Практическое занятие 2.7.Отношения на множестве

Вопросы и задания для подготовки к занятию:

1. Отношение.

2. Способы задания отношений.

3. Свойства отношений.

4. Отношение эквивалентности.

5. Отношение порядка.

6. Приведите примеры отношений, существующих между:

   1. натуральными числами;

   2. прямыми на плоскости;

   3. треугольниками;

   4. множествами.

7. На множестве Х = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} задано отношение R. Пе­речислите пары чисел, связанных этим отношением и постройте его граф, если:

   1. R - « х больше у в 3 раза»;

   2. R - « х больше у на 3».

8. Запишите в виде равенства предложение:

   1. Число х меньше у на 2.

   2. Число х меньше у в 2 раза.

9. Задает ли на множестве Х = {2, 4, 6, 8} какое-либо отношение следующее множество упорядоченных пар:

   1. {(2, 2), (4, 4), (6, 6), (8, 8)};

   2. {(4, 2), (6, 4), (8, 6), (2,1)}?

Задания для самостоятельной работы:

1. На множестве Х = {2, 4, 6, 8} рассматриваются отношения «х = у», «ху» и «х больше у на 2». Какое из приведенных ниже подмножеств множества Х×Х задает данные отношения:

   1. {(4, 2), (6, 2), (8, 2), (6, 4), (8, 4), (8, 6), (2, 2), (4, 4), (6, 6), (8, 8)};

   2. {(4, 2), (6, 4), (8, 6)};

   3. {(2, 2), (4, 4), (6, 6), (8, 8)}.

2. Отношение «х  у» рассматривается на множестве Х. Каким бу­дет его график на координатной плоскости, если:

   1. Х = {2, 4, 6, 8};

   2. Х - множество натуральных чисел;

   3. Х - множество действительных чисел?

3. В множестве А = {3, 5, 7, 9, 11} задано отношение х > у. Выпишите все пары элементов, находящихся в этом отно­шении. Как называется множество всех таких пар?

4. Постройте граф отношения х = у + 2 между элементами множества {-3, -1, 1, 2, 3, 4}. Принадлежат ли пары (-1, -3), (4, 2) графику этого отно­шения?

5. В множестве У = {у у  Z, -13  у  -2} задано отно­шение R : «х = 2у». Какие из следующих записей верны:

6. а) (-6, -3)  R; б) (-3, -6) R; в) (-4, -2)  R; г) (-8, -4) R?

7. Прямая а находится в отношении перпендикулярности с прямой b (рис.1). Укажите все пары прямых, изображенных на этом рисунке, находящихся в отно­шении перпендикулярности (запишите их при помощи знака). Постройте граф этого отношения, изобразив все прямые точками. Рис.1

8. Множество М членов семьи Смирновых состоит из отца Ивана Михайловича, матери Елены Андреевны и четырех детей: Миши, Тани, Васи и Оли. Между членами семьи существуют отно­шения родства, которые можно выразить словами: «быть мужем», «быть братом», «быть сестрой» и т. д.

   1. Назовите все пары элементов множества М, между кото­рыми существует отношение «быть дочерью». Обозначьте элемен­ты множества точками и постройте граф этого отношения.

   2. Постройте графы отношений «быть братом», «быть матерью».

9. Из лагеря вышли 5 туристов: Вася, Галя, Толя, Лена, Миша. Толя идет впереди Миши, Лена – впереди Васи, но позади Миши, Галя – впереди Толи. Кто идет первым, а кто – последним? (используйте граф отношения)

10. Дано пять чисел. известно, что первое больше пятого, второе меньше третьего, пятое больше третьего, а четвертое меньше пятого. Какое из чисел больше: первое или четвертое? пятое или второе? Можно ли утверждать, что второе число меньше четвертого?