§ 4. Решения обыкновенного волнового уравнения

21

где Но [ ]—функция Гаикеля нулевого порядка второго рода:

Я⁽₀²> (z)^-J₀(z)-jN₀(z). (1.14)

Здесь /₀ и N₀ — соответственно функции Бесселя и Нейманна, таблицы и графики которых можно найти в работах Морза [2], Янке и Умде [11]

Ф II г. (>. J'рафпк функции Кесеелн нуленого порядка J₀(z) от вещественного аргумента z.

2

Фи г. 1. График функции Нейманна пулевого порядка N₀ (z) от вещественного аргумента 2.

и многих других. На фиг. 6 и 7 представлены графики функций /₀ и 7V₀ от вещественного аргумента, т. с. для случая (8с/о))²<1; графики построены для аргумента юг/с = г, лежащего в интервале от 0 до 15. Для значений z > 15 можно пользоваться асимптотическими формулами

(1.15)

2 2

//[)^2> (Z)

-■И)

(1.17)

Уравнения (1.13)—(1.17) показывают, что различные компоненты сложной волны распространяются с различным набегом фаз и разными

Фиг. 8. График функции Пссссля первого порядка J _х (z) от вещественного аргумента z.

законами спадания амплитуды вплоть до расстояний,. на которых начи­нают быть справедливы формулы (1.15) —(1.17). Следовательно, при ма­лых z сложные цилиндрические волны изменяют свою (форму при рас­пространении.

?■

Фиг. 9. График функции Нейманна норного порядка iVj (с) от псщественного аргумента л.

Колебательная скорость частиц q (в направлении г) равна

Я

/сор₀ дг /ро^с L

ei'"

где //\²⁾ [ ]—функция Ганкеля первого порядка второго рода, ляемая формулой

(1.18)

опреде-

H^(z) = J_l{z)-jN_l (z).

(1.19)

На фиг. 8 и 9 представлены графики функций J_t{z) и N₁(z) для вещественного аргумента z. изменяющегося от 0 до 15. Для больших

23

значений ъ можно пользоваться асимптотическими формулами

cos

/l(z)= -

Ni(z) = -

У”

■G-т)

Vy-

//⁽,²⁾ (2) = '

|/£

(1.20)

(1.21)

(1.22)

Волновое сопротивление Z_s в какой-либо точке г среды равно отно­шению pjij

Z_t = -

/?оС

\Z.\eff.

g Ро^с

1-7

. ОС

Р(А

(1.23)

(1.24)

11а фиг. 10 и 11 даны, при уело пи и (Sc/tn)² < 1 графики для отношения

|Z_s|/_Poc и для угла <р сдвига фаз между давлением и скоростью в функ­ции от безразмерного параметра кг — 2т,г/\. Графики показывают, что вблизи источника (или при низких частотах) \Z_S \ мало, а ср близок к 90°.

В. Сферические синусоидальные волны. В среде, не ограниченной по всем направлениям, давление в любой точке на расстоянии г от

Гл. 1. Среда

«точечного» источника (или от центра пульсирующей сферы) опреде­ляется формулой

Р =

— or

г

Скорость частиц q ранпа

— \ др /о>Ро дг

i^u>H^r \

(1.25)

(1.26)

Ф и г. 11. График зависимости фазового угла 9 удельного акустического с он рот пил они и от Ат.

Нолпокое сопротивление Z_s в какой-либо точке г определяется отно­шением p/q:

Z_A = -

/<ор₀СГ

С -f- /0>Г

0-'v)

или для (ос/ш)² < 1

Д. = I Z_s I eft -

krypc

}/ J + AV²

; arclg

hr

(1.27)

(1.28)

где A = ш/с — волновое число. Для больших значений г имеем Z_s ^ р₀с.

11а фиг. 12 и 13 даны, в предположении (&с/о>)'² < 1, графики за­висимости величины |Z_s|/p₀c и угла <р сдвига фаз между давлением и скоростью от кг. На фиг. 387 (стр. 442) дан график отношения р₀c/Z_s, выраженного в децибелах *).