Практическое занятие 2.1.Выражения, уравнения, неравенства.

Задания для самостоятельной работы

1. Среди следующих записей укажите числовые выражения:

а) 42:5; б) 27; в) 32+ -):14; г) 2·7 = 7·2;

д) (17+ 13):10-15; е) 142 > 71·2; ж) 37 – 48+3х

2. Какие из следующих выражений имеют смысл, если рассматри­вать их на множестве натуральных чисел:

а) (135+67)· 12; б) (135 - 217):2; в) 362:4?

3. Какие из нижеприведенных записей являются выражениями с переменными:

а) 8+0,3b; б) 21 - (4 + у); в) х + 2у < 7; г) 32:у + 3 = 5у?

4. Установите, какова область определения выражений, если рас­сматривать их на множестве действительных чисел:

а) (3 - у) : 64; 6) 64 :(3 - у); в) (5 + х) : (х - 12).

5. Известно, что выражение называется по своему последнему дейст­вию. Укажите порядок действий и дайте название каждому выражению:

   Выражение	Название выражения
   (12·5 + 3:(2+7))·18
   (23 - 7·6 - 4+ 15)׃(17-6)
   21 + (35·3:8 -14:5)
   19 - 8:4 + 5

6. Выясните, являются ли выражения 3(4 - х) и 12 - 3х тождествен­но равными на множестве:

а) {1, 2, 3, 4}; б) действительных чисел.

7. Какие из следующих равенств являются тождествами на множе­стве действительных чисел:

а) 3р + 5m = 5m + 3р; в) 3р · 5m = 5m · 3р;

б) 3р – 5m = 5m - 3р; г) 3р:5m = 5m:3р?

8. Обоснуйте каждый шаг в преобразованиях следующих выражений:

а) 324·5 = (300+20+4) · 5 = 300· 5+20·5+4·5 = 500+100+20 = 1500+ 120 = 1620;

б) 97·12 = (100 - 3) · 12 = 100 ·12 - 3·12 = 1200 - 36 = 1100+(100 - 36) =1164;

в) 5(1-2х)+10х = 5 - 10х+10х = 5.

9. Упростите выражение путем тождественных преобразований:

а) 6(2аb - 3) + 2а (6b - 5); б) (12а - 16b):4 - (10а - 4b).

10. Сравните значения выражений, не выполняя действий:

а) (30 + 56) ·5 и 30·5 + 56·5;

б)(19 + 4) ·7 и 19·7 + 10·7;

в) (14 - 7) ·6 и 16·6 - 7·6;

г) (18 - 9) ·7 и 18·7 - 11·7.

11. Решите задачу; решение запишите в виде выражения:

На туристическую базу прибыли в один день 150 туристов, на другой день 170. Чтобы пойти по маршрутам, 200 туристов разби­лись на группы, по 20 человек в каждой, а остальные по 15 человек в группе. Сколько получилось групп?

12. Среди следующих записей найдите числовые равенства и неравенства:

а) 3х + 4=57:3; б) 34 - 48:12=(7 + 8) ·9; в) 39·3 + 74 - 53; г) 37 < 18; д) 3х + 4< 71; е) 65 > 344 + 148:74

13. Проверьте, истинны ли числовые равенства:

13 · 93 = 31·39, 14·82 = 41·28, 23·64 = 32·46.

Можно ли утверждать, что произведение лю­бых двух натуральных чисел не изменится, если в каждом множителе переставить цифры?

14. Известно, что х > у - истинное неравенство. Будут ли истинными следующие неравенства:

а) 2х > 2у; в) 2х - 7 < 2у - 7;

б) < -3 ; г) - 2х - 7 < - 2у - 7?

15. Известно, что а < b — истинное неравенство. Поставьте вместо * знак «>» или «<» так, чтобы получилось истинное неравенство:

а) -3,7а * -3,7b; б) - * -; в) 0,12а * 0,12b;

г) -2(а + 5) * -2(b + 5); д) ; е)

16. Выполните задания, которые предназначаются ученикам на­чальных классов, и сделайте вывод о том, как трактуются в началь­ном курсе математики понятия числового равенства и числового неравенства:

а) Запиши два верных равенства и два верных неравенства, исполь­зуя выражения: 9 ·3, 30 - 6, 3·9, 30 - 3.

б) Расставь скобки так, чтобы равенства были верными: 4 + 2 ·3 = 18; 31- 10 – 3 = 24; 54 – 12 + 8 = 34.

в) Поставь вместо * знаки действий так, чтобы получились верные равенства: 3 * 6 * 2 = 9; 9 * 3 * 6 = 18.

17. Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:

а) (х - 3)·5 = 12х; г) 3 + (12 - 7) ·5 = 16;

б) (х - 3)·5 = 12; д) (х - 3)·у = 12х;

в) (х - 3) - 17 + 12; е) х² - 2х + 5 = 0.

18. Уравнение 2х⁴ + 4х² - 6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.

19. В уравнении (х + ...)(2х + 5) - (х - 3)(2х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.

20. Сформулируйте условия, при которых:

а) число 5 является корнем уравнения f(х) = g (х);

б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = g (х).

21. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) 3 + 7х = - 4 и 2(3 + 7х) = -8;

б) 3 + 7х = - 4 и 6 + 7x = -1;

в) 3 + 7х = - 4 и х + 2 = 0.

22. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

а); б)

в) (2 - х)2 - х(х + 1,5) = 4.

23. Учащийся решил уравнение 5х + 15 = 3х + 9 следующим обра­зом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, полу­чил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на вы­ражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод - данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?

24. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70) · 4 = 328; в) (85х + 765) :170 = 98;

б) 560: (х + 9) = 56; г) (х -13581):709 = 306.

25. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:

а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каждой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?

б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Най­дите скорость велосипедиста на первом участке пути.

26. Установите, какие из следующих записей являются неравенства­ми с одной переменной:

а) -12 - 7 х < 3х + 8; г) 12 х + 3(х - 2);

б) 15 (х + 2) > 4; д) 17 - 12·8;

в) 17 (13 + 8) < 14 - 9; е) 2х² + 3х - 4 > 0.

27. Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х  R? А число 4,25?

28. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:

а) -17х < -51 и х > 3;

б)и 3х - 1 > 0

в) 6 - 5х > -4 и х < 2?

29. Какие из следующих высказываний истинны:

а) -7 х < -28  х > 4;

б) х < 6  х < 5;

в) х < 6  х < 20?

30. Решите неравенство 3(х - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.

31. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х) является любое действительное число.

32. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3 (2 - х) - 2 > 5 - 3х .