1024
.pdf21
Для контроля вычислений в данной работе следует использовать компьютерную программу EXPEN 4.
Практическое занятие № 4
Исследование объектов методом полного факторного эксперимента
Цель работы – получение математической модели объекта в виде уравнения регрессии первого порядка методом полного факторного эксперимента.
Полный факторный эксперимент (ПФЭ) – один из методов планирования многофакторных экспериментов, предназначенных для нахождения математической модели объекта. ПФЭ называют такой эксперимент, при котором число уровней варьирования всех факторов одинаково и может включать в себя все возможные комбинации этих уровней.
В ПФЭ число уровней варьирования факторов два: верхний и нижний. Верхним уровнем называется максимальное значение фактора (Vi max), нижним
– минимальное значение фактора (Vi min).
Середина диапазона варьирования называется основным уровнем (Vi(0)) и определяется по формуле
Vi(0) = |
Vi min + Vi max |
(44) |
|
2 |
|||
|
|
Интервал варьирования факторов ( Vi)
Vi = Vi max − Vi(0) = Vi(0) − Vi min |
(45) |
Значения Vi – это натуральные значения факторов.
Процедуру обработки данных эксперимента можно вести с использованием обозначенных натуральных значений факторов, но она существенно упрощается, если вместо натуральных пользоваться кодированными значениями факторов. Связь между кодированными и натуральными значениями факторов выглядит следующим образом:
22
|
V − V(0) |
|
|
Xi = |
i i |
, |
(46) |
|
|||
|
Vi |
|
|
где Хi – кодированное значение фактора;
Vi – текущее натуральное значение фактора (оставляется в буквенном обозначении).
Натуральному значению фактора на верхнем уровне Vi max соответствует кодированное (+ 1), на нижнем уровне Vi min – (−1), на основном Vi(0) – (0).
В данной работе объектом исследования является процесс продольного пиления древесины на круглопильном станке ЦДК4-3. Исходные данные содержат в себе постоянные (порода древесины, ее влажность, тип, диаметр, толщина и число зубьев пилы) и три переменных фактора (толщина материала, скорость подачи и продолжительность работы пилы). Результатом исследования является мощность резания.
Значения постоянных и переменных факторов приведены в табл. 8.
Для заданных значений переменных факторов, пользуясь формулами 4446, определить уровни и интервалы варьирования, а также написать формулы пересчета от натуральных значений факторов к кодированным. Полученные результаты следует занести в табл. 9.
Далее необходимо составить матрицу планирования (ее еще называют планом эксперимента), включающую в себя все возможные сочетания кодированных значений факторов на нижних и верхних уровнях. Количество опытов в матрице ПФЭ равно
N = 2k, |
(47) |
где k – количество варьируемых факторов.
23
Таблица 8 Продольное пиление на круглопильном станке ЦДК4-3
Компьютерный эксперимент (PFPP1)
№ за- |
|
Постоянные факторы |
|
Варьируемые факторы |
|||||
дания |
P |
W |
TP |
D |
Z |
S |
H |
U |
T |
1 |
1 |
8 |
1 |
316 |
36 |
2,2 |
25-65 |
8-40 |
1-6 |
2 |
2 |
12 |
2 |
360 |
48 |
2,5 |
28-90 |
10-50 |
1-6 |
3 |
3 |
16 |
2 |
400 |
60 |
2,8 |
25-100 |
12-60 |
1-6 |
4 |
4 |
20 |
3 |
355 |
36 |
2,4 |
25-50 |
8-60 |
1-6 |
5 |
5 |
24 |
2 |
316 |
48 |
2,5 |
32-70 |
10-56 |
1-6 |
6 |
6 |
24 |
3 |
400 |
72 |
2,8 |
28-50 |
12-52 |
1-6 |
7 |
1 |
10 |
2 |
400 |
48 |
2,2 |
32-80 |
10-40 |
1-6 |
8 |
2 |
14 |
1 |
450 |
60 |
2,8 |
25-60 |
10-60 |
1-6 |
9 |
3 |
18 |
2 |
360 |
60 |
2,2 |
40-100 |
8-48 |
1-6 |
10 |
4 |
22 |
3 |
315 |
36 |
2,0 |
22-50 |
12-60 |
1-6 |
11 |
5 |
24 |
3 |
400 |
56 |
2,4 |
28-60 |
10-50 |
1-6 |
12 |
6 |
8 |
3 |
355 |
56 |
2,8 |
25-60 |
12-60 |
1-6 |
13 |
1 |
10 |
1 |
360 |
60 |
2,5 |
25-70 |
18-60 |
1-6 |
14 |
2 |
16 |
1 |
400 |
36 |
2,4 |
25-60 |
16-56 |
1-6 |
15 |
3 |
22 |
2 |
400 |
60 |
2,2 |
40-80 |
10-60 |
1-6 |
16 |
4 |
18 |
1 |
316 |
48 |
1,8 |
32-60 |
10-40 |
1-6 |
17 |
5 |
8 |
2 |
450 |
60 |
2,8 |
28-60 |
6-40 |
1-6 |
18 |
6 |
12 |
3 |
400 |
72 |
2,4 |
32-50 |
8-30 |
1-6 |
19 |
1 |
8 |
1 |
316 |
36 |
2,8 |
25-80 |
10-50 |
1-6 |
20 |
2 |
9 |
2 |
355 |
48 |
2,4 |
25-55 |
10-60 |
1-6 |
21 |
3 |
10 |
3 |
400 |
60 |
2.4 |
50-100 |
8-56 |
1-6 |
22 |
4 |
11 |
1 |
450 |
72 |
2,8 |
32-80 |
12-60 |
1-6 |
23 |
5 |
12 |
2 |
450 |
60 |
2,5 |
32-80 |
12-50 |
1-6 |
24 |
6 |
13 |
3 |
360 |
56 |
2,0 |
40-100 |
10-50 |
1-6 |
25 |
1 |
14 |
1 |
400 |
56 |
2,2 |
32-100 |
12-52 |
1-6 |
Условные обозначения
Р – порода древесины (1 – ель, 2 – сосна, 3 – береза, 4 – лиственница, 5 – бук, 6 – дуб);
ТР – тип пилы (1 – плоская с разведенными зубьями, 2 – плоская с плющенными зубьями, 3 – дисковая с твердосплавными пластинками);
W – влажность древесины, %; |
D – диаметр пилы, мм; |
Н – толщина материала, мм; |
S – толщина пилы, мм; |
U – скорость подачи, м/мин; |
Z – число зубьев пилы; |
Т – продолжительность работы пилы, час. |
|
24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9 |
||||
|
Значения и уровни факторов ПФЭ |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Факторы |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
V1 |
|
|
V2 |
|
|
V3 |
||||||
1. |
Натуральные значения факто- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ров: |
|
25 |
|
|
|
8 |
|
|
|
1 |
|
||||
|
нижний уровень (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
основной уровень (0) |
|
45 |
|
|
|
24 |
|
|
|
3,5 |
|
|||
|
верхний уровень (+1) |
|
65 |
|
|
|
40 |
|
|
|
6 |
|
|||
2. |
Интервал варьирования Vi |
|
20 |
|
|
|
16 |
|
|
|
2,5 |
|
|||
3. |
Формулы пересчета |
Х |
= |
V1 − 45 |
|
Х |
|
= |
V2 − 24 |
|
Х |
|
= V3 −3,5 |
||
|
|
1 |
|
20 |
|
|
2 |
|
16 |
|
|
3 |
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Основные принципы построения матрицы планирования эксперимента:
-уровни варьирования фактора чередуются от опыта к опыту;
-частота смены уровней варьирования каждого последующего фактора, вдвое меньше, чем у предыдущего;
-если варьирование фактора начинается с нижнего уровня, то и все остальные факторы также начинают варьировать с нижнего уровня. (Начинать варьирование уровней можно с любого уровня (верхнего или нижнего) и с любого фактора).
Матрица планирования ПФЭ для трех варьируемых факторов приведена в табл. 10.
В этой работе каждый опыт эксперимента дублируется 2 раза, поэтому в матрице планирования каждому опыту соответствует два результата экспери-
мента (Уu(1), Уu(2)).
Для уменьшения влияния систематических погрешностей опыты по матрице планирования выполняют в случайном порядке, в который включают и дублированные (повторяющиеся) опыты. Порядок реализации опытов устанавливают либо методом жеребьевки, либо по таблице случайных чисел. Эта процедура называется рандомизация.
Поясним сказанное примером. План ПФЭ для трех варьируемых факторов включает 8 опытов, каждый опыт дублируется два раза. Из таблицы случайных чисел (прил. 8) выписывают подряд 16 чисел (повторяющиеся пропускают) и каждому из них присваивают порядковый номер по возрастанию значения случайного числа (табл. 11).
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 10 |
|
|
||||||
|
|
|
|
Матрица планирования ПФЭ для трех факторов |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
№ |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Факторы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты |
|
|
||||||||||||
опыта |
Порядоквы полнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эксперимента |
|
|
||||||||||||||
опытов |
|
толщина |
скорость по- |
|
|
продолжи- |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
материала, |
|
дачи, U |
|
|
|
тельность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
работы пи- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лы, Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
|
X1 |
V2 |
|
X2 |
|
|
|
V3 |
|
|
X3 |
Уu(1) |
|
Уu(2) |
Уu |
|
|
|||||||||||
1 |
|
3/2 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
11/4 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
5/12 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
9/1 |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
|
7/14 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6 |
|
6/10 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
|
8/13 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8 |
|
16/15 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример рандомизации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
№ опыта |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
5 |
|
6 |
7 |
|
8 |
|
9 |
|
10 |
|
11 |
12 |
|
13 |
|
14 |
|
15 |
|
16 |
|||||||
Случайные |
|
10 |
|
09 |
73 |
|
25 |
33 |
|
76 |
52 |
|
01 |
|
35 |
|
86 |
|
34 |
67 |
|
48 |
|
80 |
|
95 |
|
90 |
||||||||
числа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок |
|
|
3 |
|
2 |
11 |
|
4 |
5 |
|
12 |
9 |
|
1 |
|
7 |
|
14 |
|
6 |
10 |
|
8 |
|
13 |
|
16 |
|
15 |
|||||||
выполнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
опыта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок расположения случайных чисел при возрастании их значения и может быть принят за порядок выполнения опытов в матрице планирования, как это показано в табл. 11.
На примере табл.10 следует составить матрицу планирования эксперимента. Для этого необходимо определить порядок выполнения опытов и указать в таблице натуральные значения факторов в каждом опыте.
Далее необходимо реализовать компьютерный эксперимент по программе
PFPP1.
Математическая модель, которую находят на основе опытов, выполненных в соответствии с матрицей планирования, называется уравнением регрессии. Планы ПФЭ позволяют построить линейную модель объекта в виде
k
У= b0 + ∑biXi +
i=1
26 |
|
∑bijXiXj , |
(48) |
i=1,2,...,k −1
j=1,2,...,k i≠ j
где Хi – кодированные значения факторов;
bi – коэффициенты регрессии при линейных членах;
bij – коэффициенты регрессии при парных взаимодействиях.
Членами регрессии с тройными взаимодействиями и более пренебрегаем. Коэффициенты регрессии вычисляют по формулам:
|
|
1 |
|
N |
|
||||||||
b0 |
= |
|
∑ |
|
u , |
(49) |
|||||||
У |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
N u =1 |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
N |
|
||||||||
bi |
= |
|
∑Xiu |
|
u , |
(50) |
|||||||
|
У |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
N u =1 |
|
||||||||||
|
|
1 |
|
N |
|
||||||||
bij = |
|
∑Xiu Xju |
|
u , |
(51) |
||||||||
|
У |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
N u =1 |
|
|||||||||
где Уu – среднее значение выходной величины.
В случае двух варьируемых факторов модель 46 имеет вид:
У = b0 + b1X1 + b2X2 + b12X1X2 . |
(52) |
При трех факторах
У = b0 + b1X1 + b2X2 + b3X3 + b12X1X2 + b13X1X3 + b23X2X3 . |
(53) |
В данной работе имеется три варьируемых фактора, поэтому уравнение регрессии находим по формуле 53. Для этого рассчитываем коэффициенты b0 по формуле 49, b1, b2 и b3 – по формуле 50, b12, b13 и b23 – по формуле 51.
Расчет дисперсии воспроизводимости (дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента) при равномерном дублировании опытов осуществляют в следующем порядке.
Сначала ищут построчные дисперсии Su2 для всех 8-ми опытов.
Su2 = |
1 |
∑n (Уu(i ) −Уu )2 |
, |
(54) |
|
||||
|
n −1 i =1 |
|
|
|
27
где n – количество дублированных опытов (n=2).
При двух дублированных опытах отклонение результатов от среднего будет одинаковым, поэтому построчные дисперсии можно считать по формуле
Su2 = 2(Уu(1) −Уu )2 = 2(Уu(2) −Уu )2 . |
(55) |
Затем проверяют однородность этих дисперсий. Для этой цели используют критерий Кохрена. Вычисляют величину q по формуле
2 |
|
|
|
q = |
Su(max ) |
, |
(56) |
N |
|||
|
∑Su2 |
|
|
u =1
где S2u (max) – максимальная из построчных дисперсий.
Полученное значение q сравнивают с табличным значением квантиля распределения Кохрена q1-q(N,f), где f – число степеней свободы построчной дисперсии (f = n – 1). Значения квантилей распределения Кохрена приведены в прил. 9.
Если выполняется условие
q < q1−q (N,f ), |
(57) |
то дисперсии являются однородными и дисперсию воспроизводимости S2у можно найти как среднюю величину:
|
N |
|
|
|
∑Su2 |
|
|
S2у = |
u =1 |
. |
(58) |
|
|||
|
N |
|
|
Число степеней свободы этой дисперсии равно fу = N (n-1).
После нахождения дисперсии воспроизводимости вычисляют дисперсии коэффициентов регрессии. Для планов ПФЭ оценки дисперсий всех коэффициентов регрессии равны и вычисляются как
28
|
S2 |
|
S2 (bi ) = |
N уn . |
(59) |
Далее определяют значимость коэффициентов регрессии с помощью критерия Стьюдента. Для каждого коэффициента регрессии вычисляют величину ti по формуле
ti = |
|
bi |
|
|
, |
(60) |
|
|
|
||||||
S(bi ) |
|||||||
|
|
|
|||||
где S(bi) – среднее квадратическое отклонение, найденное из дисперсии коэффициентов регрессии.
S(bi ) = S2 (bi ) . |
(61) |
Принято считать, что коэффициент регрессии значим, если выполняется условие
ti ≥ t1−q / 2 (fу) , |
(62) |
где t1-q/2(fу) – критерий Стьюдента, который зависит от уровня значимости q и числа степеней свободы дисперсии воспроизводимости fу. Значения критерия Стьюдента приведены в прил. 2.
Если условие 62 не выполняется, то данный коэффициент регрессии незначим. Это означает, что данный фактор оказывает слабое влияние на выходную величину и соответствующий член можно исключить из уравнения регрессии.
Получив уравнение регрессии, включающее в себя только значимые коэффициенты, необходимо определить расчетные (теоретические) значения выходной величины Уˆ u в каждом опыте. Для этого в уравнение подставляют значения коэффициентов регрессии и кодированные значения факторов в соответствующем опыте.
Пригодность математической модели для описания изучаемого объекта должна быть проверена. Эта процедура называется проверкой адекватности. С
29
этой целью находят дисперсию адекватности, которая связана с отклонением экспериментальных значений выходной величины от теоретических, найденных по уравнению регрессии. Эта дисперсия в случае равномерного дублирования опытов вычисляется по формуле
Sад2 = Nn− p ∑(Уu − Уˆ u )2 ,
где p – количество значимых коэффициентов регрессии, Уˆ u – расчетное значение выходной величины. Число степеней свободы этой дисперсии fад = N – p. Проверку адекватности выполняют по отношению
S2
F = ад ,
S2у
(63)
(64)
которое сравнивают с критерием Фишера F1-q(fад, fу) при уровне значимости q и степенях свободы fад и fу. Значения критерия Фишера приведены в прил. 7. Если выполняется условие
F < F1−q (fад,fу) , |
(65) |
то найденную модель объекта можно считать адекватной.
Отметим, что найденная математическая модель справедлива лишь в области варьирования факторов.
Чтобы получить уравнение регрессии в натуральных значениях факторов, необходимо в найденную модель вместо кодированных значений Хi подставить формулы пересчета 46 для каждого значимого фактора.
В случае если адекватность найденной модели не подтверждается, она является непригодной для описания объекта. В этом случае экспериментатор принимает одно из следующих решений:
а) включает в модель новые взаимодействия факторов, если они первоначально не учитывались;
30
б) ставит новый эксперимент с измененными диапазонами варьирования факторов (чаще всего уменьшают этот диапазон); в) переходит к использованию планов второго порядка.
Для контроля вычислений результаты проведенных расчетов сравнивают с компьютерными расчетами, выполненными по программе PFP2.
\
Практическое занятие № 5
Исследование объектов методом дробного факторного эксперимента
Цель работы – получение математической модели объекта в виде уравнения регрессии первого порядка методом дробного факторного эксперимента
(ДФЭ).
Планы ДФЭ используют для построения математической модели изучаемого объекта или в качестве отсеивающих экспериментов.
В планах полного факторного эксперимента оцениваются все линейные члены и эффекты взаимодействия. Поэтому с увеличением количества варьируемых факторов резко возрастает количество опытов (N = 24= 16; N = 25= 32; N = 26 = 64 и т.д.). Но если некоторые взаимодействия экспериментатора не интересуют, или априори известно, что они незначимы, то ими можно пренебречь, чем достигается сокращение числа опытов.
Дробный факторный эксперимент – это 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. часть ПФЭ. Такие планы принято называть репликами: полуреплика, четвертьреплика и т.д. Обозначаются они соответственно 2к-1, 2к-2 и т.д. Таким образом, планы ДФЭ содержат меньшее число опытов, и это приводит к ухудшению точности математической модели.
Чтобы построить план ДФЭ, вводят генераторы плана или генерирующие соотношения. Эти соотношения показывают, что некоторые факторы приравнивают к какому-либо взаимодействию других факторов. От количества генерирующих соотношений зависит количество опытов ДФЭ, которое определяется по формуле