КОММЕНТАРИИ И ВЫВОДЫ ПО 4-му ЗАДАНИЮ РАБОТЫ № 18
Линейный систематический код Хэмминга (7, 4) имеет 7-разрядные комбинации из общего числа
которых 128 = 27 только 16 = 24 являются разрешенными, а остальные 112 = 128 - 16 - запрещенными. Его кодовая таблица имеет объём 16 х 7 = 112 бит.
При использовании матричного описания кода достаточно задать порождающую матрицу G размер- ностью 4 х 7, элементами которой являются кодовые символы "0" и "1" (ее объем всего 28 бит). Разрешен-ные кодовые комбинации можно брать не из кодовой таблицы, а вычислять в виде матричного произведения
информационной 4-разрядной матрицы-строки BИ (на входе кодера) и порождающей матрицы. Например
║ 1 0 0 0 1 0 1 ║
b1 b2 b3 b4 ║ 0 1 0 0 1 1 1 ║ b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7
B = BИ * G = ║ 0 1 1 1║ * ║ 0 0 1 0 1 1 0 ║ = ║ 0 1 1 1 0 1 0║.
║ 0 0 0 1 0 1 1 ║
Декодирование на матричной основе заключается в вычислении 3-разрядного синдрома S путем умно- жения матрицы-строки принятой кодовой 7-разрядной комбинации B' на транспонированную проверочную матрицу H размерностью 3 х 7 (ортогональную порождающей). При отсутствии ошибок получается нулевой синдром ("000"). При однократных ошибках имеют место семь вариантов ненулевых синдромов, соответст-
вующих семи разным позициям однократных ошибок (семи векторам исправляемых ошибок).
Исправление ошибок осуществляется поразрядным сложением принятой комбинации с соответствую-щим вычисленному синдрому вектором исправляемых ошибок. Последний содержит единственную "1" в разряде, где имеет место однократная ошибка. В результате такого сложения ошибочно принятый бит инвертируется и, следовательно, исправляется. Например, при ошибке в разряде b3 при приеме выше указанной комбинации B'
b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 ║ 1 1 1 0 1 0 0 ║T c1 c2 c3
S = B' * HT = ║ 0 1 0 1 0 1 0 ║ * ║ 0 1 1 1 0 1 0 ║ = ║ 1 1 0 ║.
║ 1 1 0 1 0 0 1 ║
Вычисленному синдрому соответствует вектор исправляемой ошибки ║0 0 1 0 0 0 0 ║, при сложении которого с B' инвертируется бит b3 принятой комбинации, т.е. эта однократная ошибка исправляется.
Код Хэмминга (7, 4) является совершенным. Он гарантированно исправляет все однократные ошибки и
не исправляет никакие другие.