§ 2. Элементы математической статистики

293

Произведя интегрирование, получаем для к:

к

(9.3)

Иначе говоря, когда к имеет указанное значение, площадь, ограниченная кривой фиг. 264, равна единице. Отметим также, что к является наиболь­шим значением Р.

Среднее значение абсциссы равно нулю, поскольку кривая распре­деления симметрична относительно х=0.

В уравнении (9.1) величина а носит название стандартного отклоне­ния и определяет остроту кривой распределения. Аналитически она представляет собой среднеквадратичное отклонение объектов (дробинок) от среднего в кривой распределения. Чтобы подтвердить это положе­ние, образуем ряд для среднеквадратичных отклонений дробинок от точки £=0:

п

Среднеквадратичное отклонение = — 2

/=1

Положив, как и прежде, Ах—>0 и п—* оо, получаем

Среднеквадратичное отклонение

сю

J Х*Р dx

—со

(9.4)

(9.5)

После подстановки (9.1) и (9.3) в (9.5) получаем

оо

Среднеквадратичное отклонение = \ х²е~^хг^²^ dx. (9.6)

у 2па J

—оо

р

Значение р=а с иррациональным множителем, а именно р=0,6745а.

Гл. 9. Характеристики статистических шумов

§ 3. Рассмотрение случайных шумов статистическими методами

Случайные шумы могут рассматриваться методами статистического анализа; теми же методами радиофизики рассматривают выходное напря­жение выпрямителя, включенного на источник статистического шума. В подобных случаях мы не можем предсказать точно значение амплитуды входного и выходного напряжений в некоторый момент времени. Количе­ственно самое большее, что мы можем сделать, это определить вероят­ность возникновения пиков и нулей шума, чтобы показать, что они сле­дуют некоторому закону распределения, вычислить средние значения, среднеквадратичное отклонение и высшие статистические моменты и рассчитать корреляцию некоторого явления в данный момент времени с тем же явлением в несколько более поздний момент. Миддльтон [3] отмечает, что далеко идущие следствия статистического характера шумов лежат в том факте, что между распределением мгновенных амплитуд и спектральным распределением энергии шума (т. е. зависимостью сред­него квадрата амплитуды от частоты) не имеется такого соотношения, по которому одно могло бы быть получено из другого. Например, средне­квадратичный спектр нормального шума и амплитудно-ограниченного шума могут быть идентичны, но распределения мгновенных амплитуд могут быть совершенно отличными, что мы легко можем наблюдать на экране электронного осциллоскопа. Причина этого заключается в том, что информация о фазовых соотношениях здесь всегда выпадает. Таким обра­зом, для данного распределения амплитуд может быть несколько возмож­ных «форм» спектра мощности и наоборот.

Эйнштейн и Хопф [4], Шоттки [5], Найквист [6] и др. представляли напряжение статистического шума рядом Фурье:

N

e(t) = \fR 2 (а_пcos <o_nt-\-b_nsinш_пг), (9.9)

7l~ 1

где o)_n —2Tzf_n; f_n = nkf; n — целое число; А/ —величина интервалов, на которые подразделен диапазон частот; а_п и ^ — независимые величины, изменяющиеся во времени случайно, с нормальным распределением ампли­туд относительно нуля и стандартным отклонением, равным (/_п) А/. Далее, w (/) определяется как спектр мощности шума, т. е. to (f) — средняя во времени мощность, которая могла бы быть рассеяна соответствующей компонентой e(t) на сопротивлении R и измерена в функции частоты анализатором с шириной полосы в 1 гц. Отметим, что спектральный уровень определяется как 10 lg [w (f)/w₀], где w₀ — отсчетный уровень.

Возможна следующая интерпретация смысла уравнения (9.9): предста­вим себе осциллограмму е (t) протяженностью от t = 0 до 1= оо. Эта осцил­лограмма может быть разрезана на отрезки длиной Т. Если анализ, по Фурье, сделан для каждого из таких отрезков, получается совокупность независимых коэффициентов а_п и Ъ_п (умноженных на ]Aft). Эти коэф­фициенты очевидно изменяются от отрезка к отрезку. Мы предполагаем, что эти изменения следуют нормальному закону распределения. В урав­нении (9.9) мы рассматриваем коэффициенты а_п и Ь_п как случайные неза­висимые переменные, в то время как t фиксировано. Это соответствует тому предположению, что мы приписываем величинам а ж Ъ значения, которые они могут иметь при множестве значений времени, так как каж­дому п-му отрезку отвечает момент времени t и этот момент наступает на расстоянии t сек. от начала отрезка [t в фюрмуле (9.9)]. Таким образом, мы рассматриваем шумовое напряжение в большом количестве моментов,