1. Сложение вращений тела вокруг двух осей

На рис. 54 изображено тело, которое со­вершает сложное движение – вращение вокруг оси, которая сама вращается вокруг другой, не­подвижной оси. Естественно, первое вращение следует на­звать относительным движением тела, второе – переносным, а соответствующие оси обозна­чить и.

Рис.54

Абсолютным движением будет вращение вокруг точки пересечения осей О. (Еcли тело имеет больший размер, то его точка, совпа­дающая с О, все время будет неподвижной). Угловые скорости переносного вращения и от­носительного вращения изображается векто­рами и, отложенными из неподвижной точкиО, точки пересечения осей, по соответст­вующим осям.

Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М тела, положение которой определяется радиусом-вектором (рис.54).

Как известно, она складывается из двух скоростей, относительной и переносной: . Но относительное движение точки (ис­пользуя правило остановки), есть вращение с угловой скоро­стьювокруг оси, определяется радиусом-вектором. Поэтому,.

П

Рис. 11.1.

ереносное движение точки в данный момент времени, опять используя правило остановки, тоже есть вращение, но вокруг осис угловой скоростьюи будет определяться тем же радиусом-вектором. Поэтому и переносная скорость.

Абсолютная же скорость, скорость при вращении вокруг неподвижной точки О, при сферическом движении, определяется аналогично , где- абсолютная угловая скорость, направленная по мгновенной оси вращенияР.

По формуле сложения скоростей получим: или.

Отсюда

То есть мгновенная угловая скорость, угловая скорость абсолютного движения, есть векторная сумма угловых скоростей переносного и относительного движений. А мгновенная ось вращения P, направленная по вектору , совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторахи(рис.54).

Частные случаи:

1. Оси вращения ипараллельны, на­правления вращений одинаковы (рис. 55).

Рис.55

Так как векторы ипараллельны и направлены в одну сторону, то абсолютная угловая скорость по величине равна сумме их модулейи вектор ее направлен в туже сторону. Мгновенная ось вращенияР делит рас­стояние между осями на части обратно пропорциональные и:

. (Аналогично равнодействующей параллельных сил).

В этом частном слу­чае тело А совершает плоскопараллельное движение. Мгновенный центр скоростей находится на осиР.

2. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны (рис.56).

Рис.56

В этом случае (при). Мгновенная ось вращения и мгновенный центр скоростей находятся за вектором большей угловой скорости на расстояниях таких, что(опять по аналогии определения равнодействующей параллельных сил).

3. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны и угловые скорости равны.

Угловая скорость абсолютного движения и, следовательно, тело совершает поступательное движение. Этот случай называетсяпарой вращений, по аналогии с парой сил.

Пример 16. Диск радиусом R вращается вокруг горизонтальной оси с угловой скоростью , а эта ось вместе с рамкой вращается вокруг вертикальной неподвижной оси с угловой скоростью(рис.57).

Рис.57

Горизонтальная ось – это ось относительного вращения ; вертикальная ось – ось переносного вращения. Соответственно угловые скоростивекторы их направлены по осями.

Абсолютная угловая скорость , а величина ее, так как,

.

Скорость точки А, например, можно найти или как сумму переносной и относи­тельной скоростей: , где

и ,

или как при абсо­лютном движении, при вращении вокруг мгновенной оси Р, .

Вектор скорости будет расположен в плоскости перпендикулярной векторуи осиР.

Пример 17. Водило ОА с укрепленными на нем двумя колесами 2 и 3 вращается вокруг оси О с угловой скоростью . Колесо 2 при этом будет обкатываться по неподвижному колесу 1 и заставит вращаться колесо 3. Найдем угловую скорость, этого колеса. Радиусы колес(рис. 58).

Рис.58

Колесо 3 участвует в двух движениях. Вращаться вместе с водилом вокруг оси О и относительно оси . ОсьО будет переносной осью, ось – относительной. Переносная угловая скорость колеса 3 – это угловая скорость водила, направленная по часовой стрелке, как.

Чтобы определить угловую скорость относительного движения, наблюдателю нужно находиться на водиле. Он увидит водило неподвижным, колесо 1 вращающимся против часовой стрелки со скоростью (рис. 59), а колесо 3 – вращающимся с относительной угловой скоростью, против часовой стрелки. Так как, то. Оси вращения параллельны, направления вращений противоположны. Поэтомуи направлена так же как, против часовой стрелки. В частности, если, тои.Колесо 3 будет двигаться поступательно.

Рис.59

Исследование движения других подобных конст­рукций (планетарных и дифференциальных редукто­ров, передач) ведется аналогичным способом.

Переносной угловой скоростью является угловая скорость водила (рамки, крестовины и т.п.), а чтобы определить относительную скорость какого-либо ко­леса, нужно водило остановить, а неподвижное колесо за­ставить вращаться с угловой скоростью водила, но в противоположную сторону.

Угловые ускорения тела в абсолютном движении можно искать как производную , где. Покажем (рис.60) единичные векторыи(орты осейи), а векторы угловых скоростей запишем так:,.

Тогда и угловое ускорение, при

.

З

Рис. 11.7.

десь,и.

Поэтому или

и ,

где – угловое ускорение переносного вращения;– угловое ускорение относительного вращения;– добавочное угловое ускорение, которое определяет изменение относительной угловой скоростипри переносном движении. Направлен этот вектор перпендикулярно осями, как скорость конца вектора. Модуль добавочного углового ускорения, где- угол между осями.

Конечно, если оси вращения параллельны, это угловое ускорение будет равно нулю, так как.

Рис.60

2. Общий случай движения тела

Произвольное движение тела – это общий случай движения. Его можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранным полюсом С и вращения вокруг этого полюса. Первое движение определяется уравнениями движения полюса, точки С:

А второе движение – уравнениями вращения вокруг точки С с помощью углов Эйлера:

Скорости и ускорения точек тела в общем случае, при произвольном движении, определяются такими же методами, как при сложном движении точки (см. раздел выше).