лабы / другие лабы / механика / Лабораторная работа 09 (II)

Теория

Гироскопом называется твердое тело, быстро вращающееся вокруг своей оси симметрии, со­ответствующей максимальному осевому моменту инерции. Движение гироскопа – пример дви­жения тела, имеющего только одну закрепленную точку. Такое движение в каждый момент мо­жет рассматриваться как вращение вокруг оси, проходящей через эту точку. Если положение твердого тела относительно неподвижной системы отсчета задавать углами Эйлера (рис.1), то мгновенная угловая скорость тела может быть представлена как сумма:

= ₁ + ₂ + ₃ , (1)

где ₁ = - скорость собственного вращения вокруг оси симметрии тела; ₂ = - ско­рость прецессии; ₃ = - скорость нутации;

Z

Y

Z’

X

Y’

X’

Рис.1

OXYZ – неподвижная прямоугольная система координат; OX’Y’Z’ - жестко связанная с телом прямоугольная система координат;ON – линия узлов (линия пересечения плоскостей XOY и X’O’Y’); - угол собственного вращения; - угол прецессии; - угол нутации.

При этом вектор угловой скорости меняет свое положение как относительно неподвижной системы отсчета, так и относительно самого тела.

Описание поведения гироскопа основано на применении уравнения моментов:

(2)

где - момент импульса гироскопа относительно закрепленной точки О;

- сумма моментов сил относительно той же точки.

Заметим, что в общем случае движения момент импульса не совпадает по направлению ни с вектором угловой скорости , ни с одним из направлений, отмеченных на рис.1

Однако если гироскоп вращается очень быстро вокруг своей оси симметрии, то есть:

₁ >> ₂ и ₁ >> ₃ ,

то вектор угловой скорости и вектор момента импульса практически совпадают с на­правлением оси симметрии гироскопа OZ’.

На этом основании в элементарной теории гироскопа делается допущение, что момент им­пульса направлен вдоль оси собственного вращения гироскопа.

Если гироскоп уравновешен, то его центр масс совпадает с неподвижной точкой О и, следова­тельно, сила тяжести не создает относительно точки О момента, а моментами сил сопротив­ления можно пренебречь и тогда согласно (2)

и момент импульса должен оставаться постоянным. В этом случае ось симметрии быстро вра­щающегося гироскопа сохраняет свое направление относительно неподвижной системы коорди­нат.

Если ось гироскопа подвергнуть кратковременному воздействию (ударить), то момент им­пульса получит малое приращение

,

после чего ось гироскопа будет совершать быстрые колебания с малой амплитудой около своего среднего положения. Такое движение оси гироскопа называется нутацией.

Если же на ось гироскопа действует момент внешних сил, то наблюдается движение оси, назы­ваемое прецессией. В соответствии с основным допущением элементарной теории считаем, что момент импульса гироскопа направлен вдоль оси собственного вращения и может быть выражен формулой:

₁, (3)

где I – момент инерции гироскопа относительно оси OZ’.

Если на ось гироскопа действует сила , то создаваемый ею момент сил относи­тельно точки О за время сообщит моменту импульса приращение , направленное перпендикулярно оси гироскопа. Это приращение вызывает поворот оси гироскопа в направлении .

Если сила продолжает действовать, то конец вектора должен описывать окружность в плоскости, перпендикулярной к оси OZ, а ось гироскопа будет прецессировать вокруг оси OZ, за­нимая в пространстве последовательность позиций, образующих конус прецессии.

Выведем выражение для скорости прецессии. По определению:

_{2 = .}

Как видно из чертежа,

и для скорости прецессии с учетом (2) и (3) получим

_{2 =} (4)

Выполнение работы.

Упражнение 1.

Проверка формулы для скорости прецессии

При постоянной скорости собственного вращения проверить справедливость соотношения, вытекающего из (4):

(5)

Здесь положено F = P, поскольку единственной силой, действующей на ось гироскопа является сила тяжести.

Упражнение предлагается выполнять в следующем порядке.

1. Установить скорость вращения двигателя = 5000 об/мин.

2. Найти положение равновесия гироскопа. Для этого необходимо установить

такое положение противовеса (4), при котором прецессия отсутствует. Это и будет положение равновесия. Измерения провести не менее пяти раз, причем для каждого нового измерения необ­ходимо вывести гироскоп из положения равновесия, полученного в предыдущем измерении.

Определить среднее значение положения равновесия (r_п.р.) и оценить погрешность. Зна­чение (r_п.р.) затем считается положением равновесия, а погрешность величины r (значение от­клонения величины груза от положения равновесия) будут определяться погрешностями вели­чины (r_п.р.).

3. Смещая груз с положения равновесия на r = 1 см; 2 см; 3 см, измерить соответствующие этим трем случаям скорости прецессии. Для того, чтобы измерить скорость прецессии, включают миллисекундомер кнопками «Сеть» и «Сброс» (кнопка «Сброс» является одновременно и кнопкой пуска прибора). По шкале «Периоды», находящейся на передней панели миллисекундомера, от­считывается угол поворота лимба. Единица шкалы прибора соответствует углу поворота лимба на 10. Показания прибора можно проконтролировать по шкале лимба. Время, за которое этот поворот произошел, отсчитывается по шкале «Секунды» миллисекундомера. Отношение угла поворота лимба ко времени, за которое этот поворот произошел, дает величину скорости прецессии. Остановка прибора производится кнопкой «Стоп», при этом необходимо иметь ввиду, что для уменьшения погрешностей измерения отсчеты следует снимать для наибольших воз­можных поворотов гироскопа (оптимальные значения 180 - 360) или до тех пор, пока сущест­вует прецессия. Составить таблицу измеренных величин и найти отношение r к ₂ с указанием погрешности измеренного значения.

Упражнение 2.

Определение момента инерции гироскопа относительно оси собственного вращения.

1. Сместить противовес из положения равновесия на r = 3см.

2. Установить скорость вращения вала, равную 3000, 4000, 5000, 6000, об/мин и измерить соответствующие скорости прецессии.

3. Построить график зависимости от ; экспериментальные значения

нанести на график с соответствующими погрешностями (рис.5)

Эта зависимость должна иметь вид прямой:

4. Определить коэффициент наклона прямой (k) из треугольника АВС:

где А и В – произвольные точки на полученной прямой.

Вычислить I, используя формулу:

При вычислении погрешности для I необходимо учесть погрешность для величины k, которую можно оценить из графика следующим образом:

, ,

тогда

,

где и - углы наклона крайних прямых, которые можно провести через доверительные ин­тервалы для на графике.

							 =100 (1,745); r =15см
	 =60 (1,047)			 =100 (1,745)			 (об/мин)
=3050об/мин	r =9см	r=11см		r=13см	r=15см		3050	4000			5000	6100
t1	17.586	9.928		13.939	8.936	t1	8.936	10.179			14.669	17.735
t2	17.674	10.549		14.940	9.199	t2	9.199	11.787			15.048	17.843
t3	16.714	9.272		11.737	9.549	t3	9.549	10.256			15.164	18.020
t4	19.065	10.491		12.417	6.199	t4	6.199	12.248			15.456	18.144
t5	20.197	9.745		13.214	8.764	t5	8.764	12.566			14.013	19.320
<t>	18.247	9.997		13.249	8.529	<t>	8.529	11.407			14.870	18.212
	1.723	0.669		1.574	1.672		1.672	1.403			0.697	0.807
 t	9%	7%		12%	19%	 t	19%	12%			5%	4%
	0.057	0.105		0.132	0.205		0.205	0.153			0.117	0.096
	0.005	0.007		0.016	0.039		0.039	0.018			0.006	0.004
	9%	7%		12%	19%		19%	12%			5%	4%
r /	35	38		45	39	c-1	3.1	2.4			1.9	1.6		10 -3
< r />	39.3
( r /)	25%
	1	2		3	4		5		6	7			8

Пользуясь данными, полученными в процессе проведения работы, проведем необходимые вычисления:

1. ; 9 ;

; ;

2. ; 7 ; ; ;

3. ; 12 ; ; ;

4. ; 19 ; ; ;

5. ; 19 ; ; ;

6. ; 12 ; ; ;

7. ; 5 ; ; ;

8. ; 4 ; ; ;

1.17

2.05

2.4

2.5

1.9

1.5

1

3.0

1

  10^-1

2

1.6

1.53

0.96

_c^-110^-3

2.0

3.1

k₁=83; k₂=58; k₀=70; <k>=tg₀=70

k=<k>k