виду СДНФ.

2. (BА)C)

(B А)(A B) C

((BA)(AB))C

C(BA)(AB)

C(BA)(AB) (Но это не совершенная форма. )

(CBA)(ABС)

Данная формула приведена к виду СКНФ.

3. ABС ≠ (CBA)(ABС)

(А надо приводить к совершенным формам, т.к. они определяются однозначно до порядка элементов. А вот минимальных форм может быть несколько, что затруднит проверку эквивалентности.)

Задача 6. Представьте логическими формулами пословицы и поговорки.

Решение: В поговорке «Когда грома много – дождя мало» выделим простые высказывания, обозначив их буквами: А- Много грома, В – Много дождя. Тогда пословица примет вид: (А→( В))

Задача 7. Доказать законы логики. Ассоциативность дизъюнкции. Закон поглощения для конъюнкции.

Док-во:

(AB)CA(BC)

A	B	C	AB	(AB)C	BC	A(BC)
0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	1	1
0	1	0	1	1	1	1
0	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	0	1
1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

A(AB)=A

A	B	AB	A(AB)
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	1
1	1	1	1

Задача 8. При каких значениях переменных формула ложна.

((Y)(YX))

X	Y	Y	YX	(Y)(YX)
0	0	1	1	1
0	1	1	0	0
1	0	0	1	1
1	1	1	1	1

Импликация ложна только в случае истинности посылки и ложности заключения. Следовательно, формула Y должна принять значение 1, а YX – 0. Это возможно только в том случае, если  = 0, а Y = 1. В данном случае это единственный набор, на котором формула ложна.

Ответ: Формула ложна при наборах (X,Y)=(0,1)