Основные понятия

Пусть систему двух дискретных случайных величин составляют c возможными значениями и с возможными значениями . Закон совместного распределения составляющих системы может быть представлен таблицей (матрицей) распределения (табл. 9.1), в каждой клетке которой находятся вероятности событий и . События-сомножители здесь несовместны и единственно возможны, поэтому образуют полную группу, т.е.

.

Первые строка и столбец таблицы 9.1 в совокупности с ее итоговыми строкой и столбцом являются безусловными законами распределения одномерных составляющих системы и соответственно, причем для получения значений нужно сложить вероятности столбца таблицы, а для получения значений  вероятности строки .

Таблица 9.1

		…		…
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
		…		…		1

Таблица распределения 9.1 является носителем условных законов распределения составляющих системы, под которыми понимается соответствие между значениями одной составляющей и условными вероятностями другой. Так, для составляющей системы имеется условных законов распределения по количеству значений .

Условные вероятности вычисляются с помощью следующих формул:

.

Пример 9.1. Привести пример таблицы распределения системы случайных величин и с тремя возможными значениями и двумя возможными значениями . Составить безусловные законы распределения составляющих системы и все условные законы распределения составляющей .

Решение. 1. При составлении примера таблицы распределения составляющих системы значения составляющих назначим произвольным образом: . Затем зададимся в последней строке таблицы тремя тоже произвольными значениями вероятностей , но в сумме составляющими 1: . Далее распределим эти числа по частям в клетках соответствующих им столбцов таблицы. В результате во внутренних клетках таблицы будут стоять числа, сумма которых равна 1, т.е. таблица может служить законом совместного распределения системы случайных величин и .

	Y	X
		0,1	0,1	0,2	0,4
		0,3	0,0	0,3	0,6
		0,4	0,1	0,5	1

Отметим, что последний столбец таблицы получен, как и положено, суммированием чисел в соответствующих строках.

В итоге образованы безусловные законы распределения составляющих системы:

	X	5	10	15
	P	0,4	0,1	0,5	,

	Y	1	2
	P	0,4	0,6	.

2. Получаем условный закон распределения Y при , т.е. . Для этого вычисляем условные вероятности:

;

.

В результате искомый условный закон распределения имеет вид

	Y	1	2
		0,25	0,75	.

Аналогично получаем остальные условные законы распределения составляющей Y:

	Y	1	2
		1	0	,

	Y	1	2
		0,4	0,6	.

Важными характеристиками условных законов распределения являются условные математические ожидания. Например,

.

Так, для рассмотренных в примере 1 условных законов распределения составляющей Y имеем

Видно, что условное математическое ожидание является функцией «условия» . Ее называют функцией регрессии или просто регрессией Y на X. График этой функции называется линией регрессии Y на X.

Отметим, что аналогично определяются условные математические ожидания составляющей системы X, функция и линия регрессии X на Y.

Степень зависимости составляющих X и Y системы двух случайных величин определяется с помощью коэффициента корреляции , который можно вычислить по формуле

.

Заметим, что коэффициент корреляции характеризует, кроме степени зависимости двух случайных величин, еще и их разброс, рассеяние и обладает следующими свойствами.

1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке [- 1; 1], т.е.

.

2. Если случайные величины независимы, то их коэффициент корреляции равен нулю, т.е. .

3. Если модуль коэффициента корреляции двух случайных величин равен единице, то между этими случайными величинами существует линейная функциональная зависимость.

Пример 9.2. По данным примера 9.1 определить коэффициент корреляции случайных величин и .

Решение. 1. Сначала воспользуемся безусловными законами распределения составляющих системы, полученными в примере 1:

	X	5	10	15
	P	0,4	0,1	0,5	,

	Y	1	2
	P	0,4	0,6	.

Вычислим числовые характеристики случайных величин и :

Аналогично

2. Для нахождения коэффициента корреляции осталось вычислить , что требует использования таблицы распределения системы случайных величин и из примера 9.1:

	Y	X
		0,1	0,1	0,2	0,4
		0,3	0,0	0,3	0,6
		0,4	0,1	0,5	1

Получаем:

В ы в о д: между случайными величинами и существует отрицательная линейная зависимость, т.е. при увеличении (уменьшении) одной из случайных величин другая имеет некоторую тенденцию уменьшаться (увеличиваться).

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ТЕМЕ 9

Задача 9.1. В вариантах 130:

а) привести пример таблицы распределения системы случайных величин и с тремя возможными значениями и двумя возможными значениями ;

б) составить безусловные законы распределения составляющих системы и все условные законы распределения составляющей ;

в) определить коэффициент корреляции случайных величин и .

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ТЕМЕ 9

1.Как выглядит таблица распределения системы двух дискретных случайных величин, какими свойствами она обладает?

2.Как из таблицы распределения получить условные и безусловные законы распределения составляющих системы?

3.Что такое функции и линии регрессии?

4.Что характеризует коэффициент корреляции, как он вычисляется и какими свойствами обладает?