Первый сем элтеха / Вариант №15
.pdf
1. Решение методом Кирхгофа
Произвольно выбираем направления токов в ветвях.
Рис. 1. Метод Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа записываем для трех независимых контуров. Для контура I
I1R1 + I2 R 2 = 0
Для контура II
−I2 R 2 − I3R 3 + I4 R 4 = E2 + E4 − E1 − E3
Для контура III
−I4 R 4 − I5 R 5 = E1 − E5
Первый закон Кирхгофа записываем для трех узлов. Для узла а
I1 − I2 − I6 = 0
Для узла B
−I4 + I5 + I6 = 0
Для узла с
−I1 + I2 − I3 = 0
Получаем систему из 6 уравнений с 6 неизвестными.
I1R1 + I2 R 2 = 0
−I2 R 2 − I3R 3 + I4 R 4 = E2 + E4 − E1 − E3
-I4 R 4 - I5 R 5 = E1 - E5I1 - I2 - I6 = 0
-I4 + I5 + I6 = 0-I1 + I2 - I3 = 0
Решаем ее
I1 ×1 + I2 ×1 = 0
-I2 ×1 - I3 ×1 + I4 ×1 = 10 +10 -10 -10
-I4 ×1 - I5 ×1 = 10 -10I1 - I2 - I6 = 0
-I4 + I5 + I6 = 0-I1 + I2 - I3 = 0
I1 + I2 = 0 |
|
|
I1 = 0 [А] |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- I3 |
+ I4 = 0 |
I2 = 0 [А] |
|||||
-I2 |
||||||||
-I4 - I5 = 0 |
|
|
= 0 [А] |
|||||
|
I3 |
|||||||
|
- I2 - I6 = 0 |
|
= 0 [А] |
|||||
I1 |
I4 |
|||||||
|
|
+ I5 |
+ I6 = 0 |
|
= 0 [А] |
|||
-I4 |
I5 |
|||||||
-I |
+ I |
|
- I |
|
= 0 |
|
= 0 [А] |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
I6 |
|
2. Баланс мощностей
Pист = E3I3 - E1I4 + E5 I5 + ( E2 + E4 ) I6 = 0 [Вт]
Pприем = I12 R1 + I2 2 R 2 + I32 R 3 + I4 2 R 4 + I52 R 5 = 0 [Вт]
Баланс мощностей сошелся
3. Решение методом контурных токов
В схеме три независимых контурных тока
2
Рис. 2. Метод контурных токов
Можно записать три уравнения
|
× R11 + I22 ×R12 + I33 ×R13 = ∑ E |
|
|
|
|
I11 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
× R 21 + I22 ×R 22 + I33 × R 23 = ∑ E |
|
|
|
|
I11 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
× R 31 + I22 ×R 32 + I33 ×R 33 = ∑ E |
|
|
|
|
I11 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Собственные сопротивления контуров |
|
|
|
||
R11 = R1 + R 2 = 2 |
|
|
|
|
|
R 22 = R 2 + R 3 + R 4 = 3 |
|
|
|
|
|
R 33 = R 4 + R 5 = 2 |
|
|
|
|
|
Общие сопротивления |
|
|
|
|
|
R12 = R 21 = −R 2 = −1 |
|
|
|
|
|
R 23 = R 32 = -R 4 = -1 |
|
|
|
|
|
R13 = R 31 = 0 |
|
|
|
|
|
Получаем систему уравнений |
|
|
|
||
I11 ×( R1 + R 2 ) - I22 ×( -R 2 ) + I33 ×0 = 0 |
|
|
|
||
I11 ×( -R 2 ) + I22 ×( R 2 + R 3 + R 4 ) + I33 ×( -R 4 ) = E4 + E2 - E1 - E3 |
|
||||
I11 ×0 + I22 ×( -R 4 ) + I33 ×( R 4 + R 5 ) = E1 - E5 |
|
|
|
||
Решаем ее |
|
|
|
|
|
I11 |
×(1 +1) + I22 ×( -1) + I33 ×0 = 0 |
|
2I11 - I22 = 0 |
||
|
×( -1) + I22 ×(1 +1 +1) + I33 ×( -1) |
|
|
+ 3I22 |
- I33 |
I11 |
= 10 +10 -10 -10 -I11 |
||||
|
×0 + I22 ×( -1) + I33 ×(1 +1) = 10 - |
|
|
+ 2I33 |
= 0 |
I11 |
10 |
-I22 |
|||
I11
=
0 I22
I33
=0
=0
=0
Токи в ветвях
3
I |
|
= I |
|
|
= 0 [A] |
|
1 |
11 |
|
|
|
||
I2 = I11 − I22 = 0 [A] |
||||||
|
|
= −I22 = 0 [A] |
||||
I3 |
||||||
|
|
= I22 − I33 = 0 [A] |
||||
I4 |
||||||
I |
|
= −I |
|
|
= 0 [A] |
|
|
5 |
|
|
33 |
|
|
I |
6 |
= I |
22 |
= 0 [A] |
||
|
|
|
|
|||
4. Решение методом узловых потенциалов
Рис. 3. Метод узловых потенциалов
Примем узел A за базовый
ϕA = 0
Так как между узлами а и B только источники напряжения, то
ϕB = E2 + E4 = 10 + 10 = 20[ В]
Уравнение потенциалов для узла C
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
ϕс |
|
+ |
|
+ |
|
|
− ϕD |
|
= −E3 |
|
R1 |
R 2 |
|
R 3 |
R 3 |
||||||
|
|
|
R 3 |
|
|
|||||
Уравнение потенциалов для узла D
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
ϕD |
|
+ |
|
+ |
|
|
− ϕC |
|
− ϕB |
|
− ϕB |
|
= E3 |
|
− E1 |
|
− E5 |
|
R 3 |
R 4 |
|
R 3 |
R 4 |
R 5 |
R 3 |
R 4 |
R 5 |
||||||||||
|
|
|
R 5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Получаем два уравнения с двумя неизвестными.
4
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ϕс |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− ϕD |
|
|
|
|
= −10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
||||||||
ϕ |
|
+ |
+ |
− ϕ |
|
|
|
− 20 |
− 20 |
= 10 |
− 10 |
− 10 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
D |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3ϕ |
с |
− ϕ |
D |
= −10 |
|
|
|
|
|
ϕ |
с |
= 0 |
[В] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
− ϕC = 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
3ϕD |
|
|
|
|
|
|
ϕD = 10 [В] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Токи в ветвях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
I = |
ϕс − ϕA |
|
|
|
= |
0 − 0 |
|
|
= 0 [A] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I |
|
= |
ϕA − ϕC |
|
|
|
= |
0 − 0 |
= 0 [A] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
I |
3 |
= (ϕC − ϕD ) + E3 |
|
= (0 − 10) + 10 = 0 [A] |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I |
4 |
= (ϕB − ϕD ) − E1 |
|
= ( 20 − 10) − 10 = 0 [A] |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I |
|
= (ϕD − ϕB ) + E5 |
|
= |
(10 − 20) + 10 |
= 0 [A] |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I6 = I1 − I2 = 0 − 0 = 0 [A]
Выводы
Все методы расчета сошлись друг с другом. Проверка по уравнению баланса мощностей выполнена.
5