КОММЕНТАРИИ И ВЫВОДЫ ПО 5-му ЗАДАНИЮ РАБОТЫ № 18
Для циклических кодов более компактным является полиномиальное описание. В этом случае код (7,4) задают с помощью порождающего полинома g(x) = x3 + x + 1, а кодовые комбинации описывают полиномами 6-й степени b(x) = b6 x6 + b5 x5 + b4 x4 + b3 x3 + b2 x2 + b1 x + b0 1, в которых коэффициенты bk равны значениям соответствующих разрядов кодовых комбинаций.
Кодер вычисляет кодовую комбинацию следующим образом:
1) сдвигает ее информационную часть a(x) на три разряда «влево» bИ(x) = a(x)x3, освобождая три младших разряда «справа» для проверочных символов;
2) определяет проверочный полином, вычисляя остаток от деления полинома сдвинутой информационной части на порождающий полином bПР(x) = a(x)x3 mod g(x);
3) складывает информационный и проверочный полиномы в результирующий полином (комбинацию) кода
b(x) = bИ(x) + bПР(x) = a(x)x3 + a(x)x3 mod g(x).
Декодирование на полиномиальной основе заключается в вычислении синдромного полинома путем вычисления остатка от деления полинома принятой кодовой комбинации b'(x) на порождающий полином
s(x) = b'(x) mod g(x). При отсутствии ошибок в принятой комбинации получается нулевой результат
s(x) = 0. При однократных ошибках имеют место семь вариантов (23 - 1 = 7) ненулевых синдромных полиномов, соответствующих семи разным позициям однократных ошибок (семи векторам исправляемых ошибок). Исправление ошибок осуществляется поразрядным сложением принятой комбинации с вектором исправляемых ошибок, соответствующему вычисленному синдрому.