2.4. Частотные и демпфирующие характеристики

сталеалюминиевых проводов при их маятниковых колебаниях

На воздушных линиях электропередачи 6–10 кВ, имеющих короткие пролеты, даже незначительная разница в стрелах провеса фазных проводов приводит, как показано в разделе 2.3 к их существенной относительной разрегулировке. При этих условиях фазные провода совершают маятниковые колебания с разными параметрами (частотой, затуханием), чем и объясняется возникновение несинхронности относительного перемещения проводов, их взаимное сближение и схлестывание в пролете ВЛ.

Рассмотрим влияние стрелы провеса провода на параметры его маятниковых колебаний [98]. Пусть провод раскачивается вокруг оси, соединяющей точки его подвеса (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Расчетная схема маятниковых колебаний

провода в пролете

Зададимся отклонением положения плоскости, в которой расположен провод, на угол и рассмотрим движение бесконечно малого отрезка провода . На отрезок , как известно, будут действовать следующие силы:

– вес отрезка провода

– сила инерции, направленная по касательной к траектории движения отрезка

– аэродинамическая сила сопротивления

где – масса единицы длины провода;

– расстояние от середины отрезка провода до оси вращения (ось )

– угловое ускорение отрезка провода

– текущая координата по оси

– коэффициент пропорциональности, определяемый экспериментальным путем;

– диаметр провода;

– линейная скорость отрезка провода, направленная по касательной к траектории движения

.

Из теоремы Вариньона [74] следует, что алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной оси равна нулю, т.е.

(2.18)

или

, (2.19)

где . (2.20)

В работах [34, 65] показано, что при маятниковых колебаниях проводов в неподвижной среде аэродинамические силы сопротивления вязкого трения воздуха пренебрежимо малы и могут не учитываться. Тогда уравнение (2.19) без учета этого сопротивления представим в следующем виде:

. (2.21)

Если сравнить уравнение (2.21) с уравнением движения математического маятника, то можно определить собственную круговую частоту маятниковых колебаний (качаний) провода:

. (2.22)

Таким образом, уравнение (2.21) будет справедливо для всего провода в пролете, если его заменить некоторым эквивалентным маятником, при условии, что частоты колебаний провода в плоскости, проходящей через точки его подвеса, и эквивалентного маятника будут одинаковы. Длина эквивалентного маятника согласно полученному выражению (2.20) принимается равной . В литературных источниках при выполнении теоретических исследований колебаний проводов расчетная длина эквивалентного маятника принимается разной. Так, в работах [34, 65] длина маятника равна 0,5 величины стрелы провеса провода, в работе [120] – 0,53; в работах [30, 62] – 0,67; а в работах [93, 94] – . Полученное нами значение коэффициента, связывающего длину эквивалентного маятника со стрелой провеса провода в пролете в 1,2 раза больше по сравнению с наибольшим и в 1,6 раза по сравнению с наименьшим их значениями по данным других исследователей.

Для решения полученного выше нелинейного уравнения, заменим разложением в степенной ряд и введем малый параметр таким образом, что уравнение (2.21) запишется в виде:

. (2.23)

Чтобы получить результат, относящийся к маятниковым колебаниям, следует принять 0,1.

Для решения уравнения (2.23) используем метод А.Н. Крылова [6]. Периодическое решение этого уравнения с точностью до второй степени (включительно) определим следующим рядом:

(2.24)

при этом функции будут определены как периодические с одним и тем же периодом. Для выполнения условий периодичности по методу А.Н. Крылова одновременно с построением ряда (2.24) строим разложение по малому параметру квадрата искомой частоты , полагая

(2.25)

Выражения (2.24) и (2.25) подставляем в уравнение (2.23):

(2.26)

Приравняв нулю коэффициенты при различных степенях получим для нахождения функций и постоянных следующие уравнения:

(2.27)

(2.28)

(2.29)

Решение уравнения (2.23) будем искать при начальных условиях для

Эти условия для будут выполнены, если функции будут найдены так, что

,

Из уравнения (2.27) находим

(2.30)

Это решение подставляем в уравнение (2.28), которое с помощью формулы

представим в виде

(2.31)

Чтобы не получить векового члена, согласно рекомендациям [6], выбираем так, чтобы коэффициент при в правой части был равен нулю, т. е. чтобы

откуда

После этого решение уравнения (2.31) будет иметь вид:

При нулевых начальных условиях

и

(2.32)

Таким образом, решение уравнения (2.23) в первом приближении имеет следующий вид

, (2.33)

где (2.34)

Чтобы получить второе приближение, подставим найденные и в уравнение (2.29). После некоторых элементарных преобразований с учетом формулы

это уравнение представим в виде

. (2.35)

Чтобы исключить вековой член, полагаем

откуда находим

Запишем уравнение (2.35) следующим образом:

решение которого представим в виде

(2.36)

При нулевых начальных условиях

и

(2.37)

Таким образом, во втором приближении решение уравнения (2.23) будет иметь следующий вид:

Из выражения (2.39) определим искомую частоту маятниковых колебаний провода

. (2.40)

Период маятниковых колебаний провода с помощью формулы разложения в биномиальный ряд

представим в виде

(2.41)

Проведенные теоретические исследования показали, что искомая частота маятниковых колебаний провода ниже собственной круговой частоты , определяемой по формуле (2.22), и зависит от начального отклонения провода При отклонениях провода до 40° (0,698 рад) снижение частоты его маятниковых колебаний относительно круговой не превышает 3%. При углах более 40° разница в частотах существенно увеличивается и составляет: 4,7…6,8% при углах отклонения 50…60° (0,873…1,047 рад), 9,1…11,8% – при углах отклонения 70…80° (1,222…1,396 рад). Поэтому возникла необходимость экспериментального подтверждения полученных нами результатов теоретических исследований маятниковых колебаний (качаний) проводов малых сечений.

Зависимость частоты маятниковых колебаний (качаний) провода от стрелы провеса была экспериментально исследована при отсутствии ветра в пролете длиной 50 м. При проведении опыта использовались провода марок АС-25/4,2; АС-35/6,2; АС-50/8,0; АС-70/11,0. Стрелу провеса изменяли в пределах 0,4…1,2 м, угол отклонения провода составлял 40, 50, 60°. После установки соответствующей стрелы провеса и отклонения провода с помощью киносъемки фиксировали его затухающие свободные колебания, при этом использовалось специально разработанное нами устройство, описанное ниже. По результатам замера времени 10 колебаний определялась частота. Опыт повторяли 5 раз и вычисляли среднее значение частоты свободных маятниковых колебаний провода данной марки для каждого значения стрелы провеса.

Результаты экспериментальных исследований при угле отклонения 50° представлены в таблице 2.5. Здесь же приведены значения частоты маятниковых колебаний провода, вычисленные по предложенной нами формуле (2.40).

Таблица 2.5

Значения частоты СВОБОДНЫХ маятниковых колебаний

проводов при разных стрелах провеса

Марка провода	Стрела провеса провода м	Период колебаний провода с			по фор- муле (2.40)
АС-25/4,2	0,4	1,20	5,24
АС-35/6,2	0,4	1,21	5,19	5,23	5,27
АС-50/8,0	0,4	1,20	5,24
АС-70/11,0	0,4	1,20	5,24
АС-25/4,2	0,6	1,47	4,27
АС-35/6,2	0,6	1,46	4,30	4,30	4,31
АС-50/8,0	0,6	1,46	4,30
АС-70/11,0	0,6	1,45	4,33
АС-25/4,2	0,8	1,66	3,79
АС-35/6,2	0,8	1,67	3,76	3,78	3,73
АС-50/8,0	0,8	1,66	3,79
АС-70/11,0	0,8	1,66	3,79
АС-25/4,2	1,0	1,84	3,41
АС-35/6,2	1,0	1,83	3,43	3,42	3,34
АС-50/8,0	1,0	1,83	3,43
АС-70/11,0	1,0	1,84	3,41
АС-25/4,2	1,2	2,00	3,14
АС-35/6,2	1,2	2,01	3,13	3,13	3,05
АС-50/8,0	1,2	2,00	3,14
АС-70/11,0	1,2	2,02	3,11

Примечание: среднее значение

Анализ данных таблицы 2.5 показывает, что частота маятниковых колебаний проводов в неподвижной среде не зависит от марки провода, а определяется стрелой провеса и начальным углом отклонения. Отличие экспериментальных значений частоты маятниковых колебаний от теоретических не превышает 2,6%, что подтверждает правильность теоретических исследований по уточнению частоты маятниковых колебаний. Полученные результаты подтверждают также и уточненное значение коэффициента, связывающего длину эквивалентного маятника со стрелой провеса провода в пролете, т. е.

Следует отметить, что встречающаяся на практике относительная разрегулировка стрел провеса фазных проводов в пролетах ВЛ 6–10 кВ от 0,2 до 0,6 (раздел 2.1) вызывает, с учетом формулы (2.40), изменение частоты маятниковых раскачиваний на 9…21%.

Существенное влияние на характер маятниковых раскачиваний проводов оказывают их демпфирующие характеристики, определяющие потери энергии при колебаниях. Большое значение при этом имеет учет потерь энергии на внутреннее трение, возникающее в витых проводах при перемещении отдельных повивов относительно друг друга, микроперемещениях между алюминиевыми жилами и стальным сердечником, а также в местах крепления провода к штыревому изолятору. Так как механизм возникновения внутренних потерь в проводе при колебаниях мало изучен и не поддается аналитическому описанию, логарифмический декремент внутреннего трения определяется экспериментально путем исследования свободных затухающих маятниковых колебаний проводов в неподвижной среде.

Исследования по определению величины логарифмического декремента внутреннего трения при маятниковых колебаниях проводов малых сечений в России и за рубежом не проводились. Некоторые общие сведения по этому вопросу приведены в работах [34, 65, 69], при этом в работе [34] применительно к контактным проводам компенсированной цепной подвески ПБСМ-70+МФ-100, в работе [69] – для шара, подвешенного на нити, а в работе [65] указан лишь диапазон значений коэффициента поглощения энергии колебаний для проводов и стальных канатов: 0,10…0,30. Однако, в этих трудах отсутствуют данные, позволяющие определить влияние стрелы провеса и марки провода на величину декремента затухания. Поэтому нами экспериментально были определены значения логарифмического декремента внутреннего трения при маятниковых колебаниях проводов малых сечений (АС-35/6,2; АС-50/8,0 и АC-70/11,0) при разных стрелах провеса.

Эксперименты проводились в безветренную погоду путем измерения последовательных амплитуд свободных затухающих маятниковых колебаний проводов, закрепленных на высоте 3 м в пролете длиной 50 м.

Для измерения амплитуд маятниковых колебаний проводов нами разработано специальное устройство (авторское свидетельство № 843069) [146]. Оно содержит (рис. 2.14) нити 1 (по числу проводов), одним концом жестко закрепленные на проводе 2. К другому концу нитей подвешены грузы 3, размещенные подвижно в вертикальных направляющих 4, выполненных в виде прозрачных цилиндрических трубок, закрепленных на стойке 5. Для точного и непрерывного измерения перемещения проводов перед устройством устанавливается кинокамера 6, при этом для определения направления перемещения проводов на нитях 1 закреплены фиксирующие метки 7. Масса груза 3 выбирается экспериментально, чтобы нить 1 в положении равновесия провода 2 находилась в натянутом состоянии. Устройство устанавливается в середине пролета.

Рис. 2.14. Устройство для определения амплитуд

маятниковых колебаний проводов

Для определения амплитуд маятниковых колебаний проводов необходимо установить зависимость между угловыми перемещениями провода и линейными перемещениями груза в вертикальных направляющих устройства. Для этого величину перемещения груза определим приращением длины нити (рис. 2.15), возникающим при отклонениях провода от положения равновесия, из полученного нами выражения:

(2.42)

где расстояние между проводами по горизонтали, 1,2 м;

расстояние между осями вертикальных направляющих, = 0,14 м;

расстояние от поверхности земли до верхней части вертикальных направляющих, = 1,2 м;

высота закрепления провода в пролете, = 3 м.

В выражении (2.42) знак (+) берется при отклонении провода в положительном направлении (от устройства), знак – при отклонении провода в отрицательном направлении (к устройству).

Полученные на основе расчетов по формуле (2.42) зависимости линейных перемещений груза от угловых перемещений провода показали, что более высокая точность при измерении амплитуд маятниковых колебаний достигается при отклонениях провода в положительном направлении.

Рис. 2.15. Схема расположения устройства в опытном пролете ВЛ

Величина логарифмического декремента внутреннего трения определялась по известной формуле [6, 65]:

(2.43)

где амплитуда затухающего колебания, замеренная в момент времени ;

амплитуда затухающего колебания через период замеренная в момент времени ;

период колебания.

Полученные в результате обработки кинопленки и расчетов по формуле (2.43) средние значения логарифмического декремента внутреннего трения для проводов малых сечений приведены в таблице 2.6.

Таблица 2.6

Значения логарифмического декремента внутреннего трения

Стрела провеса провода, м	Марка провода
	АС-35/6,2	0,069	-2,674
0,4	АС-50/8,0	0,068	-2,688
	АС-70/11,0	0,065	-2,733
	АС-35/6,2	0,072	-2,631
0,6	АС-50/8,0	0,069	-2,674
	АС-70/11,0	0,065	-2,733
	АС-35/6,2	0,080	-2,526
0,8	АС-50/8,0	0,073	-2,617
	АС-70/11,0	0,070	-2,659
	АС-35/6,2	0,086	-2,453
1,0	АС-50/8,0	0,078	-2,551
	АС-70/11,0	0,075	-2,590
	АС-35/6,2	0,103	-2,273
1,2	АС-50/8,0	0,094	-2,364
	АС-70/11,0	0,087	-2,442

Согласно методике, описанной в работе [23], подобраны по методу наименьших квадратов параметры и линейной функции, значения которых представлены в таблице 2.7.

, (2.44)

Рассчитанные коэффициенты корреляции (например, для провода С-50/8,0 0,89 [98]) подтвердили линейную корреляционную связь между и .

Таблица 2.7

Значения и для разных марок проводов

Марка провода
АС-35/6,2	0,488	2,90
АС-50/8,0	0,425	2,92
АС-70/11,0	0,356	2,92

Экспериментальная зависимость логарифмического декремента внутреннего трения от стрелы провеса с учетом формулы (2.44) имеет следующий вид:

(2.45)

и представлена для разных марок проводов на рис. 2.16.

С увеличением диаметра провода логарифмический декремент уменьшается. Это объясняется тем, что провода большего сечения при одной и той же стреле провеса имеют большие значения продольных усилий, что уменьшает трение между проволоками в повиве провода и микроперемещения между алюминиевыми жилами и стальным сердечником.

Рис. 2.16. Зависимость логарифмического декремента

внутреннего трения при маятниковых колебаниях проводов

от стрелы провеса: 1 – АС-35/6,2; 2 – АС-50/8,0; 3 – АС-70/11,0

Таким образом, экспериментальные исследования позволили выявить зависимости логарифмического декремента внутреннего трения от стрелы провеса и марки проводов. Эти зависимости показывают, что возникающая при эксплуатации ВЛ 6–10 кВ относительная разрегулировка стрел провеса фазных проводов от 0,2 до 0,6 вызывает соответствующие изменения логарифмического декремента: на 7,8…23,4% для проводов АС-35/6,2 (при 0,7 м), на 6,2…19,8% для проводов АС-50/8,0 и на 5,1…16,2% для проводов АС-70/11,0.