ЛБ2_МЛиТА
.docx
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Юго-западный государственный университет»
Факультет фундаментальной и прикладной информатики
Кафедра «Информационная безопасность»
Предмет «Математическая логика и теория алгоритмов»
Лабораторная работа № 2
Вариант 5
Исполнитель:
студент группы ИБ-11б
Гребенникова А.И.
Проверяющий:
профессор, д.физ-мат.н.
Добрица В.П.
Курск 2022
Цель работы: изучить понятия булевой функции, дизъюнктивной и конъюнктивной нормальных форм, совершенные формы, представление булевых функций формулами алгебры высказываний.
Задача 1. Среди данных формул указать ДНФ.
1) (AB)(СD);
2) (AB)(CD);
3) (AB)(AC);
4) (АC)(AВC);
5) (АВC)(ABC).
Дизъюнктивной нормальной формулой называется произвольная дизъюнкция элементарных конъюнкций.
Элементарной конъюнкцией (дизъюнкцией) называется произвольная конъюнкция (дизъюнкция) формул, каждая из которых есть пропозициональная переменная или отрицание пропозициональной переменной.
Среди данных формул ДНФ являются формулы 1 и 5.
Задача 2. Выразить функцию X|Y через импликацию и отрицание.
Выразим штрих Шеффера через отрицание и конъюнкцию:
X|Y ¬(X∧Y)
По закону Де Моргана: (Разберитесь с отрицаниями.)
¬(X∧Y) ¬X¬Y
Выразим дизъюнкцию и отрицание через импликацию.
Так как (XY)¬XY, то
¬X¬Y X¬Y.
Итого: X|Y X¬Y.
Задача 3. Приведите данные логические выражения к конъюнктивной и дизъюнктивной нормальной формам (КНФ и ДНФ). Докажите равносильность полученных формул.
X↑Y→(Y≡Z)
Приведём формулу к ДНФ:
X↑Y =¬(X∨Y) (У Вас в задании стрелка Пирса, а не штрих Шеффера.)
Y⇔Z=(Y∧Z)∨(¬Y∧¬Z)
(X↑Y)⇒(Y⇔Z)= ¬(¬X∧¬Y)∨(Y∧Z)∨(¬Y∧¬Z)
¬(¬X∧¬Y)∨(Y∧Z)∨(¬Y∧¬Z) = Y∨X∨¬Z
Докажем равносильность с помощью таблиц истинности:
Таблица истинности X↑Y→(Y≡Z)
X |
Y |
Z |
X↓Y |
Y≡Z |
X↓Y→(Y≡Z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Таблица истинности Y∨X∨¬Z
X |
Y |
Z |
X∨Y |
¬Z |
Y∨X∨¬Z |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Приведём формулу к КНФ. (Какие проводили преобразования, чтобы получить КНФ?)
Y⇔Z = (Y∧Z)∨(¬Y∧¬Z)
Y⇒(Y⇔Z) = Z∨¬Y
X↑Y→(Y≡Z) = Y∧X∧¬Z
Y∧X∧¬Z = ¬( ¬Y∨¬X∨Z)
Докажем равносильность с помощью таблиц истинности:
Таблица истинности ¬( ¬Y∨¬X∨Z)
X |
Y |
Z |
¬X |
¬Y |
¬Y∨¬X |
¬Y∨¬X∨Z |
¬( ¬Y∨¬X∨Z) |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Задача 4. Построить совершенные нормальные формы.
Построить СКНФ от трех переменных, которая равна 0 тогда и только тогда, когда одна или три переменные равны 1.
Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной формулы алгебры высказываний называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим свойствам:
‒ КНФ не содержит одинаковых сомножителей;
‒ ни один из сомножителей не содержит двух одинаковых слагаемых;
‒ ни один сомножитель не содержит одновременно некоторое переменное высказывание и его отрицание;
‒ каждый сомножитель СКНФ содержит в качестве слагаемого либо переменное высказывание, либо его отрицание для всех переменных высказываний, входящих в формулу.
Построим таблицу истинности, и выберем наборы, удовлетворяющие заданным условиям.
A
B
C
0
0
0
1
0
0
1
0
A∨B∨¬C
0
1
0
0
A∨¬B∨C
0
1
1
1
1
0
0
0
¬A∨B∨C
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
¬A∨¬B∨¬C
Для каждого набора составим элементарную дизъюнкцию.
Составим СКНФ из полученных элементарных дизъюнкций:
(A∨B∨¬C)∧(A∨¬B∨C)∧(¬A∨B∨C)∧(¬A∨¬B∨¬C)
Задача 5. Построить формулу алгебры высказываний, обладающую следующей функцией истинности:
f(0,0,0)=f(1,1,0)=f(0,1,0)=f(0,1,1)=1
Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество ДНФ и КНФ.
Построим таблицу истинности для формулы в соответствии с функцией истинности:
A |
B |
C |
F |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Составим ДНФ по полученной таблице истинности.
Для начала составим простейшие конъюнкции для каждой строки таблицы, принимающей значение 1.
f(0,0,0) = ¬A∧¬B∧¬C
f(1,1,0) = A∧B∧¬C
f(0,1,0) = ¬A∧B∧¬C
f(0,1,1) = ¬A∧B∧C
Затем объединим их с помощью дизъюнкции и получим ДНФ.
(¬A∧¬B∧¬C)∨(A∧B∧¬C)∨(¬A∧B∧¬C)∨(¬A∧B∧C)
Аналогичным образом можно составить КНФ.
Для начала составим простейшие дизъюнкции для каждой строки таблицы, принимающей значение 0.
f(0,0,1) = A∨B∨¬C
f(1,0,0) = ¬A∨B∨C
f(1,0,1) = ¬A∨B∨¬C
f(1,1,1) = ¬A∨¬B∨¬C
Объединим полученные дизъюнкции конъюнкцией и получим КНФ.
(A∨B∨¬C)∧(¬A∨B∨C)∧(¬A∨B∨¬C)∧(¬A∨¬B∨¬C)
(Как получили?)