Контрольная работа

по предмету «Теория вероятностей и математическая статистика»

студента 2 курса группы БСТ-2154 Архангельского Максима Вячеславовича

Задание 1

Электрическая цепь состоит из пяти элементов, безотказная работа которых в заданный промежуток времени – независимые события, имеющие вероятности q_i = 0,9 каждый. Найти вероятность Q безотказной работы цепи за данный промежуток времени.

Решение:

Разобьем систему на две подсистемы: первая подсистема включает а; вторая – b и с.

Введем обозначения:

S – событие, состоящее в том, что эклектическая цепь s исправна.

- события, состоящие в том, что подсистемы а и bc исправны;

- вероятность безотказной работы каждого элемента.

Подсистема b и c дублирующих блоков исправна в том случае, когда исправен хотя бы один из блоков или

0,9 ∙ 0,9 = 0,81

– сумма двух совместных независимых событий.

Следовательно,

= 0,81 + 0,81 – 0,81 ∙ 0,81 =

= 0,9639

Вероятность исправности подсистемы а:

P(Sа) =q = 0,9

Для исправности системы необходима исправность подсистемы а и подсистемы b, с, то есть S = S_a ∙ Sbc

Таким образом,

P(S) = P(Sа) ∙ P(Sbc) = 0,9 ∙ 0,9639 = 0,86751

Ответ. Q = 0,86751

Задание 2

Дискретная случайная величина задана законом распределения p_i (x_i). Найти величину a, построить график функции распределения данной случайной величины. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.

х	0	1	2	3	4
р	0,2	0,2	0,3	0,1	а

Решение:

Найдем величину a:

а = 1 – 0,2 – 0,2 – 0,3 – 0,1 = 0,2

Запишем функцию распределения случайной величины:

Получаем:

или

График функции распределения случайной величины:

Математическое ожидание случайной величины Х:

0 ∙ 0,2 + 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,3 + 3 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,2 = 1,9

Дисперсия случайной величины:

0² ∙ 0,2 + 1² ∙ 0,2 + 2² ∙ 0,3 +

+ 3² ∙ 0,1 + 4² ∙ 0,2 - 1,9² = 1,89

Среднее квадратическое отклонение:

0,3748

Ответ.

Задание 3

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задана выражением:

Найти величину коэффициента a, написать аналитическое выражение и простроить график функции распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Найти вероятности попадания данной случайной величины в интервалы (-2, 0) и (0, 4).

Решение:

Находим константу из условия:

Получаем:

Откуда

Найдем функцию распределения:

Для 0:

Для -3 1:

Для 1:

Итак, получена функция распределения:

Находим математическое ожидание непрерывной случайной величины:

-1

Находим дисперсию:

Среднее квадратическое отклонение:

Вероятность попадания в интервал:

При -2 и 0 получаем:

При 0 и 4 получаем:

Ответ. ,

, , .

Задание 4

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием m = 4 в интервал (3; 5) равна 0,6. Найти дисперсии данной случайной величины.

Решение:

Параметры нормального распределения:

- математическое ожидание;

- среднее квадратическое отклонение.

Для интервала (3;5) при математическом ожидании m = 4 получаем отклонение от математического ожидания .

Вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую :

По условию,

Значения находим по таблице значений функции Лапласа.

_{Получаем среднее квадратическое отклонение случайной величины:}

Находим дисперсию:

Ответ.

Задание 5

Дискретная случайная величина задана выборкой:

0,-1,0,1,1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,1,0,-1,0,0,0,1,1,1,-1,1,1

Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Решение:

Подсчитываем число единиц. имеющих значение признака 0,1,2 и получаем ряд распределения:

Значение признака	Частота	Частость	накопленная частость
-1	6	0,24	0,24
0	10	0,4	0,64
1	9	0,36	1
Итого	25	1

Эмпирическая функция распределения:

Расчет выборочное среднего значения:

Расчет дисперсии (центрального момента второго порядка):

Расчет исправленной дисперсии (несмещенной оценки дисперсии):

0,6100

Ответ. .

8